No d’ordre : 2015.

THÈSE

présentée à

L’UNIVERSITÉ BORDEAUX I

ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE

Par Denis SIMON POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR

SPÉCIALITÉ : MATHÉMATIQUES PURES

Équations dans les Corps de Nombres et Discriminants Minimaux

Soutenue le 21 décembre 1998 Après avis de :

MM A. LEUTBECHER  Professeur Technische Universität München Rapporteurs
M. POHST  Professeur Technische Universität Berlin

Devant la commission d’examen formée de :

MM Ph. CASSOU-NOGUÈS Professeur Université Bordeaux I  Président
F. DIAZ Y DIAZ  Professeur Université Bordeaux I  Rapporteur
H. COHEN  Professeur Université Bordeaux I  Examinateurs
J. CREMONA  Professeur University of Exeter
A. LEUTBECHER  Professeur Technische Universität München
G. NIKLASCH Docteur Technische Universität München
E. REYSSAT  Professeur Université de Caen

C’est peu de choses que d’adresser mes remerciements à mon directeur de thèse Henri Cohen, qui ne m’a pas consacré seulement du temps mais tout son temps, à m’initier à la recherche en Mathématiques. Il m’a convaincu que cette recherche est un jeu des plus passionnants.

Après m’être largement inspiré du travail de John Cremona sur les courbes elliptiques, j’ai eu la chance de travailler personnellement avec lui. Je le remercie pour l’interêt qu’il m’a porté.

J’adresse ma gratitude aux professeurs allemands Armin Leutbecher et Michael Pohst qui ont accepté de rapporter ma thèse malgré sa rédaction en français.

Je suis reconnaissant envers Gerhard Niklasch pour son travail admirable de relecture. Je remercie Philippe Cassou-Noguès, Francisco Diaz y Diaz et Eric Reyssat pour leur

participation au jury.

Par l’intermédiaire de Michel Olivier, je remercie tous ceux qui ont consacré du temps à répondre à mes nombreuses questions, et plus généralement tous les membres de l’A2X, qui m’ont proposé un accueil et une ambiance de travail remarquables.

Je remercie Véronique Saint-Martin et Joëlle Pargade pour leur efficacité sans faille. Je remercie mes collègues de bureau Karim, Christophe et Sami pour tout le temps que

nous avons passé ensemble, ainsi que mes autres camarades, doctorants ou déjà docteurs.

Je n’oublie pas de citer Pari et Muscida avec qui j’ai passé tant d’heures, et qui ont travaillé pour moi nuit et jour, y compris le week-end.

Je remercie ma femme Carine et mes deux filles Doriane et Margot, pour tout le soutien qu’elles m’ont apporté dans ce long travail, et l’énergie qu’elles ont dépensée à essayer de comprendre toutes ces choses compliquées. Je les remercie d’autant plus pour la curieuse propriété que leurs âges C, D et M vérifient : C divise M|C, qui divise lui-même D|M|C, qui divise lui-même p^{p}, où p est un nombre premier, et où le signe | désigne l’opération de juxtaposition des chiffres.

Je remercie aussi tous ceux qui ont participé à cette thèse, en particulier à la soutenance, et je présente mes excuses à tous ceux que cette thèse aura dérangés.

Je tiens enfin à remercier tous ceux qui m’ont donné le goût des Mathématiques et ceux qui m’ont encouragé dans cette voie, particulièrement ma famille. Plus généralement, je remercie tous ceux qui, au moins une fois, n’ont pas fui quand je leur ai avoué que je faisais une thèse de Mathématiques Pures.

“Et concrètement, ça sert à quoi ?”

4

Table des matières

Remerciements 3

Table des Matières 3

Introduction 9

Mots-Clés et Notations 13

I S-Unités et Groupes de Classes Relatifs 15 Qu’est-ce qu’un S-Entier ou une S-Unité ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 I.1 S-Unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

I.1.1 Définitions, Notations et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 I.1.2 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I.2 Groupes de Classes Relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 I.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 I.2.2 Relations Entre les Différents Groupes de Classes Relatifs . . . . . . . 22 I.2.3 Algorithmes pour les Groupes de Classes Relatifs . . . . . . . . . . . 23

II Équations de Legendre et Courbes Elliptiques 25 II.1 Propriétés de l’Équation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 II.2 Symboles de Hilbert et Symboles de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II.2.1 Définitions et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 II.2.2 Places Au-Dessus de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II.3 Résolution de l’Équation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.3.1 Résolution dans le Corps ℚ des Rationnels . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.3.2 Résolution dans les Corps de Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1 Cas Terminaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 Descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Corps non Principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

II.4 Applications aux Courbes Elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 II.4.1 Le Groupe K(S, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 II.4.2 Quartiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 II.4.3 Descente par 2-Isogénie : Courbes avec 2-Torsion . . . . . . . . . . . 42 II.4.4 Exemple du Calcul du Rang d’une Courbe avec 2-Torsion . . . . . . . 45 II.4.5 Algorithme pour les Courbes sans 2-Torsion . . . . . . . . . . . . . . 46 II.4.6 Exemple du Calcul du Rang d’une Courbe Sans 2-Torsion . . . . . . 49

III Équations aux Normes 53 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 III.1 Équations aux Normes dans les Extensions Galoisiennes . . . . . . . . . . . . 55

III.1.1 Preuve du Théorème Principal pour les Extensions Galoisiennes … 55 III.1.2 Structure dans le Cas Galoisien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 III.1.3 Cas Particulier des Extensions Cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . 61

III.2 Équations aux Normes dans les Extensions Non Galoisiennes . . . . . . . . . 62 III.2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 III.2.2 Preuve du Théorème Principal pour les Extensions Non Galoisiennes 64 III.2.3 Cas Particulier des Extensions de ℚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 III.2.4 Existence de Solutions Entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

III.3 Équations aux Normes : l’Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 III.3.1 Déterminer les Ensembles S_{0} et S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 III.3.2 Recherche de Solutions en S-unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 III.3.3 Recherche de Solutions Entières ou S-Entières . . . . . . . . . . . . . 76

IV Discriminants Minimaux 79 Qu’est-ce qu’un Discriminant ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 IV.1 Quelques Propriétés des Résultants et des Discriminants . . . . . . . . . . . 81 IV.2 Discriminants Minimaux pour les Petits Degrés . . . . . . . . . . . . . . . . 84

IV.2.1 Polynômes Irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1 Petits Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2 Petites Variations des Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . 88 3 Petites Variations des Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4 Extensions Relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5 Semi-Extensions Relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6 Polynômes de Résultant 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

IV.2.2 Polynômes Factorisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 IV.3 Comportement Asymptotique des Petits Discriminants . . . . . . . . . . . . 105

IV.3.1 Polynômes Cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 IV.3.2 Familles de Polynômes Irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 IV.3.3 Polynômes Fortement Premiers Entre Eux . . . . . . . . . . . . . . . 109 IV.3.4 Familles de Polynômes Factorisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Annexes 116

A Tables de Discriminants Minimaux 117

B Corps Primitifs et Imprimitifs 125 C Polynômes de Discriminants Minimaux 133 Bibliographie 147 Résumé 150

8  TABLE DES MATIÈRES

Introduction Générale

Dans cette thèse, je propose des réponses à plusieurs problèmes différents. Ces problèmes sont essentiellement la résolution explicite de certaines équations diophantiennes dans les corps de nombres, puis la détermination de polynômes satisfaisant certaines conditions de minimalité. J’apporte à la fois des réponses théoriques, et des algorithmes qui résolvent complètement les équations proposées en s’appuyant sur les théorèmes que je démontre.

Je commence par un premier chapitre (chapitre I) contenant la description de certains outils nécessaires aux chapitres suivants : les S-unités et les groupes de classes.

Le premier problème que je me suis posé est la détermination algorithmique du rang d’une courbe elliptique (chapitre II). Un tel algorithme existait déjà pour les courbes elliptiques définies sur ℚ (voir [Cre a]), et mon but était de le généraliser aux corps de nombres. Plus précisément, une courbe elliptique est donnée par une équation de la forme

y^{2} = x^{3} + ax^{2} + bx + c.

Les solutions rationnelles de cette équation forment un groupe abélien de type

(ℤ/nℤ × ℤ/mZ) × ℤ^{r}.

L’algorithme que je décris détermine le rang r et exhibe un système de points de rang maximal sur cette courbe. Je décris en fait deux algorithmes qui correspondent aux cas où la courbe possède de la 2-torsion ou non, c’est-à-dire aux cas où le polynôme x^{3}+ax^{2}+bx+c possède une racine ou non. Dans le premier cas (avec 2-torsion), un tel algorithme, dit de descente par 2-isogénie, est déjà connu (voir [Sil]), identique à la situation dans ℚ, et je l’ai implanté dans le cas des corps de nombres. Pour le deuxième cas (sans 2-torsion), je propose un algorithme, issu d’un travail d’une année en commun avec J. Cremona. Ce nouvel algorithme m’a permis de calculer le rang de certaines courbes elliptiques dans des corps de nombres jusque là inaccessibles. Une des étapes de cette résolution consiste à trouver des solutions à l’équation de Legendre

x^{2} − ay^{2} = bz^{2}.

Je consacre donc une importante partie à la résolution complète de cette équation dans un corps de nombres K, aussi bien pour l’existence de solutions que pour la construction d’une solution particulière. La première idée que j’ai eue était de considérer cette équation comme une norme dans l’extension K(\sqrt{a})/K. Cette idée n’était pas la meilleure pour résoudre l’équation de Legendre et je décris un algorithme qui ne repose pas sur cette idée. Cet algorithme est tout à fait efficace et ne nécessite pas de calculer dans d’autre corps que K. Toutefois, cette idée est à l’origine du thème du chapitre suivant.

Le deuxième problème (chapitre III) est celui de la résolution de l’équation aux normes

N_{L/K}(x) = a

où L/K est une extension relative de corps de nombres fixée, et a un élément de K. À partir de plusieurs exemples de résolution en degré 2, j’ai pu déduire la nature des solutions d’une telle équation dans le cas des extensions galoisiennes : l’expérience suggérait que les solutions exprimées en termes de S-unités se décrivent à partir du groupe de classes relatif de L/K, il ne restait plus qu’à démontrer précisément ce résultat. Toujours à partir d’expériences, ainsi que d’un article de H.J. Bartels (voir [Bar]), j’ai pu généraliser ce résultat aux extensions relatives quelconques. Je montre que sous certaines conditions décrites par des groupes de classes, les S-unités qui sont des normes sont identiques aux normes de S-unités. Lorsque ces conditions ne sont pas vérifiées, je décris, à l’aide des groupes de classes relatifs, le groupe qui mesure l’obstruction à une telle identité. Ces théorèmes, dont les preuves sont assez techniques, décrivent effectivement les solutions et permettent de donner des algorithmes pour résoudre de manière complète et satisfaisante ces équations. Bien que la rédaction de cette partie suive l’enchainement classique “énoncé du théorème – preuve – exemple”, il faut souvent y voir l’inversion de l’ordre chronologique “expérience – énoncé probable du théorème – preuve”. Je tiens ici à insister sur l’aide indispensable de ces expériences numériques, autant pour l’ébauche d’énoncés corrects de théorèmes, que pour la suggestion des méthodes à utiliser pour les démontrer.

Tous les calculs que l’on fait dans un corps de nombres sont limités par la taille de ce corps de nombres, et plus précisément par la taille du polynôme qui le définit. Cette taille est mesurée d’abord par le degré du polynôme, mais aussi par son discriminant. Il existe actuellement d’importantes listes de polynômes de petits discriminants jusqu’au degré 9 (voir [Nik]). Le troisième problème que j’ai envisagé (chapitre IV) est donc l’énumération des polynômes ayant les discriminants minimaux pour les degrés supérieurs. À partir du degré 9, on dispose de peu de résultats sur ces discriminants. Les différentes méthodes que je propose généralisent la méthode de recherche par simple majoration des coefficients, chacune de ces méthodes construisant des polynômes de type particulier (degré, signature, primitivité …). Ainsi, j’ai pu dresser de longues listes de polynômes de petits discriminants (voir les annexes). En degré 9, j’ai pu confirmer, à quelques exceptions près, les listes proposées par G.

Niklasch (dans [Nik]) : plus de 1200 discriminants identiques ont été trouvés, une vingtaine n’ont pas pu être retrouvés, et 6 nouveaux ont été découverts. Pour les degrés supérieurs, j’obtiens de nombreux discriminants inférieurs à ceux qui étaient connus jusqu’à présent, en particulier pour les degrés qui sont des nombres premiers. Jusqu’au degré 14, les discriminants obtenus sont de sérieux candidats pour être minimaux, au delà, je trouve encore de nombreux petits discriminants mais qui ne sont probablement pas les plus petits. Si les polynômes qui définissent des corps de nombres sont irréductibles, il est encore intéressant d’étudier le comportement des discriminants des polynômes non nécessairement irréductibles. Pour ces polynômes, j’ai pu démontrer tous les discriminants minimaux jusqu’au degré 7, pour chaque signature. Cette recherche de polynômes factorisables de petits discriminants m’a naturellement amené à considérer des familles de polynômes dont les résultants deux à deux sont petits (égaux à ±1), et j’ai constaté que ces familles ont la curieuse propriété de contenir les polynômes de discriminants minimaux pour diverses signatures. Cette partie contient de nombreux résultats numériques, mais pose aussi de nouvelles questions (théoriques), et ouvre la voie à des investigations futures.

12  TABLE DES MATIÈRES

Mots-Clés et Notations

Mots-Clés

Algorithme Corps de Nombres Courbe Elliptique Discriminant Équation de Legendre Groupe de Classes Nombre Algébrique Norme Polynôme Résultant Unité / S-Unité

Notations Générales

C_{n}  groupe cyclique d’ordre n
|G|  cardinal du groupe fini G
⟨x⟩  sous-groupe engendré par x
p  un nombre premier
𝔭, 𝔓  un idéal premier
v_{𝔭}(x) valuation de l’élément x en 𝔭
ℤ_{K}  anneau des entiers du corps K
𝕌_{K}  groupe des unités de K
(a, b) pgcd des deux entiers a et b
(a, b)_{K} symbole de Hilbert global dans le corps K
(a, b)_{𝔭} symbole de Hilbert local en la place 𝔭

14  TABLE DES MATIÈRES

Chapitre I

S-Unités et Groupes de Classes Relatifs

Nous décrivons dans ce chapitre deux outils mathématiques qui nous servirons dans les chapitres suivants. Les S-entiers se révèlent être un outil tout à fait utile car ce sont des fractions qui possèdent les mêmes propriétés que les nombres entiers ordinaires. De plus, leur dénominateur est particulièrement simple. Lorsque l’on veut contrôler à la fois le dénominateur et le numérateur des nombres rationnels, on utilise les S-unités.

Qu’est-ce qu’un S-Entier ou une S-Unité ?

La notion de S-entier est une notion tout à fait simple que l’on utilise couramment sans le dire, et l’on parle plus volontiers de nombres décimaux, mais c’est finalement le même objet.

