Équations dans les Corps de Nombres et Discriminants Minimaux

Denis SIMON

Résumé :
    Cette thèse aborde trois problèmes différents. On propose en premier un algorithme pour déterminer le rang d'une courbe elliptique définie sur un corps de nombres. On rappelle l'algorithme de descente par 2-isogénie pour les courbes ayant de la 2-torsion, et pour les courbes sans 2-torsion, on décrit un nouvel algorithme. Cet algorithme repose sur la résolution de l'équation de Legendre, et l'on expose en détail cette résolution. Le second probème est la résolution des équations aux normes dans les extensions relatives quelconques de corps de nombres. L'interprétation de ce problème en termes de S-unités permet de donner une description explicite des solutions, et de résoudre entièrement et de manière satisfaisante ces équations. Le troisième problème abordé est la détermination des discriminants minimaux des polynômes irréductibles pour les degrés supérieurs ou égaux à 9. Les méthodes proposées fournissent de longues listes de petits discriminants qui améliorent les bornes précédemment connues, en particulier jusqu'au degré 14. On donne également, en les démontrant, tous les discriminants minimaux des polynômes non irréductibles jusqu'au degré 7.

Abstract:
   This thesis deals with three different problems. We first propose an algorithm that computes the rank of an elliptic curve defined ovver a number field. A standard algorithm is known for curves with no rational 2-torsion (desccent via 2-isogeny), and we describe a new algorithm for curves with no rational 2-torsion. This conditional algorithm relies on a solution method for Legendre's equation, and we give a detailed description for the solution of this equation. The second problem consists in solving norm equations in relative extensions of number fields. The reformulation of this in terms of S-units allows us to give an explicit description of the solutions, and to solve completely these equations in a quite efficient way. The third problem discussed consists in listing the minimal discriminants of irreducible polynomials of degree 9 and above. The proposed methods build large lists of small discriminants, and improve many bounds, in particular up to degre 14. We also give all minimal discriminants of nonirreducible polynomials up to degree 7, and prove them.