Entre l’ensemble ℤ des entiers et l’ensemble ℚ des fractions, on peut intercaler l’ensemble D des nombres décimaux, qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Ces nombres décimaux se comportent de la même manière que les nombres entiers habituels : on peut les additionner, les soustraire, les multiplier…On peut aussi les définir comme les fractions qui n’ont que des puissances de 10 au dénominateur, c’est-à-dire que des puissances de 2 et de 5. Les nombres décimaux sont les S-entiers lorsque l’ensemble S contient exactement 2 et 5. Plus généralement, les S-entiers sont les nombres qui peuvent s’écrire comme des fractions, dont les dénominateurs ne contiennent que des puissances des nombres premiers qui sont dans l’ensemble S.

Parmi les nombres décimaux, certains ont la propriété supplémentaire que leur inverse est aussi un nombre décimal, comme 2, 5, 0.1, 2.5,…Ces nombres sont ceux qui peuvent s’écrire comme une fraction où le numérateur et le dénominateur sont tous les deux des puissances de 2 ou 5. Ces nombres sont les S-unités lorsque l’ensemble S contient 2 et 5. Plus généralement les S-unités sont les fractions dont les numérateurs et les dénominateurs ne contiennent que des puissances des nombres premiers qui sont dans l’ensemble S.

16  S-Unités et Groupes de Classes Relatifs

Dans le cas des nombres décimaux, on constate que les S-unités peuvent toutes s’écrire en fonction de −1, 2 et 5, sous la forme

u = (−1)^{ε}2^{α}5^{β},

où ε ∈ {0, 1} et α, β ∈ ℤ. Les unités 2 et 5 sont dans ce cas des unités fondamentales. De telles unités sont particulièrement utiles quand on manipule les S-unités en général.

I.1 S-Unités

Dans cette partie nous rappelons les notions fondamentales sur les S-unités d’un corps de nombres K, et nous donnons les algorithmes qui permettent de les utiliser.

I.1.1 Définitions, Notations et Propriétés

Soit S un ensemble fini d’idéaux premiers de K. On dit que x ∈ K est un S-entier si v_{𝔭}(x) ⩾ 0 pour tout 𝔭 ∉ S. On dit que x ∈ K^{∗} est une S-unité si v_{𝔭}(x) = 0 pour tout 𝔭 ∉ S. On note ℤ_{K,S} l’anneau des S-entiers de K, et 𝕌_{K,S} le groupe multiplicatif des S-unités de K^{∗}. Les éléments inversibles de ℤ_{K,S} sont exactement les S-unités. Notons I_{S}(K) le groupe des idéaux fractionnaires de ℤ_{K,S} et P_{S}(K) le sous-groupe des idéaux principaux (on dira aussi S-principaux). On note ⟨S⟩ le sous-groupe de I(K) des idéaux I tels que v_{𝔭}(I) = 0 pour tout 𝔭 ∉ S, et on dit qu’un idéal I est S-entier si v_{𝔭}(I) ⩾ 0 pour tout 𝔭 ∉ S.

Si L/K est une extension de K, et S est encore un ensemble fini d’idéaux premiers du corps de base K, on dit que x ∈ L est une S-unité si v_{𝔓}(x) = 0 pour tous les premiers 𝔓 de L sauf peut-être pour les premiers au-dessus de S. On peut définir de la même manière les S-entiers de L. On note 𝕌_{L,S} (resp. ℤ_{L,S}) le groupe des S-unités (resp. l’anneau des S-entiers) de L.

Le groupe de classes ordinaire Cl(K) est défini comme le quotient fini I(K)/P(K). On peut s’inspirer de cette définition et définir le S-groupe de classes Cl_{S}(K) comme le quotient I_{S}(K)/P_{S}(K). La proposition suivante permet de relier les différentes notions :

Proposition I.1.1 Le diagramme suivant est exact :

(A)  (B)
1  1
↓  ↓
1 → 𝕌_{K} → 𝕌_{K,S} → ⟨S⟩ → Cl(⟨S⟩) → 1
↓  ↓
1 → 𝕌_{K} → K^{∗} → I(K) → Cl(K) → 1
↓ ϕ  ↓ ϕ̄
1 → 𝕌_{K,S} → K^{∗} → I_{S}(K) → Cl_{S}(K) → 1
↓  ↓
1  1

\underline{I.1 S-Unités 17}

Preuve : L’exactitude des suites horizontales n’est rien d’autre que la traduction des définitions des groupes de classes. Le morphisme ϕ est défini sur les idéaux entiers par I ↦ Iℤ_{K,S}, puis prolongé aux idéaux fractionnaires. Le morphisme ϕ̄ est défini de la même manière sur les classes d’idéaux.

Exactitude de (A) : L’exactitude en ⟨S⟩ est claire. Pour montrer l’exactitude en I_{S}(K), il suffit de montrer que tous les idéaux entiers de I_{S}(K) peuvent être écrits sous la forme ϕ(I). Soit I_{S} un idéal entier de I_{S}(K), et soit I = I_{S} ∩ ℤ_{K} : c’est un idéal entier de I(K). Il reste à prouver que ϕ(I) = I_{S}, ce qui équivaut à (I_{S} ∩ ℤ_{K})ℤ_{K,S} = I_{S}. On sait déjà que (I_{S} ∩ ℤ_{K})ℤ_{K,S} ⊂ I_{S}ℤ_{K,S} = I_{S}. Soit maintenant x ∈ I_{S}. Dans I(K), on a la factorisation en idéaux premiers suivante :

xℤ_{K} = 𝔭_{1}^{x_{1}} ⋯ 𝔭_{n}^{x_{n}}𝔮_{1}^{y_{1}} ⋯ 𝔮_{m}^{y_{m}}

avec 𝔭_{i} ∈ S, x_{i} ∈ ℤ, 𝔮_{i} ∉ S et y_{i} ⩾ 0. On peut ordonner les 𝔭_{i} de sorte que x_{1}, …, x_{k} ⩽ 0 et x_{k+1}, …, x_{n} ⩾ 0. Soit h le cardinal de Cl(K). L’idéal entier (𝔭_{1}^{−x_{1}} … 𝔭_{k}^{−x_{k}})^{h} est principal, engendré par une S unité entière α. On a alors

αxℤ_{K} = 𝔭_{1}^{x′_{1}} ⋯ 𝔭_{n}^{x′_{n}}𝔮_{1}^{y_{1}} ⋯ 𝔮_{m}^{y_{m}}

où tous les exposants sont positifs ou nuls. On déduit alors que αx ∈ ℤ_{K}, et αx ∈ ℤ_{K} ∩ I_{S}. Mais on a \frac{1}{α} ∈ ℤ_{K,S}, donc on a aussi x = αx·\frac{1}{α} ∈ (I_{S}∩ℤ_{K})ℤ_{K,S}. Ceci prouve la surjectivité de ϕ. Pour (A), il n’y a plus qu’à prouver l’exactitude en I(K) : on a clairement ⟨S⟩ ⊂ Ker(ϕ). Maintenant, soit I ∈ Ker(ϕ), on a alors Iℤ_{K,S} = ℤ_{K,S}, d’où v_{𝔭}(I) = 0 pour tout 𝔭 ∉ S, ce qui prouve que I ∈ ⟨S⟩.

Exactitude de (B) : L’exactitude en Cl(⟨S⟩) est claire, et la surjectivité de ϕ̄ provient directement de celle de ϕ. Il n’y a plus qu’à prouver l’exactitude en Cl(K). Comme ⟨S⟩ est le noyau de ϕ, Cl(⟨S⟩) est dans le noyau de ϕ̄. Soit maintenant Ī ∈ Ker(ϕ̄). On a ϕ(I) = αℤ_{K,S} avec α ∈ K^{∗}. Ceci implique que \frac{1}{α}I ∈ Ker(ϕ), et que \frac{1}{α}I ∈ ⟨S⟩, et donc Ī ∈ Cl(⟨S⟩). ■

Cette proposition montre en particulier que 𝕌_{K,S}/𝕌_{K} est un ℤ-module libre de rang égal au cardinal de S, et que le groupe Cl_{S}(K) est le quotient du groupe Cl(K) par le sous-groupe engendré par S. En particulier, ce groupe est fini, et son cardinal divise celui de Cl(K).

I.1.2 Algorithmes

Nous donnons maintenant l’algorithme qui permet de calculer un système fondamental de S-unités (modulo les unités de K), et qui donne en même temps le groupe Cl_{S}(K) (à partir du groupe Cl(K)). Si l’on garde quelques matrices intermédiaires de cet algorithme, il est possible de résoudre le problème du “logarithme discret” dans 𝕌_{K,S}, et celui de “l’idéal principal” dans Cl_{S}(K). Ceci signifie que si l’on nous donne une S-unité, on peut l’écrire comme le produit des S-unités fondamentales à certaines puissances, et que si l’on nous donne un idéal de K, on peut calculer sa classe dans le groupe Cl_{S}(K), et si sa classe est la classe triviale, on peut trouver un générateur de cet idéal.

Les algorithmes décrits dans cette partie ont fait l’objet d’une implantation dans le système PARI/GP, sous les noms bnfsunit (pour le calcul des S-unités fondamentales et du groupe Cl_{S}(K)) et bnfissunit (pour le logarithme discret et l’idéal principal dans Cl_{S}(K)). Notation : Posons S = {𝔭_{1}, …, 𝔭_{s}}, et soient d_{1}, …, d_{r} les diviseurs élémentaires du groupe Cl(K), et 𝔤_{1}, …, 𝔤_{r} les générateurs correspondants. On utilise la notation (A|B) pour la concaténation de deux matrices A et B dans cet ordre. Si V est un vecteur avec k composantes, et si U est une matrice k × l, W = V^{U} est le vecteur à l composantes défini par W_{j} = ∏_{i} V_{i}^{U_{i,j}}. On peut remarquer que (V^{A})^{B} = V^{AB}.

Algorithme I.1.2 (Calcul de Cl_{S}(K) et d’un système d’unités fondamentales de 𝕌_{K,S}/𝕌_{K}) . 1– Soit

M = ( ..._{0  d_{r}}^{d_{1}  0} )

et V = (β_{1}, …, β_{r}) tels que 𝔤_{i}^{d_{i}} = β_{i}ℤ_{K}, avec β_{i} ∈ K^{∗}.

2– Soit M′ = −(e_{i,j}) et V′ = (α_{1}, …, α_{s}) tels que e_{i,j} ∈ ℤ, α_{j} ∈ K^{∗} et

𝔭_{j} = ( ∏_{i} 𝔤_{i}^{e_{i,j}})α_{j}.

3– Déterminer la matrice unimodulaire U = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix}) telle que (M|M′)U = (0|H) est sous la forme HNF (Forme Normale d’Hermite) .

4– Calculer (W |W′) = (V |V′)^{U}

Résultats :

Cl_{S}(K) = ∏_{i}(ℤ/H_{i,i}ℤ)𝔤_{i},

et W est un système fondamental de générateurs de 𝕌_{K,S}/𝕌_{K}.

Preuve : Soit 𝔐 la matrice carrée 𝔐 = ( \begin{matrix}M & M′ \\ 0 & Id \end{matrix} ). Les différentes matrices sont reliées par la relation

(𝔤_{1}, …, 𝔤_{r}, 𝔭_{1}, …, 𝔭_{s})^{𝔐} = (β_{1}ℤ_{K}, …, β_{r}ℤ_{K}, α_{1}ℤ_{K}, …, α_{s}ℤ_{K}) = (V |V′)ℤ_{K}

On a 𝔐U = ( \begin{matrix}0 & H \\ C & D \end{matrix}). On peut remarquer que cette relation prouve que la matrice C est de déterminant non nul. On a alors la nouvelle relation

(𝔤_{1}, …, 𝔤_{r}, 𝔭_{1}, …, 𝔭_{s})^{𝔐U} = (W |W′)ℤ_{K}

de sorte que, pour chaque composante, on peut écrire

W_{j}ℤ_{K} = ∏_{i} 𝔭_{i}^{C_{i,j}}.

On voit que toutes les composantes de W sont des S-unités.

Soit maintenant w une S-unité. Il faut montrer que w peut s’écrire comme un produit de W_{j}. L’idéal principal wℤ_{K} se factorise sous la forme ∏ 𝔭_{i}^{F_{i}}, et le vecteur F ainsi défini est à coefficients entiers. On peut écrire

(𝔤_{1}, …, 𝔤_{r}, 𝔭_{1}, …, 𝔭_{s})^{( \begin{matrix}M′ \\ Id \end{matrix} )} = V′ℤ_{K},

et si l’on élève cette relation à la puissance F, on obtient

(𝔤_{1}, …, 𝔤_{r}, 𝔭_{1}, …, 𝔭_{s})^{(\begin{matrix}M′F \\ F \end{matrix})} = V′^{F} ℤ_{K},

mais les idéaux wℤ_{K} = (𝔭_{1}, …, 𝔭_{s})^{F} et V′ ^{F} ℤ_{K} sont principaux, donc (𝔤_{1}, …, 𝔤_{r})^{M′F} est principal, et on peut donc écrire M′F = MZ, où Z a des coefficients entiers. Ceci équivaut à dire que MZ − M′F = 0, ou que ( \begin{matrix}−Z \\ F \end{matrix} ) est dans le noyau de (M|M′). Mais le noyau de (M|M′) est engendré par les colonnes ( \begin{matrix}A \\ C \end{matrix}) de la matrice U (pour une explication de ce fait, on peut consulter par exemple [Coh-Dia-Oli c]), et ainsi ( \begin{matrix}−Z \\ F \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}A \\ C \end{matrix}) Y. On a en particulier F = CY. Tout ceci nous donne la relation désirée

w = u · ∏ W_{j}^{y_{j}}

où u est une unité de 𝕌_{K}.

Il faut maintenant prouver que l’algorithme donne bien le groupe Cl_{S}(K). Il est clair que les 𝔤_{i} engendrent le groupe de classes Cl_{S}(K) puisqu’ils engendrent déjà Cl(K) dont le premier est un quotient. Il faut montrer que les relations données par (𝔤_{1}, …, 𝔤_{r})^{H}ℤ_{K,S} = W′ℤ_{K,S} sont les seules. Soit (𝔤_{1}, …, 𝔤_{r})^{E}ℤ_{K,S} = wℤ_{K,S} une relation. On peut l’écrire

(𝔤_{1}, …, 𝔤_{r})^{E}(𝔭_{1}, …, 𝔭_{s})^{F} = wℤ_{K}.

Dans le groupe Cl(K), on a ainsi une nouvelle relation

(𝔤_{1}, …, 𝔤_{r})^{E−M′F} = w′ℤ_{K}.

Ceci n’est possible que si E − M′F est de la forme MZ puisque M engendre toutes les relations de Cl(K). Mais alors E = MZ + M′F est dans l’image de (M|M′), qui est ellemême donnée par la matrice H, donc E est de la forme E = HZ′. Ceci prouve que Cl_{S}(K) ne contient pas d’autre relation que celles données par la matrice H. ■ Remarques :

– Si l’on veut les diviseurs élémentaires de Cl_{S}(K), il suffit de prendre la SNF (Forme Normale de Smith) de H, et pas seulement la HNF (Forme Normale d’Hermite). Ceci signifie que l’on s’autorise la multiplication à gauche par une matrice inversible, c’est-à-dire que l’on s’autorise un changement de base sur les 𝔤_{i}.

– La matrice C de l’étape 3 contient les valuations des S-unités fondamentales sur les 𝔭_{i} de S. On a prouvé que son déterminant est non nul. Cette matrice n’est définie qu’à la multiplication à droite par une matrice unimodulaire près. Pour la même raison, la matrice D n’est définie que modulo C. En effet, on a la relation :

( \begin{matrix}M & M′ \\ 0 & Id \end{matrix} ) ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix}) ( \begin{matrix}U′ & X \\ 0 & Id \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & H \\ CU′ & D+CX \end{matrix} )

Pour cette raison, on peut choisir un système fondamental de S-unités qui possède des propriétés supplémentaires. Par exemple, on peut obtenir des S-unités qui sont des entiers algébriques : il suffit pour cela de prendre la HNF de C. Si l’on veut des petites S-unités on peut réduire la matrice C avec l’Algorithme LLL, qui assure que la nouvelle matrice C a des petits coefficients entiers. Il faut remarquer que la multiplication à gauche de C par une matrice de permutation équivaut à changer l’ordre des 𝔭_{i} dans S. Cette remarque nous permet d’appliquer l’Algorithme LLL avec permutations qui est souvent plus efficace.

Corollaire I.1.3 Il existe un système fondamental de S-unités formé d’entiers algébriques de K.

Si l’on garde la matrice C de l’Algorithme I.1.2, il est très simple d’exprimer une Sunité comme produit des S-unités fondamentales, autrement dit, le logarithme discret dans 𝕌_{K,S} est algorithmiquement simple. De même, si l’on garde les matrices H et D, et les vecteurs W et W′, on peut calculer la classe d’un idéal dans le groupe Cl_{S}(K) et trouver un générateur d’un idéal S-principal, c’est-à-dire résoudre algorithmiquement le problème de l’idéal principal.

Les deux algorithmes sont les suivants :

Algorithme I.1.4 (Logarithme Discret dans 𝕌_{K,S}/𝕌_{K}) .

Donnée : u ∈ 𝕌_{K,S}.

1– Déterminer le vecteur F = (F_{i}) tel que uℤ_{K} = ∏ 𝔭_{i}^{F_{i}}.

2– Calculer Z = C^{−1}F qui a des coefficients entiers.

Résultat : On obtient u = ∏ W_{j}^{Z_{j}} · u′ avec u′ ∈ 𝕌_{K}.

Algorithme I.1.5 (Idéal Principal dans Cl_{S}(K)) .

Donnée : I idéal de K.

1– Déterminer F = (F_{i}) et α ∈ K^{∗} tels que I = ∏ 𝔤_{i}^{F_{i}} · α (c’est l’algorithme de l’idéal principal dans Cl(K)) .

2– Réduire F modulo H : F′ = F − HZ

Résultat : On trouve I sous la forme

I = ( ∏ 𝔤_{i}^{F′_{i}})( ∏ 𝔭_{i}^{(−DZ)_{i}})( ∏ W_{i}^{Z_{i}} · α)

Remarque : À l’étape 2, la réduction modulo H signifie que l’on réduit F_{i} modulo H_{i,i}. Pour faire cela, il faut effectuer les différentes divisions euclidiennes successivement en commençant par les plus grands indices.

I.2 Groupes de Classes Relatifs

Si L/K est une extension relative de corps de nombres, il existe au moins deux morphismes canoniques entre les groupes de classes Cl(L) et Cl(K). En effet, si I_{L} est un idéal de L, on peut prendre sa norme dans K. Ce morphisme passe sans difficulté au quotient et permet de définir un morphisme N_{L/K} de Cl(L) dans Cl(K). Si I_{K} est un idéal (entier) de K, on peut former l’idéal (entier) I_{K}ℤ_{L} de L. Ceci s’étend aux idéaux fractionnaires de K, et définit un morphisme sur les idéaux. Comme le précédent morphisme, on peut passer au quotient, et l’on obtient ainsi un morphisme i de Cl(K) dans Cl(L). À partir de chacun de ces deux morphismes, on peut définir une notion différente de groupe de classes relatif pour l’extension L/K.

I.2.1 Définitions

L’application I_{K} ↦ I_{K}ℤ_{L} induit un morphisme i de Cl(K) vers Cl(L), et suggère la définition suivante :

Définition I.2.1 Un idéal I_{L} de L est pseudo-principal s’il existe α ∈ L et un idéal I_{K} de K tel que I_{L} = αI_{K}ℤ_{L}. Si I est le groupe des idéaux fractionnaires de L, on note PP le sous-groupe des idéaux pseudo-principaux. On définit alors le groupe de classes relatif (pour l’inclusion) Cl_{i}(L/K) par

Cl_{i}(L/K) = I/PP,

et l’on note h_{i}(L/K) = |Cl_{i}(L/K)| son ordre.

Remarque : Comme PP est un sous-groupe de I contenant le sous-groupe des idéaux principaux de L, Cl_{i}(L/K) est un quotient du groupe Cl(L). En particulier, Cl_{i}(L/K) est un groupe fini, et son ordre divise celui de Cl(L). On a

Cl_{i}(L/K) = Cl(L)/i(Cl(K)) = Coker(i).

Remarquons par exemple que si Cl(K) = 1, alors Cl_{i}(L/K) = Cl(L).

On définit aussi le groupe de capitulation Cl_{i}(K) comme le noyau de l’application i : Cl_{i}(K) = Ker(i). La suite exacte suivante traduit les définitions :

1 → Cl_{i}(K) → Cl(K) →^{i} Cl(L) → Cl_{i}(L/K) → 1

L’application I_{L} ↦ N_{L/K}(I_{L}) sur les idéaux induit un morphisme N_{L/K} de Cl(L) dans Cl(K), et suggère la définition suivante :

Définition I.2.2 Le groupe de classes relatif (pour la norme) Cl_{N} (L/K) est le sous-groupe de Cl(L) défini par

Cl_{N} (L/K) = Ker(N_{L/K})

et l’on note h_{N} (L/K) = |Cl_{N} (L/K)| son ordre.

Remarque : Comme Cl_{N} (L/K) est un sous-groupe de Cl(L), ce groupe est nécessairement fini. Si Cl(K) = 1, alors Cl_{N} (L/K) = Cl(L) = Cl_{i}(L/K).

On définit aussi le groupe Cl_{N} (K) = Coker(N_{L/K}) = Cl(K)/N_{L/K}(Cl(L)), de sorte que l’on a la suite exacte suivante :

1 → Cl_{N} (L/K) → Cl(L) →^{N_{L/K}} Cl(K) → Cl_{N} (K) → 1

De même que l’on a défini au paragraphe précédent le S-groupe de classes pour un ensemble S arbitraire d’idéaux premiers, on peut définir le S-groupe de classes relatif (pour l’inclusion ou pour la norme) par

Cl_{i,S}(L/K) = Cl_{S}(L)/i(Cl_{S}(K)) = Cl_{i}(L/K)/ ⟨S⟩

Cl_{N ,S}(L/K) = Ker(Cl_{S}(L) →^{N_{L/K}} Cl_{S}(K)) = Cl_{N} (L/K)/ ⟨S⟩ .

I.2.2 Relations Entre les Différents Groupes de Classes Relatifs

On a déjà vu que si Cl(K) = 1 alors les deux notions de groupes de classes relatifs coïncident avec Cl(L). Dans le cas général, ces deux notions ne sont pas équivalentes, mais on peut donner quelques relations entre les deux.

On rappelle les suites exactes qui proviennent directement des définitions :

\begin{aligned}1 & → & Cl_{i}(K) & → & Cl(K) & →^{i} & Cl(L) & → & Cl_{i}(L/K) & → & 1 \\ 1 & → & Cl_{N} (L/K) & → & Cl(L) & →^{N_{L/K}} & Cl(K) & → & Cl_{N} (K) & → & 1 \end{aligned}

Si G est un groupe abélien, et si p est un nombre premier, on note G_{p} son p-sous-groupe de Sylow (ou sa p-partie), et l’application d’élévation à la puissance m dans G est notée [m]. Les deux suites exactes précédentes restent exactes si l’on prend les p-Sylow de chaque groupe. Notons d = [L : K] le degré de l’extension L/K. On a

N_{L/K} ∘ i = [d].

Proposition I.2.3 Si p ∤ h(K), alors Cl(K)_{p} = Cl_{i}(K)_{p} = Cl_{N} (K)_{p} = 1 et Cl(L)_{p} ∼ Cl_{i}(L/K)_{p} ∼ Cl_{N} (L/K)_{p}. Ces trois groupes sont engendrés par les classes des mêmes idéaux.

Preuve : C’est évident à partir des suites exactes car dans ce cas Cl(K)_{p} = 1. ■

Proposition I.2.4 Si p ∤ d, alors Cl_{i}(K)_{p} = Cl_{N} (K)_{p} = 1 et Cl_{i}(L/K)_{p} ∼ Cl_{N} (L/K)_{p}. Ces deux groupes sont engendrés par les classes des mêmes idéaux.

Preuve : Puisque d est premier à p, N_{L/K} ∘ i = [d] est un automorphisme de Cl(K)_{p}. En particulier, l’application i est injective et l’application N_{L/K} est surjective. Ceci prouve que Cl_{i}(K)_{p} = Cl_{N} (K)_{p} = 1. Soit ψ et ϕ les applications naturelles dans les diagrammes exacts suivants :

\begin{aligned}1 & → & Cl(K)_{p} & →^{i} & Cl(L)_{p} & →^{ψ} & Cl_{i}(L/K)_{p} & → & 1 \\ 1 & → & Cl_{N} (L/K)_{p} & →^{ϕ} & Cl(L)_{p} & →^{N_{L/K}} & Cl(K)_{p} & → & 1 \end{aligned}

Il faut prouver que ψ ∘ ϕ est un isomorphisme. Soit ψ ∘ ϕ(Ī_{L}) = 1, alors ϕ(Ī_{L}) = i(Ī_{K}), et N_{L/K}(ϕ(Ī_{L})) = 1 = N_{L/K}(i(Ī_{K})) = Ī_{K}^{d}. Mais [d] est un isomorphisme de Cl(K)_{p}, donc Ī_{K} = 1 et ϕ(Ī_{L}) = 1. Puisque ϕ est injective, on a Ī_{L} = 1, et ceci prouve que ψ ∘ ϕ est injective.

Pour prouver que ψ ∘ ϕ est un isomorphisme, il suffit de prouver que les deux groupes Cl_{N} (L/K)_{p} et Cl_{i}(L/K)_{p} ont le même cardinal. Or, la première suite exacte donne |Cl_{i}(L/K)_{p}| = |Cl(L)_{p}|/|Cl(K)_{p}| et la seconde donne |Cl(L)_{p}|/|Cl(K)_{p}| = |Cl_{N} (L/K)_{p}|. Ainsi, ψ ∘ ϕ est un isomorphisme.

Il est clair que ψ et ϕ préservent tous les deux la classe d’un idéal, et que l’isomorphisme ψ ∘ ϕ préserve aussi la classe d’un idéal. Ainsi, les groupes Cl_{i}(L/K)_{p} et Cl_{N} (L/K)_{p} sont engendrés par les classes des mêmes idéaux, et ceci achève la preuve de la proposition. ■

On peut déduire le corollaire suivant :

Corollaire I.2.5 Si (d, h(K)) = 1 alors Cl_{i}(K) = Cl_{N} (K) = 1 et Cl_{i}(L/K) = Cl_{N} (L/K).

La proposition suivante peut être vue comme une reformulation des précédentes dans un langage différent :

Proposition I.2.6 Les exposants des groupes Cl_{i}(K) et Cl_{N} (K) divisent tous les deux le pgcd (d, h(K)).

D’après ce que nous avons vu, les deux notions de groupes de classes relatifs ne diffèrent que pour les premiers qui divisent (d, h(K)). Remarque : Le fait que l’isomorphisme entre Cl_{i}(L/K) et Cl_{N} (L/K) respecte les classes d’idéaux montre qu’il ne s’agit pas seulement d’un isomorphisme de groupes abstraits, mais réellement d’une égalité de deux groupes.

On donne maintenant un exemple pour lequel les deux groupes ne sont pas égaux : Exemple : Soit K = ℚ(y) avec y^{2} + 30 = 0. Le groupe de classes de K est de type C_{2} × C_{2} engendré par les idéaux premiers ramifiés 𝔭_{3} et 𝔭_{5} au-dessus de 3 et 5.

Soit L = K(x) avec x^{2} − y = 0. Dans ce cas, on a (d, h(K)) = 2. Le groupe de classes de L est de type C_{4} × C_{2} engendré par l’idéal premier (totalement ramifié) 𝔓_{3} (d’ordre 4) audessus de 3, et 𝔓_{5} (d’ordre 2) au-dessus de 5. Les relations N_{L/K}(𝔓_{3}) = 𝔭_{3} et N_{L/K}(𝔓_{5}) = 𝔭_{5} montrent que Cl_{N} (L/K) ∼ C_{2} est engendré par 𝔓_{3}^{2}. D’autre part, les relations 𝔭_{3}ℤ_{L} = 𝔓_{3}^{2} et 𝔭_{5}ℤ_{L} = 𝔓_{5}^{2} montrent que Cl_{i}(L/K) ∼ C_{2} × C_{2} est engendré par 𝔓_{3} et 𝔓_{5}.

I.2.3 Algorithmes pour les Groupes de Classes Relatifs

On ne donnera pas ici un algorithme pour calculer directement les deux groupes de classes relatifs, car cela est assez difficile. Pour le cas d’une extension relative quadratique, H. Cohen, F. Diaz Y Diaz et M. Olivier dans [Coh-Dia-Oli b] décrivent un algorithme explicite pour cela. Cet algorithme peut être étendu au cas d’une extension relative quelconque. Il est préférable d’utiliser un tel algorithme dès que cela est possible. Tel qu’il est décrit, cet algorithme donne le groupe Cl_{i}(L/K). À partir de celui-ci, on peut retrouver le groupe Cl(L), ainsi que le groupe Cl_{N} (L/K). Le groupe Cl_{i}(L/K) semble donc plus naturel que le groupe Cl_{N} (L/K).

Une méthode plus simple consiste à utiliser les définitions. En effet, Cl_{i}(L/K) est un quotient de Cl(L), et l’article [Coh-Dia-Oli c] explique comment le déterminer à partir des groupes Cl(L) et Cl(K), lorsque l’on connaît l’application i. Le même article [Coh-Dia-Oli c] explique comment déterminer Cl_{N} (L/K) comme le noyau de l’application N_{L/K} de Cl(L) dans Cl(K).

Nous verrons au chapitre III que le groupe Cl_{i}(L/K) est plus adapté aux problèmes que nous considérons que le groupe Cl_{N} (L/K).

24  S-Unités et Groupes de Classes Relatifs

Chapitre II

Équations de Legendre et Courbes Elliptiques

On s’intéresse particulièrement aux équations quadratiques de Legendre de la forme

X^{2} − aY^{2} = b

où a et b sont deux éléments d’un corps de nombres K.

Le but de ce chapitre est de résoudre explicitement cette équation, dans le corps K, et de trouver une solution rationnelle, ce qui est équivalent à paramétrer l’ensemble de toutes les solutions. La résolution de cette équation est une étape essentielle dans la détermination du rang d’une courbe elliptique.

La première partie décrit le symbole de Hilbert quadratique qui permet de décider l’existence d’une solution. Ceci est intimement lié à l’extension quadratique K(\sqrt{a}). Plus précisément, il existe une solution si et seulement si b est une norme pour l’extension K(\sqrt{a}). Nous n’approfondirons pas ici cette approche, que nous gardons pour le chapitre suivant, où nous nous intéressons d’une manière générale aux équations N_{L/K}(x) = b où L/K est une extension de corps de nombres fixée.

La deuxième partie décrit un algorithme pour résoudre l’équation de Legendre dans le cas de K = ℚ, et une généralisation possible de cet algorithme dans un corps de nombres. Ce que nous donnons ici est plus une méthode qui donne souvent une solution, qu’un véritable algorithme qui marcherait dans tous les cas.

Enfin dans la troisième partie, qui est la motivation des parties précédentes, nous nous intéressons aux courbes elliptiques. Cette partie est le résultat d’un travail en collaboration avec J. Cremona. En effet, celui-ci a proposé un algorithme pour déterminer le rang d’une courbe elliptique, et cet algorithme semblait s’adapter au cas des corps de nombres, contrairement aux algorithmes précédemment connus. La première étape de cet algorithme a nécessité l’utilisation des S-unités : nous leur avons déjà consacré le chapitre précédent. L’étape suivante exige la résolution d’équations de Legendre, et c’est pourquoi il a fallu adapter aux corps de nombres les algorithmes déjà connus pour résoudre cette équation dans le corps des rationnels. La dernière étape enfin consiste à chercher des points sur des quartiques, or il n’existe aujourd’hui aucun algorithme pour montrer que certaines quartiques n’ont pas de point, même lorsque le corps de base est ℚ. Le résultat est qu’il faut souvent se contenter d’encadrements pour le rang d’une courbe elliptique. Grâce à cet algorithme nous avons réussi à calculer le rang de certaines courbes elliptiques sur un corps cubique ou même quintique.

L’originalité de ce chapitre ne réside pas dans les preuves des propositions (qui sont dans l’ensemble assez classiques), mais dans leur utilisation. Ainsi, nous rassemblons les propositions sur lesquelles reposent les algorithmes, sans les démontrer. Nous donnons en référence les articles ou les livres qui développent ces preuves. Nos deux principales références sont [Ser] pour les équations de Legendre et les symboles de Hilbert, et [Cre a] pour les courbes elliptiques.

II.1 Propriétés de l’Équation de Legendre

Sous sa forme homogène l’équation de Legendre peut s’écrire

X^{2} − aY^{2} = bZ^{2}.

Dans ce paragraphe, nous noterons L(a, b) cette équation. Les coefficients a et b jouent des rôles symétriques et les équations L(a, b) et L(b, a) sont tout à fait équivalentes.

Nous dirons que l’équation L(a, b) est dégénérée si a ou b est nul, ou plus généralement si a ou b est un carré. En effet, si a = α^{2} ≠ 0, on a

X^{2} − aY^{2} = (X − αY)(X + αY)

et on trouve une solution si l’on résout par exemple le système

X − αY = 1
X + αY = b

dont le déterminant est 2α ≠ 0. Lorsque a est nul, alors (a, b) a une solution si et seulement si b est un carré.

On voit sans peine que l’équation L(a, b) équivaut à l’équation L(ac^{2}, bd^{2}) où c et d sont deux éléments non nuls de K. Cette dernière remarque signifie que pour résoudre l’équation de Legendre, on peut se ramener au cas où a et b sont des entiers (en les multipliant par leur dénominateur au carré), et que l’on peut les supposer sans facteur carré (on ne peut pas toujours supposer que les idéaux principaux aℤ_{K} et bℤ_{K} sont sans facteur carré).

Supposons maintenant que ni a ni b ne sont des carrés. Comme nous l’avons vu dans l’introduction, l’équation de Legendre équivaut à l’équation

N_{L/K}(x) = b

où L = K(\sqrt{a}). Mais on sait que la norme est une fonction multiplicative, ce qui nous suggère que l’équation de Legendre est elle-même multiplicative. En effet, on dispose de la relation :

(X_{1}^{2} − aY_{1}^{2})(X_{2}^{2} − aY_{2}^{2}) = (X_{1}X_{2} + aY_{1}Y_{2})^{2} − a(X_{1}Y_{2} + X_{2}Y_{1})^{2}

Cette propriété essentielle de l’équation de Legendre nous permet d’utiliser une méthode de descente pour la résoudre, c’est-à-dire que pour résoudre L(a, b), on se ramène à résoudre L(c, d) où c et d sont plus petits que a et b.

L’équation de Legendre (non dégénérée) définit une courbe algébrique de degré 2 et de genre 0. Ceci implique en particulier deux choses fondamentales :

– l’existence de solutions dans K est équivalente à l’existence de solutions locales pour toutes les places, d’après le Principe de Hasse : cette condition locale est le symbole de Hilbert (a, b)_{K} de l’équation L(a, b).

– l’ensemble des solutions, s’il est non vide, est paramétré par une variable. En effet, ceci peut se faire de la manière suivante :

Soit P_{0}(x_{0}, y_{0}) une solution particulière. On trace à partir de P_{0} une droite de pente λ. Cette droite rencontre la courbe donnée par l’équation de Legendre x^{2} − ay^{2} = b au point P_{0}. Comme cette équation est de degré 2, la droite doit rencontrer la courbe en un autre point P_{λ} (éventuellement confondu avec P_{0} si la droite est tangente à la courbe). On peut calculer les coordonnées de P_{λ} en fonction de P_{0} et de λ. Ceci donne la formule :

P_{λ} (\frac{2y_{0}aλ − x_{0}(aλ^{2} + 1)}{1 − aλ^{2}}, \frac{2x_{0}λ − y_{0}(aλ^{2} + 1)}{1 − aλ^{2}})

Si P_{0} et P_{λ} ont pour coordonnées homogènes (x_{0}, y_{0}, z_{0}) et (x, y, z), on a

\begin{matrix}x = & 2y_{0}aλ − x_{0}(aλ^{2} + 1) \\ y = & 2x_{0}λ − y_{0}(aλ^{2} + 1) \\ z = & z_{0}(1 − aλ^{2}) \end{matrix}

Dans le cas particulier de l’équation de Pythagore x^{2} + y^{2} = z^{2}, en partant de la solution triviale 1^{2} + 0^{2} = 1^{2}, on retrouve la solution générale bien connue :

\begin{matrix}x = & λ^{2} − 1 \\ y = & 2λ \\ z = & λ^{2} + 1 \end{matrix}

Ces remarques montrent que la résolution de l’équation de Legendre se ramène à la preuve de l’existence de solutions (ou la non existence), et la construction d’une solution particulière.

II.2 Symboles de Hilbert et Symboles de Legendre

II.2.1 Définitions et Propriétés

D’après le Principe de Hasse, l’équation x^{2} − ay^{2} − bz^{2} = 0 (avec ab ≠ 0) a une solution dans un corps de nombres K si et seulement si elle admet une solution locale en toutes les places finies et infinies. On se propose donc de donner un algorithme répondant à cette question pour chaque place de K, et globalement sur K.

On définit le symbole de Hilbert local de la manière suivante :

Définition II.2.1 (Symbole de Hilbert) Soit 𝔭 une place (finie ou infinie) de K. Le symbole de Hilbert local (a, b)_{𝔭} est défini par

(a, b)_{𝔭} = \begin{cases}1 & s’il existe (x, y, z) ≠ (0, 0, 0) ∈ K_{𝔭}^{3} tel que x^{2} − ay^{2} − bz^{2} = 0 \\ −1 & sinon. \end{cases}

Le symbole de Hilbert global (a, b)_{K} est défini par

(a, b)_{K} = \begin{cases}1 & s’il existe (x, y, z) ≠ (0, 0, 0) ∈ K^{3} tel que x^{2} − ay^{2} − bz^{2} = 0 \\ −1 & sinon. \end{cases}

Le Principe de Hasse s’écrit donc de la manière suivante :

Proposition II.2.2 (Principe de Hasse)

(a, b)_{K} = 1 ⇔ (a, b)_{𝔭} = 1 ∀ 𝔭.

Le symbole de Hilbert (local ou global) jouit de nombreuses propriétés : pour tout a,b,c ≠ 0 on a :

(a, b) = (b, a)
(a, c^{2}) = 1
(a, −a) = (a, 1 − a) = 1
(a, bc)_{𝔭} = (a, b)_{𝔭}(a, c)_{𝔭} (seulement pour le symbole local)

La première propriété traduit simplement la symétrie de l’équation de Legendre en a et b. Les deux suivantes se montrent en exhibant une solution particulière. Enfin la dernière propriété vient de la multiplicativité des équations de Legendre. Elle n’est pas vraie globalement comme le montre l’exemple suivant : Exemple : Dans ℚ, si l’on choisit a = 3, b = 5 et c = 7 on a les égalités

(3, 5)_{ℚ} = (3, 7)_{ℚ} = (3, 35)_{ℚ} = −1

qui proviennent des symboles locaux

(3, 5)_{5} = (3, 7)_{7} = (3, 35)_{3} = −1.

Définition II.2.3 (Symbole de Legendre) Soit 𝔭 une place finie de K et 0 ≠ x ∈ ℤ_{K,𝔭} tel que v_{𝔭}(x) = 0. On définit le symbole de Legendre (\frac{x}{𝔭}) par

(\frac{x}{𝔭}) = \begin{cases}1 & si x = y^{2} dans ℤ_{K,𝔭} \\ −1 & sinon. \end{cases}

Remarque : Malgré son nom, c’est bien le symbole de Hilbert qui détermine si l’équation de Legendre possède une solution, et non pas le symbole de Legendre.

Les propositions suivantes montrent que ces deux symboles sont intimement liés. Nous ne donnons pas leur preuve que l’on peut trouver dans [Ser].

Proposition II.2.4 Soit 𝔭 une place finie de K, première à 2, et ab ≠ 0. Soit π une uniformisante de 𝔭, et u et v définis par a = π^{α}u et b = π^{β}v avec v_{𝔭}(u) = v_{𝔭}(v) = 0. On a la relation

(a, b)_{𝔭} = (−1)^{αβ \frac{N_{K/ℚ}(𝔭)−1}{2}} (\frac{u}{𝔭})^{β} (\frac{v}{𝔭})^{α}

Proposition II.2.5 Soit 𝔭 une place finie de K, première à 2, et x inversible dans ℤ_{K,𝔭}. On a l’équivalence

(\frac{x}{𝔭}) = 1 ⇔ v_{𝔭} (x^{\frac{N_{K/ℚ}(𝔭)−1}{2}} − 1) ⩾ 1.

Proposition II.2.6 Dans les mêmes conditions que la Proposition II.2.4, on a les équivalences

(a, b)_{𝔭} = 1 ⇔ (\frac{a^{β}/b^{α}}{𝔭} ) = 1 ⇔ v_{𝔭} ((a^{β}/b^{α})^{\frac{N_{K/ℚ}(𝔭)−1}{2}} − 1) ⩾ 1.

Proposition II.2.7 Soient a, b ∈ ℝ. Alors

(a, b)_{ℝ} = −1 ⇔ a < 0 et b < 0.

Si l’on applique la Proposition II.2.6 avec α = β = 0, on trouve le corollaire suivant :

Corollaire II.2.8 Soit 𝔭 une place finie de K. Si 𝔭 ∤ 2ab, alors (a, b)_{𝔭} = 1.

Ce corollaire nous permet donc de ne tester qu’un nombre fini de places de K pour connaître le symbole (a, b)_{K} global. Il y a donc trois sortes de places à étudier :

– les places réelles (pour les places complexes le symbole de Hilbert est toujours trivial) : elles se calculent simplement à l’aide de la Proposition II.2.7 ;

– les places finies (les idéaux premiers) qui divisent ab mais qui ne divisent pas 2 : elles se calculent à l’aide de la formule de la Proposition II.2.6 ;

– les places finies (les idéaux premiers) qui divisent 2.

La seule difficulté restante pour le calcul du symbole de Hilbert global est le calcul du symbole local en les places qui divisent 2. Dans le cas particulier où le corps de nombres est le corps ℚ des rationnels, on dispose d’une formule simple (voir par exemple [Ser]). Dans le cas général, et malgré l’abondante littérature sur les “formules explicites” (voir par exemple [Fes-Vos]), je ne connais pas de formule qui permette de calculer simplement ce symbole. Malgré cet obstacle théorique, il existe un algorithme simple qui résout cela.

Grâce à la proposition suivante (que l’on trouve dans [Ser]), on sait que les différents symboles de Hilbert locaux sont liés entre eux. En particulier, si l’on veut seulement savoir si l’équation a une solution, c’est-à-dire si elle a des solutions en toutes les places de K, on peut choisir une place en laquelle le calcul est inutile. On omettra par exemple le calcul du symbole de Hilbert en une place où le calcul est plus difficile, comme une place au-dessus de 2, ou une place au-dessus d’un grand nombre premier.

Proposition II.2.9 (Formule du Produit) Lorsque 𝔭 parcourt l’ensemble des places (finies et infinies) de K, on a

∏_{𝔭}(a, b)_{𝔭} = 1.

II.2.2 Places Au-Dessus de 2

Pour les places 𝔭 au-dessus de 2, je ne connais pas de formule simple pour calculer le symbole de Hilbert local (a, b)_{𝔭}. Bien que la théorie ne résolve pas cette question de manière satisfaisante, on peut écrire un algorithme relativement simple pour calculer ce symbole. Cet algorithme est une application directe du Lemme de Hensel (II.2.10).

Proposition II.2.10 (Lemme de Hensel) Soit f(x) un polynôme de ℤ_{K,𝔭}[x] et x_{0} ∈ ℤ_{K,𝔭} tel que v_{𝔭}(f(x_{0})) = λ, v_{𝔭}(f′(x_{0})) = μ avec λ ⩾ 2μ + 1, alors il existe x ∈ ℤ_{K,𝔭} tel que x ≡ x_{0} mod 𝔭^{λ−μ} et f(x) = 0.

Ceci est vrai en particulier lorsque v_{𝔭}(f(x_{0})) > 0 et v_{𝔭}(f′(x_{0})) = 0.

Preuve : voir [Lang][p. 42]. ■

L’algorithme que nous décrivons montre l’existence (ou la non existence) de solutions dans ℤ_{K,𝔭} pour une équation de la forme y^{2} = g(x) où g est un polynôme de degré quelconque. Nous aurons besoin de cet algorithme pour déterminer si une quartique est localement soluble. Si l’on s’intéresse aux solutions dans K_{𝔭}, et que g est de degré pair, il suffit de regarder simultanément les deux équations y^{2} = g(x) et y^{2} = ĝ(x) dans ℤ_{K,𝔭} où ĝ est le polynôme réciproque de g. Pour se convaincre de cela, il suffit de se rappeler que dans K_{𝔭}^{∗}, si un élément n’est pas entier, alors son inverse est entier.

L’algorithme repose sur le lemme suivant dont une démonstration a été proposée par S. Siksek (voir [Sik] ou [Serf]) : c’est une application du Lemme de Hensel II.2.10, qui généralise au cas des corps de nombres un lemme de [Bir-SwD].

Lemme II.2.11 Soient e = v_{𝔭}(2), g(x) ∈ ℤ_{K,𝔭}[x] et x_{0} ∈ ℤ_{K,𝔭}, et soit π une uniformisante de 𝔭 dans ℤ_{K,𝔭}. On note λ = v_{𝔭}(g(x_{0})) et μ = v_{𝔭}(g′(x_{0})). Soit ν ⩾ 0. On peut résoudre y^{2} = g(x) avec v_{𝔭}(x − x_{0}) ⩾ ν si l’on est dans l’un des cas suivants :

1– g(x_{0}) est un carré dans ℤ_{K,𝔭};

2– λ − μ ⩾ ν > μ;

3– ν > μ et λ = μ + ν − i est pair avec 1 ⩽ i ⩽ 2e, et g(x_{0})π^{−λ} est un carré modulo 𝔭^{i}; La précision n’est pas suffisante pour conclure si l’on est dans l’un des cas suivants :

4– μ ⩾ ν et λ ⩾ 2ν;

5– μ ⩾ ν et λ = 2ν − 2i avec 1 ⩽ i ⩽ e, et g(x_{0})π^{−λ} est un carré modulo 𝔭^{2i}; Il n’existe pas de telle solution si l’on est dans les autres cas.

Remarque : Si l’on veut seulement savoir s’il existe une solution entière, sans savoir comment elle se réduit modulo 𝔭^{ν}, on peut remplacer la condition 2 par la condition plus faible

λ > 2μ.

De ce lemme, on déduit l’algorithme récursif suivant pour déterminer la solubilité de l’équation y^{2} = g(x) dans ℤ_{K,𝔭}.

Cet algorithme suppose que l’on dispose d’un système R de représentants de ℤ_{K,𝔭}/𝔭, et d’une uniformisante π de l’idéal 𝔭.

Algorithme II.2.12 (Étant donnés x_{0} ∈ ℤ_{K,𝔭} et ν ⩾ 0, cet algorithme prouve l’existence d’une solution de l’équation y^{2} = g(x) dans ℤ_{K,𝔭} telle que v_{𝔭}(x − x_{0}) ⩾ ν) .

1– Si le Lemme II.2.11 permet de construire une solution, alors arrêter l’algorithme et renvoyer “Soluble”. Si le Lemme II.2.11 montre qu’il n’existe pas de solution, alors arrêter l’algorithme et renvoyer “Non Soluble”.

2– Pour chaque r ∈ R, appliquer l’Algorithme II.2.12 avec x′_{0} = x_{0} + rπ^{ν} et ν′ = ν + 1. 3– Si l’une au moins des réponses de l’étape 2 est positive, alors renvoyer “Soluble”,

sinon renvoyer “Non Soluble”.

Pour calculer le symbole de Hilbert local (a, b)_{𝔭}, il suffit d’appliquer l’Algorithme II.2.12 avec le polynôme g(x) = ax^{2} + b puis avec bx^{2} + a.

Le principe de cet algorithme est de construire une solution jusqu’à une précision telle que le Lemme de Hensel permet de relever cette solution dans ℤ_{K,𝔭}. Cet algorithme se termine toujours, car lorsque ν est grand, les conditions 4 et 5 du Lemme II.2.11 ne peuvent plus être vérifiées à cause de l’inégalité min(λ, μ) ⩽ v_{𝔭}(disc g).

Pour pouvoir appliquer le Lemme II.2.11, il faut être capable de reconnaître les carrés modulo 𝔭^{α} (étapes 3 et 5). Pour cela, nous proposons deux méthodes. La plus simple consiste à calculer tous les carrés de ℤ_{K,𝔭}/𝔭^{α}, et à les stocker dans un long vecteur. Cette méthode est utilisable lorsque 𝔭^{α} n’est pas trop grand. La deuxième méthode consiste à déterminer le groupe (ℤ_{K,𝔭}/𝔭^{α})^{∗}, c’est-à-dire le décomposer sous sa forme canonique

(ℤ_{K,𝔭}/𝔭^{α})^{∗} = ∏_{i} (ℤ/d_{i}ℤ) ω_{i}

où les d_{i} sont les diviseurs élémentaires, et les ω_{i} sont des générateurs de chaque facteur. Dans ce groupe tout élément se factorise de manière unique sous la forme

x = ∏_{i} ω_{i}^{x_{i}}.

Avec ces notations x est un carré dans (ℤ_{K,𝔭}/𝔭^{α})^{∗} si et seulement si les x_{i} correspondant aux d_{i} pairs sont eux-mêmes pairs.

Enfin, pour appliquer le Lemme II.2.11, il faut savoir reconnaître les carrés de ℤ_{K,𝔭} (étape 1). Ceci se fait grâce à la proposition suivante, qui est encore une conséquence du Lemme de Hensel II.2.10 : Proposition II.2.13 (Carrés 𝔭-adiques) Soit e = 1 + 2v_{𝔭}(2). Soit a un élément non nul de K_{𝔭}, que l’on représente sous la forme a = π^{α}q avec v_{𝔭}(q) = 0. On a l’équivalence

a = y^{2}, y ∈ K_{𝔭} ⇔ q = z^{2} mod 𝔭^{e} et α ∈ 2ℕ.

Remarque : Tout ce que nous avons dit dans ce paragraphe est vrai si l’on prend un idéal premier 𝔭 qui ne divise pas 2. Toutefois, si 𝔭 ne divise pas 2, nous avons vu qu’il n’est pas nécessaire d’utiliser l’Algorithme II.2.12 pour calculer le symbole de Hilbert, mais simplement la Proposition II.2.6.

Nous utiliserons plus loin les résultats de ce paragraphe pour étudier la solubilité locale des quartiques de la forme y^{2} = g(x) où g(x) est un polynôme de degré 4.

II.3 Résolution de l’Équation de Legendre

II.3.1 Résolution dans le Corps ℚ des Rationnels

Maintenant que nous avons résolu le problème de l’existence de solutions à l’équation de Legendre, nous proposons de résoudre explicitement cette équation. Cette résolution a été l’objet de nombreuses discussions avec D. Rusin et J. Cremona. On pourra consulter [Cre d] pour plus de détails, ou pour une approche légèrement différente.

Nous donnons ici deux versions de l’algorithme de résolution de l’équation x^{2}−ay^{2} = bz^{2}. La première version est simple, mais n’est pas très efficace (ni en temps de calcul, ni pour la taille des solutions). La deuxième version utilise une étape de réduction supplémentaire qui permet de diminuer considérablement le nombre d’étapes, et donc de factorisations de grands nombres. Un judicieux choix de signes dans l’algorithme permet de réduire d’une manière surprenante la taille des solutions.

La première version de l’algorithme est probablement connue depuis Lagrange. La deuxième version et ses raffinements sont moins connus, bien qu’ils aient été découverts depuis plusieurs années. On trouve par exemple des idées analogues dans [Pol-Sch].

On suppose dans cet algorithme qu’il existe des solutions non triviales à l’équation x^{2} − ay^{2} = bz^{2}. Cette existence peut être vérifiée par les algorithmes du paragraphe précédent. L’existence d’une solution garantit la possibilité de résoudre chaque étape dans ce calcul.

Cet algorithme est présenté sous sa version récursive.

Algorithme II.3.1 (Leg(a,b)) (Cet algorithme trouve une solution non triviale de l’équation x^{2} − ay^{2} = bz^{2}) .

1– (Élimination des Facteurs Carrés) .

Factoriser les nombres a et b sous la forme a = a′ · α^{2} et b = b′ · β^{2} avec a′ et b′ sans facteur carré. Si α ou β n’est pas trivial, calculer une solution (x, y, z) de Leg(a′, b′), et renvoyer (x, y/α, z/β).

2– (Échange) .

Si |b| < |a|, calculer une solution (x, y, z) de Leg(b, a), et renvoyer (x, z, y).

3– (Cas Triviaux) .

Si b = 1, renvoyer (1, 0, 1).

Si b = −1 (dans ce cas on a a = 1) , renvoyer (0, 1, 1).

Si a = 0, alors b est nécessairement un carré. Renvoyer (\sqrt{b}, 0, 1).

Si a = 1, alors renvoyer (1, 1, 0).

4– (Solution modulo b) .

Factoriser b en produit de nombres premiers p_{i} (ici b est sans facteur carré) , et calculer x_{i} tel que x_{i}^{2} ≡ a mod p_{i} (par exemple par l’Algorithme de Shanks) . À l’aide de l’Algorithme des Restes Chinois, trouver X ∈ ℤ tel que X^{2} ≡ a mod b.

5– (Réduction) . Réduire X modulo b tel que −\frac{|b|}{2} ⩽ X ⩽ \frac{|b|}{2}, et poser k = (X^{2} − a)/b. 6– (Récursivité) . Calculer une solution (x, y, z) de Leg(a, k) et renvoyer (Xx − ay, Xy − x, kz).

Preuve : Pour voir que l’algorithme se termine, il suffit de voir que la quantité |ab| diminue à chaque passage. Ceci est clair pour l’étape 1. Pour l’étape 5, le choix de X dans l’intervalle −\frac{|b|}{2} ⩽ X ⩽ \frac{|b|}{2}, entraîne que |bk| = |X^{2} − a| < \frac{|b|^{2}}{4} + |b| et donc que k ⩽ \frac{|b|}{4} + 1. Les cas terminaux sont réglés par l’étape 3.

Pour montrer que cet algorithme donne une solution correcte, on vérifie qu’à l’étape 6, les équations x^{2}−ay^{2} = kz^{2} et X^{2}−a = bk entraînent bien que (Xx−ay)^{2}−a(Xy−x)^{2} = b(kz)^{2}. Ceci est dû à la multiplicativité des équations de Legendre (c’est-à-dire à la multiplicativité de la norme pour le corps de nombres ℚ(\sqrt{a})). ■ Exemple : Essayons de résoudre l’équation

x^{2} − 123452853y^{2} = 375556542871687561z^{2}.

Cette équation nous a été proposée par D. Rusin au cours de fructueux échanges au sujet de cet algorithme. Les valeurs successives du couple (a, b) pour cet algorithme sont :

(123452853, 375556542871687561) (123452853, 5400769724919127) (123452853, 620370967013929) (123452853, 3142852309164) (123452853, 785713077291) (123452853, 30919053556) (123452853, 7729763389) (123452853, 208158484) (52039621, 123452853) (18231075, 52039621) (5586406, 18231075) (9003, 5586406) (9003, 32401) (553, 9003) (176, 553) (1, 176) et après avoir simplifié par un grand contenu, la solution trouvée est

\begin{aligned}x & = 2992492727948007451310755320515756117602947137 \\ y & = 134755732491451244721973516925696708488675 \\ z & = 4227929575402242475293978525987481102 \end{aligned}

Remarque : Dans cet algorithme, on calcule des racines carrées modulo des nombres premiers. Comme il existe deux telles racines modulo p (de signes opposés), il y a 2^{k} racines carrées différentes modulo b si b a k facteurs premiers. Chaque choix est aussi valide, et cela mène à des solutions différentes à la fin de l’algorithme. Pour cette raison, on trouve rarement deux fois le même résultat si l’on utilise cet algorithme deux fois consécutives.

La principale difficulté de cet algorithme est le grand nombre de factorisations que l’on doit effectuer (à l’étape 4), qui est de l’ordre de log b/ log 4. Comme on sait que résoudre une telle équation de Legendre est équivalent à factoriser le nombre b, il ne faut pas s’attendre à trouver un algorithme rapide (i.e. polynomial) qui puisse résoudre ce problème sans factorisation. Toutefois, on peut réduire considérablement le nombre total de factorisations à effectuer, en réduisant le nombre de passages dans l’algorithme. L’algorithme ne nécessitera plus alors que la factorisation de quelques nombres, dont inévitablement a et b.

La réduction se fait en remarquant qu’après un passage dans l’algorithme, l’équation à résoudre à l’étape suivante est x^{2} − ay^{2} ≡ 0 mod k. Or, l’étape précédente a précisément produit une solution telle que X^{2} − aY^{2} = bk (avec Y = 1). On peut donc se servir de cette solution pour construire la solution suivante. On peut opérer cette réduction tant que le nouveau k est inférieur au précédent. On peut effectuer cette réduction (sans le moindre coût) jusqu’à k ⩽ 2\sqrt{|b|}. Le gain est considérable par rapport au \frac{|b|}{4} de l’algorithme précédent, et il n’y a plus que log log b/ log 2 passages dans l’algorithme. Les seules factorisations à effectuer sont celles de a et b et de nombres inférieurs à min(\sqrt{|a|}, \sqrt{|b|}). Récemment, D. Rusin a décrit une version de cet algorithme qui utilise la factorisation des nombres a et b, mais d’aucun autre nombre (voir [Cre d]).

Nous donnons une forme non récursive de l’algorithme, où nous utilisons la notation suivante : si M est une matrice 3 × 3, M(i) est sa i-ième ligne.

Algorithme II.3.2 (Cet algorithme trouve une solution non triviale de l’équation x^{2} − ay^{2} = bz^{2}) .

0– (Initialisation)

M = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) et Y = 1.

1– (Élimination des Facteurs Carrés)

Si a et b sont divisibles par α^{2} et β^{2}, alors diviser a par α^{2}, b par β^{2}, M(2) par α et M(3) par β.

2– (Échange)

Si |b| < |a|, alors échanger a et b, puis échanger M(2) et M(3).

3– (Cas Triviaux)

Si b = 1, poser S = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ), et aller à l’étape 7.

Si b = −1 (dans ce cas on a a = 1) , poser S = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ), et aller à l’étape 7.

Si a = 1, alors poser S = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), et aller à l’étape 7.

4– (Solution modulo b) .

Factoriser b en produit de nombres premiers p_{i} (ici b est sans facteur carré) , et calculer x_{i} tel que x_{i}^{2} ≡ a mod p_{i} (par exemple par l’Algorithme de Shanks) . À l’aide de l’Algorithme des Restes Chinois, trouver X ∈ ℤ tel que X^{2} ≡ a mod b.

5– (Réduction) .

Réduire X modulo b tel que −\frac{|b|}{2} ⩽ X ⩽ \frac{|b|}{2}. Poser k = (X^{2} − a)/b.

6– (Boucle) .

Y = −Y ; M = M · ( \begin{matrix}X & aY & 0 \\ Y & X & 0 \\ 0 & 0 & k \end{matrix} ). Réduire X modulo k tel que −\frac{|k|}{2} ⩽ X ⩽ \frac{|k|}{2}. Poser b = k

puis k = (X^{2} − a)/b. Si k ≠ 0 et |k| < |b|, recommencer l’étape 6, sinon aller à l’étape 1. 7– (Fin) . Calculer ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) = M · S et renvoyer (x, y, z).

Exemple : Partons toujours de l’équation précédente. Les valeurs successives du couple (a, b) sont :

\begin{matrix}(123452853, 375556542871687561) \\ (4, 123452853) \end{matrix}

et après avoir simplifié par un grand contenu (d’une centaine de chiffres), la solution trouvée est

\begin{aligned}x & = 1256429287 \\ y & = 24875 \\ z & = 2 \end{aligned}

Le nombre d’étapes de l’algorithme a considérablement diminué, et les solutions sont de taille satisfaisante, une fois qu’on les a simplifiées par un grand contenu. Si l’on omet l’instruction Y = −Y au début de l’étape 6, l’algorithme est encore valide, et les étapes du calcul sont inchangées. Toutefois les solutions trouvées sont de taille désastreuse, car elles sont sans contenu :

x =

360010515657942682762404806233687713954865411498575732630848357345655792305828249

y =

7127772944354608270704582622264481828584720585202417566671308202366105250955
z =573068368810995988359128945355518783035208945533383041688857142296479154

La raison d’un tel phénomène, est que dans l’algorithme que nous avons décrit, la multiplication de la matrice M par la matrice ( \begin{matrix}X & aY & 0 \\ Y & X & 0 \\ 0 & 0 & k \end{matrix} ) correspond en réalité à la multipication d’une solution de x^{2} − ay^{2} = bk par une solution de l’équation x^{2} − ay^{2} = k. Faire ici une multiplication ou une division est sans importance car on travaille modulo les carrés. Toutefois, on peut s’attendre à obtenir des simplifications de fractions lorsque l’on effectue des divisions, alors qu’en faisant des multiplications, les termes vont toujours s’accumuler. Lorsque l’on ajoute un signe “−” dans l’expression, cela revient à faire une division et non pas une multiplication. Il est alors concevable que deux solutions consécutives se compensent (ou se simplifient si l’on pense en termes de fractions non irréductibles). Ceci se traduit par un énorme contenu dans l’expression finale de la solution.

Nous avons tenu à obtenir des solutions de petite taille pour deux raisons. La première est que ces solutions servent à paramétrer les quartiques qu’il faut ensuite résoudre dans l’Algorithme II.4.9. Ainsi, plus les solutions de l’équation de Legendre sont petites, plus les solutions des quartiques seront faciles à trouver. La deuxième raison est que de telles solutions existent, comme le prouve le Théorème de Holzer :

Théorème (Holzer) Soient a, b et c trois entiers (de ℤ) premiers entre eux et sans facteur carré. Si l’équation ax^{2} + by^{2} = cz^{2} admet une solution non triviale dans ℤ^{3}, alors on peut trouver une solution (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ∈ ℤ^{3} non triviale telle que

|x_{0}| ⩽ \sqrt{bc}, |y_{0}| ⩽ \sqrt{ac}, |z_{0}| ⩽ \sqrt{ab}.

Preuve : Voir [Hol] ou [Coc-Mit]. ■

On peut enfin remarquer que si l’on dispose d’une solution qui ne vérifie pas ces inégalités, il existe un algorithme (simple) dû à Mordell pour réduire cette solution (voir [Mor] ou [Cre d]).

II.3.2 Résolution dans les Corps de Nombres

Dans cette partie, nous essayons de résoudre l’équation de Legendre x^{2} −ay^{2} = bz^{2} dans un corps de nombres K. Comme nous avons déjà décrit le calcul du symbole de Hilbert global (a, b)_{K}, nous supposerons désormais que cette équation possède des solutions non triviales.

La généralisation de l’Algorithme II.3.2 aux corps de nombres se heurte à trois principales difficultés :

1– Les cas terminaux (essentiellement les cas où a et b sont des unités) ne sont pas triviaux si K possède beaucoup d’unités ;

2– Si le corps K n’est pas euclidien, on ne peut pas nécessairement se ramener à une équation avec des coefficients plus petits, c’est-à-dire que la méthode de descente n’est plus possible ;

3– Si le corps K n’est pas principal, on peut être amené à manipuler des carrés (au moins localement) là où l’on avait supposé que les nombres étaient sans facteur carré, dans le cas de ℚ .

Le calcul des racines carrées modulo les idéaux premiers 𝔭 de K est connu, de même que l’algorithme des Restes Chinois dans ce cadre. La manipulation des solutions intermédiaires se fait de manière identique à l’Algorithme II.3.2.

Nous allons maintenant indiquer comment lever ces difficultés. Les méthodes proposées ne sont pas toujours efficaces quant au nombre d’étapes de calcul, ni quant à la taille des solutions. Elles ont en revanche l’intérêt de résoudre l’équation de Legendre dans de nombreux cas. Si toutefois aucune de ces méthodes ne donne de résultat, on peut utiliser les méthodes du chapitre III.

1 Cas Terminaux

Si nous devons résoudre l’équation L(a, b) : x^{2} − ay^{2} = bz^{2} où a et b sont des unités, nous pouvons d’abord réduire a et b modulo les carrés des unités. Ainsi, il n’y a qu’un nombre fini de telles équations à résoudre.

Deux cas triviaux peuvent être immédiatement testés :

– Si a = 1 ou b = 1, alors une solution est donnée par (x, y, z) = (1, 1, 0) ou (1, 0, 1) ;

– Si a = −b, alors une solution est donnée par (0, 1, 1).

À cette liste, on peut ajouter les solutions données par les éventuelles unités exceptionnelles. Les équations qui restent peuvent se regrouper par équivalence, par exemple en utilisant les équivalences L(b, a) ∼ L(a, b) ∼ L(−ab, b). Enfin, si le corps K possède des plongements réels, les tests locaux aux places réelles montrent que plusieurs d’entre elles ne sont pas solubles (c’est précisément le cas où K possède beaucoup d’unités, et où a et b peuvent prendre de nombreuses valeurs). Exemple : Soit K = ℚ(\sqrt{D}) un corps quadratique réel. Notons u une unité fondamentale de K, de sorte que a et b peuvent prendre leurs valeurs dans {1, −1, u, −u}. L’équation L(−1, −1) (i.e. x^{2} + y^{2} = −z^{2}) n’a pas de solution. Si a ou b vaut 1, ou si a = −b alors l’équation est triviale. En permutant x,y et z, on voit que l’équation L(a, a) est équivalente à L(a, −1). Ainsi, à équivalence près, il n’y a qu’à considérer les équations L(−1, u) et L(−1, −u). Lorsque les conjugués de u sont de signes opposés (c’est-à-dire lorsque u est de norme −1), alors les deux équations ne sont pas solubles (en une place réelle). Lorsque les conjugués de u sont de même signe (c’est-à-dire lorsque u est de norme +1), alors une et une seule de ces équations est soluble aux places réelles : dans ce cas, il ne reste plus qu’à regarder les places au-dessus de 2, en particulier, s’il n’y a qu’un seul idéal au-dessus de 2, la Proposition II.2.9 implique qu’une et une seule de ces deux équations est soluble.

Pour trouver les solutions des quelques équations qui restent à résoudre, on peut essayer plusieurs méthodes. On peut d’abord chercher des petites solutions en (x, y, z). Cette méthode simple permet de résoudre un certain nombre de cas. Bien que la version du Théorème de Holzer que nous avons donnée ne soit valable que dans ℤ, il en existe une version démontrée par C.L. Siegel dans [Sie], tout à fait analogue et valable dans les corps de nombres. Ceci suggère que si les coefficients a et b sont petits, alors il existe une solution (x, y, z) formée de petits nombres. Comme dans les cas terminaux les coefficients a et b sont petits, il est raisonnable de chercher des petites solutions (x, y, z), par une recherche naïve en faisant varier les y et z dans des petits intervalles.

Une autre méthode consiste à choisir x et y au hasard, à calculer b′ = x^{2} − ay^{2}, puis à multiplier l’équation L(a, b) par L(a, b′) en utilisant la formule du produit des équations de Legendre. Cette nouvelle équation L(a, c) est soluble si et seulement si L(a, b) est soluble. En appliquant la méthode de descente, on aboutit de nouveau à un cas terminal. En répétant plusieurs fois cette opération, on peut s’attendre à arriver à un cas facile.

2 Descente

Si le corps n’est pas euclidien, on ne peut pas prouver que l’Algorithme II.3.2 se termine. De plus, même lorsqu’il est euclidien, on ne dispose pas en général d’algorithme simple pour la division euclidienne de deux entiers, à moins de travailler dans un corps particulier.

Pour contourner ce problème, on s’appuiera sur la remarque suivante : à l’étape 4 de l’Algorithme II.3.2, on construit deux racines carrées (de signes opposés) pour chaque premier 𝔭, ce qui construit 2^{k} solutions modulo b si b a k facteurs premiers. Parmi ces nombreuses solutions, nous avons presque toujours constaté que l’une au moins donnait lieu à un k dont la norme est inférieure à celle de b. Lorsque ce n’était pas le cas, l’étape 5 de réduction donnait alors une valeur de k convenable. Ceci signifie que la norme de b ne diminue pas nécessairement à chaque étape, mais expérimentalement elle diminue après deux étapes.

3 Corps non Principaux

Dans l’Algorithme II.3.2, nous réduisons à chaque étape les nombres a et b pour éliminer leurs facteurs carrés. Cette réduction nous permet de ne travailler que modulo des nombres premiers à l’étape 4. Lorsque le corps K n’est pas principal, on ne peut pas toujours assurer que les idéaux principaux aℤ_{K} et bℤ_{K} sont sans facteur carré. Cela nous oblige à travailler non pas modulo 𝔭 mais modulo 𝔭^{e}. Les calculs ne sont guère différents.

II.4 Applications aux Courbes Elliptiques

L’application que nous donnons ici est le calcul du rang d’une courbe elliptique, et la recherche d’une famille de points de rang maximal sur cette courbe. On peut toujours trouver une équation de la courbe sous la forme de Weierstrass

y^{2} = x^{3} + ax^{2} + bx + c (E).

Il est habituel de distinguer deux (éventuellement trois) familles de courbes elliptiques, pour lesquelles la difficulté du calcul du rang n’est pas la même. Nous distinguons les courbes qui ont de la 2-torsion (éventuellement de la 2-torsion complète), et celles qui n’en ont pas. La 2-torsion se mesure en fait par le nombre de racines du polynôme P (x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c dans le corps K. Si le polynôme P a une racine multiple, l’équation (E) ne définit plus une courbe elliptique, et cette équation ne nous intéresse plus. Nous pouvons donc distinguer trois cas :

– E est sans 2-torsion si P n’a pas de racine dans K;

– E a de la 2-torsion si P a au moins une racine dans K, et une simple translation de x permet d’écrire la courbe sous la forme

y^{2} = x^{3} + ax^{2} + bx (E) ;

– E a de la 2-torsion complète si P a trois racines distinctes dans K. En notant e_{1}, e_{2} et e_{3} ces racines, on a

y^{2} = (x − e_{1})(x − e_{2})(x − e_{3}) (E).

Lorsque la courbe E a de la 2-torsion, le calcul du rang est plus simple que si elle n’en a pas. Si E n’a pas de 2-torsion, on peut toujours se placer dans une extension cubique K(θ) du corps de base K qui contient une racine θ du polynôme P, et dans ce nouveau corps la courbe elliptique a de la 2-torsion. Une fois dans cette extension, on peut utiliser les algorithmes de détermination d’un système de points de rang maximal, puis calculer leur trace (au sens de l’addition sur la courbe elliptique) pour redescendre dans le corps de base. Il n’est pas clair que cette méthode par extension du corps de base soit préférable à la méthode générale pour les courbes sans 2-torsion en restant dans le corps de base. Même la méthode qui reste dans le corps de base utilise un certain nombre de calculs dans l’extension K(θ), et on n’évitera pas en particulier la construction du groupe de classes et des unités de cette extension.

Dans son livre [Cre a], J. Cremona donne une description détaillée des algorithmes qui calculent le rang d’une courbe elliptique, en restant dans le corps de base, dans le cas particulier où ce corps est ℚ. L’algorithme de descente par 2-isogénie décrit dans ce livre se généralise sans trop de difficulté au cas des corps de nombres. En revanche, celui de la 2-descente générale (pour les courbes sans 2-torsion) est beaucoup plus difficile. En effet, une des étapes consiste à choisir des invariants I et J, ce qui se fait par des considérations locales déjà délicates. Une fois que ces invariants sont choisis, il faut trouver les quartiques ayant ces invariants, et cela se fait par exemple par la majoration des valeurs absolues des coefficients. Dans le cas des corps quadratiques réels, P. Serf (dans [Serf] et [Cre-Ser]) trouve des inégalités suffisantes pour en déduire un algorithme. Dans le cas d’un corps de nombres quelconque, ces majorations ne sont plus valables, ou alors elles ne permettent pas de choisir un nombre fini de telles quartiques. En utilisant plus extensivement la théorie des invariants, J. Cremona a donné dans [Cre c] une description plus algébrique de l’algorithme, qui se généralise beaucoup plus aisément au cas d’un corps de nombres.

II.4.1 Le Groupe K(S, 2)

Dans les algorithmes que nous décrivons par la suite, nous utilisons à plusieurs reprises le groupe K(S, 2), dont nous donnons ici la définition et quelques propriétés. Nous nous appuyons sur les S-unités décrites au chapitre précédent.

Définition II.4.1 Soit S un ensemble fini d’idéaux premiers de K. On définit le groupe K(S, 2) par

K(S, 2) = {δ ∈ K^{∗}/K^{∗2} tel que v_{𝔭}(δ) ≡ 0 mod 2 pour tout 𝔭 ∉ S}.

Lorsque K = ℚ, S peut se représenter comme l’ensemble des nombres premiers qui divisent un certain entier s non nul. L’ensemble K(S, 2) peut alors se voir comme les diviseurs sans facteur carré de s. La proposition que nous indiquons donne une description du groupe K(S, 2) comme groupe d’exposant 2, ou, ce qui est équivalent comme ℤ/2ℤespace vectoriel. Proposition II.4.2 On a un isomorphisme

K(S, 2) ∼ \frac{𝕌_{K,S}}{𝕌_{K,S}^{2}} × \frac{Cl_{S}(K)}{Cl_{S}(K)^{2}}

Preuve : Notons d_{i} les diviseurs élémentaires de Cl_{S}(K) et 𝔤_{i} les générateurs correspondants. Notons aussi α_{i} des générateurs des idéaux S-principaux 𝔤_{i}^{d_{i}}. On note Cl′_{S}(K) le sous-groupe de Cl_{S}(K) engendré par les 𝔤_{i} dont les ordres d_{i} sont pairs. Définissons le morphisme ϕ de la manière suivante :

\begin{matrix}ϕ : & 𝕌_{K,S} × Cl′_{S}(K) & → & K(S, 2) \\ (u, ∏ 𝔤_{i}^{ε_{i}}) & ↦ & u ∏ α_{i}^{ε_{i}} \end{matrix}

Il est clair qu’une S-unité a des valuations paires (car nulles) en tous les idéaux premiers qui ne sont pas dans S. De même, α_{i} a des valuations paires en dehors de S car l’idéal principal α_{i}ℤ_{K,S} se factorise en α_{i}ℤ_{K,S} = 𝔤_{i}^{d_{i}} et d_{i} est pair. Ainsi, le morphisme ϕ est bien défini. On peut remarquer que cette construction dépend du choix des générateurs α_{i} qui n’est possible qu’à une S-unité près.

Montrons que ϕ est surjectif. Soit δ ∈ K^{∗}/K^{∗2} tel que v_{𝔭}(δ) ≡ 0 mod 2 pour tout 𝔭 ∉ S. L’idéal principal δℤ_{K,S} est un carré, que l’on note I^{2}. Soit I = β ∏ 𝔤_{i}^{β_{i}} avec β ∈ K^{∗} et 0 ⩽ β_{i} < d_{i}. Comme I^{2} est principal, on a nécessairement d_{i} | 2β_{i}. Lorsque d_{i} est impair, cela implique que d_{i} | β_{i} et donc que β_{i} = 0. Pour les autres d_{i}, on a β_{i} = ε_{i} · d_{i}/2 où ε_{i} = 0 ou 1. On a alors δ = β^{2} ∏ α_{i}^{ε_{i}} · u_{s} où u_{S} est une S-unité. Ceci prouve la surjectivité de ϕ.

Montrons que le noyau de ϕ est 𝕌_{K,S}^{2} × Cl′_{S}(K)^{2}. Comme les carrés ont une image triviale dans K(S, 2), il est clair que ce sous-groupe est dans le noyau. Montrons que c’est exactement le noyau. Soit (u_{S}, ∏ 𝔤_{i}^{ε_{i}}) un élément du noyau. On a u_{S} ∏ α_{i}^{ε_{i}} = β^{2}. En termes de S-idéaux, cela s’écrit ∏ 𝔤_{i}^{ε_{i}d_{i}} = β^{2}ℤ_{K,S}. Comme les d_{i} sont pairs, on peut diviser les exposants par 2 et affirmer que l’idéal ∏ 𝔤_{i}^{ε_{i}d_{i}/2} est S-principal. Mais la définition des entiers d_{i} implique alors que chaque d_{i} divise ε_{i} \frac{d_{i}}{2} et donc que 2 divise chaque ε_{i}. Ainsi, 𝔤_{i}^{ε_{i}} est bien dans Cl′_{S}(K)^{2}. Comme les ε_{i} sont pairs, la relation u_{S} ∏ α_{i}^{ε_{i}} = β^{2} montre que u_{S} est un carré, et donc que u_{S} ∈ 𝕌_{K,S}^{2}. Ceci montre que ϕ est 𝕌_{K,S}^{2} × Cl′_{S}(K)^{2} est bien le noyau de ϕ.

Pour conclure la preuve, il suffit d’utiliser l’isomorphisme

\frac{Cl′_{S}(K)}{Cl′_{S}(K)^{2}} ∼ \frac{Cl_{S}(K)}{Cl_{S}(K)^{2}} .

■

De cette proposition, on déduit les corollaires suivants : Corollaire II.4.3 Le groupe K(S, 2) est un groupe fini d’exposant 2. De plus, si h_{2} désigne le 2-rang du groupe de classes Cl_{S}(K), alors l’ordre du groupe K(S, 2) est donné par

|K(S, 2)| = 2^{r_{1}+r_{2}+|S|+h_{2}}.

Corollaire II.4.4 Soit S un ensemble fini d’idéaux premiers de K, et 𝔭_{1},…,𝔭_{n} des générateurs premiers de la 2-partie du groupe de classes Cl_{S}(K). Si l’on pose S′ = S∪{𝔭_{1}, …, 𝔭_{n}}, alors on a

K(S, 2) ∼ K(S′, 2) ∼ 𝕌_{K,S′}/𝕌_{K,S′}^{2}.

Grâce à ces corollaires, le calcul de K(S, 2) se ramène à un calcul de S-unités, et le groupe K(S, 2) est décrit exactement par un système fondamental de S-unités de K, donné par exemple par l’Algorithme I.1.2.

II.4.2 Quartiques

Pour l’algorithme général du calcul du rang d’une courbe elliptique, nous avons besoin de manipuler des quartiques, plus précisément des courbes données par une équation de la forme y^{2} = g(x), où g est un polynôme de degré 4. Nous avons besoin en particulier de savoir s’il existe des points sur ces courbes, aussi bien localement que globalement dans K. Nous utilisons parfois les quartiques sous leur forme semi-homogène, c’est-à-dire sous la forme Y^{2} = G(X, Z), où G est un polynôme homogène de degré 4 : ceci correspond au changement de variables x = X/Z et y = Y/X^{2}. Nous ne nous intéressons qu’aux solutions non triviales, c’est-à-dire (X, Y, Z) ≠ (0, 0, 0).

Nous montrons d’abord que l’étude locale se ramène à un nombre fini de places (les places infinies et celles qui divisent 2 disc g), puis nous indiquons comment traiter chacune de ces places.

Proposition II.4.5 Soit g(x, z) = ax^{4} + bx^{3}z + cx^{2}z^{2} + dxz^{3} + ez^{4} ∈ ℤ_{K}[x, z] et soit 𝔭 un idéal premier de K. Si 𝔭 ne divise pas 2 disc g(x, 1), alors l’équation y^{2} = g(x, z) admet localement une solution non triviale dans ℤ_{K,𝔭}.

Preuve : La première partie de cette preuve vient de [Serf].

Commençons par montrer que l’on peut construire une solution modulo 𝔭. Ensuite nous utiliserons le Lemme de Hensel pour construire une solution dans ℤ_{K,𝔭}.

Si a ≡ 0 mod 𝔭, alors (x, y, z) = (1, 0, 0) est une solution modulo 𝔭. Si a n’est pas nul modulo 𝔭, alors g(x, 1) mod 𝔭 est de degré 4 et sans facteur carré puisque 𝔭 ne divise pas son discriminant (ni son degré). Ainsi, l’équation y^{2} = g(x, 1) définit une courbe de genre 1 sur le corps fini K/𝔭 ∼ 𝔽_{q}. L’inégalité de Hasse montre alors que le nombre de points sur cette courbe est au moins égal à q + 1 − 2\sqrt{q} et donc au moins égal à 1 (ce point pouvant éventuellement être à l’infini).

Maintenant, nous savons que l’équation y^{2} = g(x, z) admet une solution non triviale (x_{0}, y_{0}, z_{0}) modulo 𝔭. Si y_{0} est non nul modulo 𝔭, alors on choisit des relèvements quelconques x et z de x_{0} et z_{0}, et l’on applique le Lemme de Hensel (II.2.10) à la fonction f(y) = y^{2} − g(x, z). En effet, on a v_{𝔭}(f(y_{0})) > 0 par construction, et v_{𝔭}(f′(y_{0})) = v_{𝔭}(2y_{0}) = 0. On a ainsi une solution de y^{2} = g(x, z).

Si y_{0} est nul modulo 𝔭, alors on pose y = 0. On peut trouver des polynômes α_{1}(x) et β_{1}(x) tels que

α_{1}g(x, z_{0}) + β_{1}g′_{x}(x, z_{0}) = z_{0}^{6} disc g.

Comme le discriminant de g(x, 1) est égal au discriminant de g(1, z), on peut aussi trouver α_{2}(x) et β_{2}(x) tels que α_{2}g(x_{0}, z) + β_{2}g′_{z}(x_{0}, z) = x_{0}^{6} disc g. Comme x_{0} et z_{0} ne sont pas tous les deux nuls en même temps, les égalités précédentes montrent que l’une au moins des quantités g′_{x}(x_{0}, z_{0}) ou g′_{z}(x_{0}, z_{0}) est non nulle modulo 𝔭. On peut alors appliquer le Lemme de Hensel (II.2.10) avec la fonction f(x) = g(x, z_{0}) (ou avec f(z) = g(x_{0}, z)) et obtenir une solution de g(x, z) = 0 dans ℤ_{K,𝔭}. ■

Lorsque l’on regarde une quartique en une place réelle, on peut utiliser la proposition suivante (valable en réalité quel que soit le degré de g) :

Proposition II.4.6 Soit g(x, z) = ax^{4} + bx^{3}z + cx^{2}z^{2} + dxz^{3} + ez^{4} ∈ ℝ[x, z] avec a ≠ 0, et tel que disc g(x, 1) ≠ 0. Notons r_{1} le nombre de racines réelles de g(x, 1). L’équation y^{2} = g(x, z) admet toujours une solution non triviale dans ℝ à moins que l’on ait simultanément

r_{1} = 0 et a < 0.

Il reste donc à étudier ce qui se passe pour les places finies qui divisent 2 ou disc g. Comme nous l’avions déjà annoncé précédemment, ceci peut se faire à l’aide de l’Algorithme II.2.12, que l’on applique à y^{2} = g(x, 1), puis à y^{2} = g(1, z).

Une fois que l’on sait qu’une quartique est localement soluble en toutes les places de K, on peut chercher des points sur cette courbe. Malheureusement, il n’est pas suffisant pour une quartique d’être localement soluble pour l’être globalement. Dans l’algorithme des courbes elliptiques, cette obstruction est mesurée par le groupe de Tate-Shafarevich � (E/K), sur lequel nous manquons de renseignements.

Pour chercher un point sur une quartique, on peut se contenter de tester toutes les valeurs de x comprises entre deux bornes. Cette méthode naïve permet de trouver les points les plus simples. On peut raffiner en criblant sur quelques nombres premiers, et trouver ainsi des points un peu moins triviaux. Ces méthodes sont décrites dans [Cre a] et dans [Serf]. Récemment, J. Cremona ([Cre b]) a utilisé une méthode de descente pour trouver des points de grande hauteur sur certaines quartiques, ou montrer dans certains cas, qu’elles n’ont pas de solution. Malgré cela, il faut savoir qu’aucun algorithme n’est aujourd’hui connu pour résoudre en général cette question.

II.4.3 Descente par 2-Isogénie : Courbes avec 2-Torsion

Nous ne donnons pas la preuve de l’algorithme, et nous ne voulons pas non plus rentrer dans les explications des différents groupes. Cet algorithme est décrit à la fois dans [Sil] (sous son aspect théorique) et dans [Cre a] (sous son aspect algorithmique lorsque K = ℚ), ainsi que dans [Serf] (lorsque K est un corps quadratique réel de nombre de classes 1).

On suppose ici que la courbe elliptique E définie sur le corps de nombres K est donnée par une équation de la forme

y^{2} = x^{3} + ax^{2} + bx (E)

où a, b ∈ ℤ_{K}. On peut toujours se ramener à cette situation, et un point de 2-torsion est alors donné par (0, 0). Le principe de l’algorithme est d’utiliser une isogénie ϕ de degré 2 avec la courbe

y^{2} = x^{3} + a′x^{2} + b′x (E′)

où a′ = −2a et b′ = a^{2} − 4b. Cette isogénie est définie par

\begin{matrix}ϕ : & E & → & E′ \\ (x, y) & ↦ & (\frac{y^{2}}{x^{2}} , \frac{y(x^{2} − b)}{x^{2}}) \end{matrix}

L’isogénie duale ϕ′ est définie par

\begin{matrix}ϕ′ : & E′ & → & E \\ (x, y) & ↦ & (\frac{y^{2}}{4x^{2}} , \frac{y(x^{2} − b′)}{8x^{2}}) \end{matrix}

Lorsque l’on compose ces isogénies, on trouve un morphisme de E dans E (ou de E′ dans E′) qui n’est autre que la multiplication par 2 sur ces courbes elliptiques. Cela se note ϕ′ ∘ ϕ = [2]_{E} et ϕ ∘ ϕ′ = [2]_{E′}. L’isogénie est dite de degré 2, car on obtient précisément la multiplication par 2 quand on la compose avec son isogénie duale. Les mauvais premiers (ceux pour lesquels les courbes ont mauvaise réduction) sont ceux qui divisent les discriminants de E et de E′, c’est-à-dire ceux qui divisent 2bb′. On note alors S, l’ensemble des idéaux premiers qui divisent 2bb′ :

S = {𝔭 | 2bb′}.

Comme nous avons voulu suivre l’algorithme décrit dans [Sil], nous avons laissé cette définition de S. Nous verrons ensuite comment réduire significativement la taille de S.

Algorithme II.4.7 (Descente par 2-isogénie) (Cet algorithme calcule un système de représentants de E′(K)/ϕ(E(K)) ) .

1– Déterminer l’ensemble K(S, 2).

2– À chaque élément δ ∈ K(S, 2), on associe la courbe (C_{δ}) (l’espace homogène) d’équation

δy^{2} = δ^{2}x^{4} + a′δx^{2}z^{2} + b′z^{4} (C_{δ}).

Déterminer le sous-groupe S^{(ϕ)}(E/K) ⊂ K(S, 2) des éléments δ tels que la courbe (C_{δ}) est localement soluble en toutes les places (finies et infinies) de K.

3– Déterminer le sous-groupe E′ de S^{(ϕ)}(E/K) des éléments δ tels que (C_{δ}) a un point (x, y, z) non trivial dans K.

4– Pour chaque δ ∈ E′, construire le point P_{δ} ∈ E′(K) de coordonnées (\frac{δx^{2}}{z^{2}} , \frac{δyx}{z^{3}}).

Remarque : Le groupe S^{(ϕ)}(E/K) est le groupe de Selmer de l’isogénie ϕ. Il est construit essentiellement à partir de conditions locales, et sa détermination est certaine. Toutefois, il est essentiel de savoir qu’il n’existe aujourd’hui aucun algorithme qui sache résoudre l’étape 3. Plus précisément, on sait montrer qu’une quartique a des points localement, ou montrer qu’elle n’en a pas localement (c’est l’étape 2). Lorsqu’une quartique est soluble en toutes les places (finies et infinies) de K, on peut chercher des points dessus en utilisant des méthodes plus ou moins perfectionnées. Dans certains cas, un algorithme de secondedescente (voir [Cre b]) permet de prouver qu’il n’y a pas de point sur la quartique, ou bien de trouver des points difficilement accesibles aux méthodes naïves. Malheureusement, lorsque ces méthodes ne donnent aucun point, on ne peut en général pas montrer qu’il n’y a pas de point du tout, et l’on doit rester dans l’incertitude. Ainsi, l’algorithme de descente par 2-isogénie ne peut donner que des inégalités concernant le rang de la courbe elliptique. Ce phénomène d’existence de solutions locales et d’absence de solution globale est mesuré par le groupe de Tate-Shafarevich, et ainsi le Principe de Hasse n’est pas toujours vérifé dans le contexte des quartiques.

Avec les notations de l’algorithme précédent, on peut sensiblement améliorer l’ensemble de recherche K(S, 2). Sans que cela conduise à une confusion, nous notons K(b′, 2) au lieu de K({𝔭 | b′}, 2).

Proposition II.4.8 Si la quartique (C_{δ}) est localement soluble en toutes les places de K, alors δ ∈ K(b′, 2).

Dans l’Algorithme II.4.7, on peut remplacer le groupe K(S, 2) par le sous-groupe K(b′, 2).

Preuve : La deuxième assertion est une conséquence immédiate de la première.

Soit 𝔭 ∤ b′, et supposons que (x, y, z) est une solution non triviale de (C_{δ}) localement en 𝔭. Remarquons d’abord que v_{𝔭}(b′) = 0 v_{𝔭}(a′) ⩾ 0. Notons e_{1} = v_{𝔭}(δx^{2}) et e_{2} = v_{𝔭}(z). Regardons successivement les trois cas correspondants aux valeurs relatives de e_{1} et 2e_{2}.

– 1^{er}cas : e_{1} < 2e_{2}. On a les valuations suivantes : v_{𝔭}(δ^{2}x^{4}) = 2e_{1}, v_{𝔭}(a′δx^{2}z^{2}) = v_{𝔭}(a′) + e_{1} + 2e_{2} > 2e_{1}, et v_{𝔭}(b′z^{4}) = 4e_{2} > 2e_{1}. Ainsi, δ^{2}x^{4} est le terme qui a la plus petite valuation et l’on a 2e_{1} = v_{𝔭}(δ^{2}x^{4}) = v_{𝔭}(δy^{2}), ce qui implique que v_{𝔭}(δ) est pair.

– 2^{e}cas : e_{1} = 2e_{2}. Comme on a v_{𝔭}(δx^{2}) = e_{1} = 2e_{2}, v_{𝔭}(δ) est nécessairement pair.

– 3^{e}cas : e_{1} > 2e_{2}. On a les valuations suivantes : v_{𝔭}(δ^{2}x^{4}) = 2e_{1} > 4e_{2}, v_{𝔭}(a′δx^{2}z^{2}) = v_{𝔭}(a′)+e_{1}+2e_{2} > 4e_{2}, et v_{𝔭}(b′z^{4}) = 4e_{2}. Ainsi, b′z^{4} est le terme qui a la plus petite valuation et l’on a 4e_{2} = v_{𝔭}(b′z^{4}) = v_{𝔭}(δy^{2}), ce qui implique que v_{𝔭}(δ) est pair.

On a donc montré que dans tous les cas, v_{𝔭}(δ) est pair. Comme cela est vrai pour tous les 𝔭 ∤ b′, cela signifie exactement que δ ∈ K(b′, 2). ■

Pour retrouver le groupe E(K)/2E(K) à partir des renseignements donnés par l’algorithme, on utilise les suites exactes

\begin{aligned}0 & → & E′(K)/ϕ(E(K)) & → & S^{(ϕ)}(E/K) & → & � (E/K)[ϕ] & → & 0 \\ et & 0 & → & E(K)/ϕ′(E′(K)) & → & S^{(ϕ′)}(E′/K) & → & � (E′/K)[ϕ′] & → & 0 \end{aligned}

À partir des deux quotients E′(K)/ϕ(E(K)) et E(K)/ϕ′(E′(K)), et de l’expression explicite des isogénies ϕ et ϕ′, il n’est pas difficile de retrouver les groupes E(K)/2E(K) et E′(K)/2E′(K), et en particulier le rang de ces courbes elliptiques. On remarquera que les deux courbes E et E′ sont isogènes sur K et donc elles ont le même rang.

II.4.4 Exemple du Calcul du Rang d’une Courbe avec 2-Torsion

On se place dans le corps K = ℚ(ζ) avec ζ^{5} − ζ^{3} − ζ^{2} + ζ + 1 = 0. Ce corps est de discriminant 1609, et son groupe de classes est trivial. Dans ce corps, on veut étudier la courbe elliptique

y^{2} = x^{3} + x^{2} − ζx (E).

On va appliquer l’Algorithme II.4.7 avec a = 1 et b = −ζ. On utilise l’isogénie avec la courbe

y^{2} = x^{3} − 2x^{2} + (1 + 4ζ)x (E′),

c’est-à-dire que l’on a a′ = −2 et b′ = 1 + 4ζ. Ces deux courbes admettent le point (0, 0) comme unique point de 2-torsion.

• Détermination de E′(K)/ϕ(E(K)). L’élément b′ = 1 − 4ζ est de norme −719. Le groupe K(b′, 2) est d’ordre 2^{4} et est engendré par

K(b′, 2) = ⟨−1, ζ, ζ^{4} − ζ, −3ζ^{4} − ζ^{3} + 3ζ^{2} + 4ζ − 2⟩ ,

où les ⟨⟩ signifient que l’on ne donne que les générateurs de ce 2-groupe. Les normes de ces générateurs valent −1, −1, 1, −719. L’examen successif des valeurs de δ ∈ K(b′, 2) donne des quartiques non solubles en 2 pour δ valant −1, ζ, −ζ, ζ^{4}−ζ, −ζ^{4}+ζ. Pour δ = ζ(ζ^{4}−ζ), on trouve la quartique

y^{2} = (ζ^{3} − ζ − 1)x^{4} − 2x^{2}z^{2} + (3ζ^{4} − 3ζ^{3} − 4ζ^{2} + 3)z^{4},

qui possède le point (ζ^{4} − ζ^{2}, 2ζ^{3} − 2ζ^{2}, 1). Ce point permet de construire le point de E′ :

P′_{1} = (2ζ^{2} − 1, −2ζ^{4} + 2ζ^{3} − 2ζ).

Pour δ = −3ζ^{4} − ζ^{3} + 3ζ^{2} + 4ζ − 2, on trouve la quartique

y^{2} = (−3ζ^{4} − ζ^{3} + 3ζ^{2} + 4ζ − 2)x^{4} − 2x^{2}z^{2} + y^{2}z^{4},

qui possède la solution triviale (0, ζ, 1), qui donne le point (0, 0) sur E′.

En utilisant la structure de 2-groupe de S^{(ϕ)}(E/K) et de E′(K)/ϕ(E(K)), on voit que les résultats pour les autres éléments de K(b′, 2) peuvent se déduire des précédents, et en particulier que les points éventuels que l’on trouvera sur la courbe elliptique sont des combinaisons linéaires des précédents.

On a donc les résultats partiels :

\begin{matrix}|E′(K)/ϕ(E(K))| = & 4 \\ |S^{(ϕ)}(E/K)| = & 4 \\ |� (E/K)[ϕ]| = & 1 \end{matrix}

• Détermination de E(K)/ϕ′(E′(K)).

L’élément b = −ζ est une unité. Le groupe K(b, 2) est d’ordre 2^{3} et est engendré par

K(b, 2) = ⟨−1, ζ, ζ^{4} − ζ⟩ .

L’examen successif des valeurs de δ ∈ K(b, 2) donne des quartiques non solubles en l’unique place réelle de K pour δ valant −1 et ζ. Pour δ = −ζ, on trouve la quartique

y^{2} = −ζx^{4} + x^{2}z^{2} + z^{4},

qui admet comme solution triviale (0, 1, 1), et qui donne le point trivial (0, 0) sur E. Pour δ = ζ^{4} − ζ, on trouve la quartique

y^{2} = (ζ^{4} − ζ)x^{4} + x^{2}z^{2} + (ζ^{4} − ζ^{2} + 1)z^{4},

qui possède le point (ζ^{2} − 1, −ζ^{4} + ζ^{3} − ζ^{2}, 1). Ce point permet de construire le point de E :

P_{1} = (−ζ^{4} + ζ^{2}, −2ζ^{4} + 2ζ^{2} − 1).

On utilise la structure de groupe pour obtenir directement les résultats partiels :

\begin{matrix}|E(K)/ϕ′(E′(K))| = & 4 \\ |S^{(ϕ′)}(E′/K)| = & 4 \\ |� (E′/K)[ϕ′]| = & 1 \end{matrix}

En combinant les différents résultats, on trouve

\begin{matrix}|� (E/K)[2]| = & 1 \\ |E(K)[2]| = & 2 \\ |E(K)/2E(K)| = & 8 \\ rang (E/K) = & 2 \end{matrix}

Enfin, en utilisant l’isogénie ϕ′, on trouve les points

\begin{matrix}ϕ′(P′_{1}) = & (5ζ^{4} − 4ζ^{3} − 2ζ^{2} − 3ζ + 7, 17ζ^{4} − 12ζ^{3} − 9ζ^{2} − 11ζ + 25) \\ P_{1} = & (−ζ^{4} + ζ^{2}, −2ζ^{4} + 2ζ^{2} − 1) \end{matrix}

qui engendrent un sous-groupe de rang maximal sur la courbe elliptique E.

II.4.5 Algorithme pour les Courbes sans 2-Torsion

Nous nous donnons une courbe elliptique définie sur un corps de nombres K sans 2-torsion et de la forme

y^{2} = x^{3} − 27Ix − 27J (E)

avec I, J ∈ ℤ_{K}. On peut toujours se ramener à cette situation en posant I = c_{4} et J = 2c_{6}, où c_{4} et c_{6} sont les invariants classiques de la courbe E (voir par exemple [Sil]).

Posons Δ = 4I^{3} − J^{2} et notons θ une racine de

θ^{3} = 3Iθ − J.

Avec cette définition, K(θ) est le plus petit corps dans lequel (E) possède de la 2-torsion (en effet, (0, −3θ) ∈ E[2]). À partir de l’article [Cre c], on peut déduire l’algorithme suivant :

Algorithme II.4.9 (Cet algorithme calcule le rang de la courbe E(K) d’équation y^{2} = x^{3} − 27Ix − 27J (sans 2-torsion) et trouve un système de représentants de E(K)/2E(K)) .

1– Déterminer le groupe K(θ)(S, 2) où S contient les idéaux premiers de K(θ) qui divisent 3Δ, ainsi que les idéaux premiers qui engendrent la 2-partie du groupe de classes Cl(K(θ)). Déterminer également le groupe K(S′, 2) où S′ contient les normes des idéaux de S (voir le paragraphe II.4.1) .

2– Déterminer le noyau K(θ)(S, 2)_{1} de l’application norme

N_{K(θ)/K} : K(θ)(S, 2) → K(S′, 2).

3– Déterminer le sous-ensemble H de K(θ)(S, 2)_{1} des éléments δ qui peuvent s’écrire sous la forme δ = a′ + b′θ (d’après l’Algorithme II.4.10) .

4– Pour chaque élément δ = a′ + b′θ ∈ H de norme N_{K(θ)/K} = r^{2}, poser

p = 3a′, a = \frac{3b′}{4} , b = 0, c = −\frac{p}{8a}, d = \frac{r}{8a^{2}} , e = \frac{I − c^{2}}{12a}

puis associer à δ la quartique (ou espace homogène) (C_{δ}) d’équation

y^{2} = ax^{4} + bx^{3}z + cx^{2}z^{2} + dxz^{3} + ez^{4} (C_{δ})

dont les invariants I,J et Δ sont les mêmes que ceux de la courbe E.

5– Déterminer le sous-groupe S^{(2)}(E/K) ⊂ H ⊂ K(θ)(S, 2)_{1} des éléments δ tels que la quartique (C_{δ}) est localement soluble en toutes les places de K.

6– Déterminer le sous-groupe E de S^{(2)}(E/K) des éléments δ tels que la courbe (C_{δ}) a un point (x, y, z) non trivial dans K.

7– Pour chaque δ ∈ E, construire le point P_{δ} ∈ E(K) défini par ses coordonnées (x_{P} , y_{P}) :

\begin{matrix}x_{P} = & \frac{3g_{4}(x, z)}{(2y)^{2}} \\ y_{P} = & \frac{27g_{6}(x, z)}{(2y)^{3}} \end{matrix}

où g_{4} et g_{6} sont définis par les formules suivantes en fonction des coefficients a, b, c, d, e de la quartique C_{δ} :

g_{4}(x, z) =(3b^{2} − 8ac)x^{4} + 4(bc − 6ad)x^{3}z + 2(2c^{2} − 24ae − 3bd)x^{2}z^{2}
+ 4(cd − 6be)xz^{3} + (3d^{2} − 8ce)z^{4}
g_{6}(x, z) =(b^{3} + 8a^{2}d − 4abc)x^{6} + 2(16a^{2}e + 2abd − 4ac^{2} + b^{2}c)x^{5}z
+ 5(8abe + b^{2}d − 4acd)x^{4}z^{2} + 20(b^{2}e − ad^{2})x^{3}z^{3}
− 5(8ade + bd^{2} − 4bce)x^{2}z^{4} − 2(16ae^{2} + 2bde − 4c^{2}e + cd^{2})xz^{5}
− (d^{3} + 8be^{2} − 4cde)z^{6}

Remarque : Nous avons voulu suivre de près les notations de [Cre c], ce qui nous fait laisser b dans toutes les expressions. Comme b est toujours nul, les formules se simplifient significativement. On peut aussi les simplifier en faisant apparaître les différents invariants I, J, p, r…

Faisons quelques remarques sur les divers ensembles qui interviennent dans cet algorithme. L’ensemble H défini à l’étape 3 n’est en général pas un sous-groupe de K(θ)(S, 2)_{1}. Le groupe S^{(2)}(E/K) défini à l’étape 5 est le groupe de Selmer de la courbe (E) pour la multiplication par 2. Il mesure l’existence de points locaux sur la courbe. Le groupe E est isomorphe à E(K)/2E(K). Le quotient S^{(2)}(E/K)/E = � (E/K)[2] est la 2-torsion du groupe de Tate-Shafarevich � (E/K). Ce groupe mesure l’obstruction pour les quartiques localement solubles en toutes les places de K a être globalement solubles. Pour les équations de Legendre, le principe de Hasse signifie qu’il suffit d’être localement soluble pour l’être globalement, et donc une telle obstruction n’existerait pas dans ce cas. Il existe des courbes elliptiques pour lesquelles on sait montrer que le groupe � (E/K)[2] n’est pas trivial.

Ces différents groupes sont liés par la suite exacte suivante :

0 → E(K)/2E(K) → S^{(2)}(E/K) → � (E/K)[2] → 0

Une conjecture classique affirme que le groupe � (E/K) est fini, ce qui implique que son ordre est un carré parfait, et en particulier que l’ordre du sous-groupe � (E/K)[2] est aussi un carré parfait. Comme ce sous-groupe est un 2-groupe, son ordre est alors de la forme 2^{e} où e est pair. Ce renseignement peut parfois servir à montrer (conjecturalement) qu’il existe des points sur la courbe, même si on n’en a pas trouvé.

Comme dans le cas de l’algorithme de descente par 2-isogénie, il est souvent impossible de montrer qu’une quartique n’a pas de point global alors qu’elle est localement soluble en toutes les places de K : on ne sait en général pas montrer qu’une quartique provient d’un élément non nul du groupe � (E/K), ou d’un point non trivial de la courbe elliptique.

Remarque : Si l’on dispose par avance de points sur la courbe, on peut retrouver les éléments de K(θ)(S, 2) dont ils proviennent, et éviter ainsi de faire inutilement des calculs pour les retrouver. En effet, si l’on connait un point (x, y) sur la courbe, alors il vérifie

y^{2} = x^{3} − 27Ix − 27J = N_{K(θ)/K}(x + 3θ),

ce qui signifie que δ = x + 3θ (à un carré près). À partir de cette expression de δ, on voit que si la valuation de δ en un idéal premier 𝔭 est impaire, alors 𝔭 doit aussi diviser N_{K(θ)/K}(δ)/δ = 9θ^{2} − 3xθ + x^{2} − 27I, et donc 𝔭 doit diviser le résultant Res_{x}(x + 3θ, 9θ^{2} − 3xθ + x^{2} − 27I) = 27(θ^{2} − I) dont la norme vaut 3^{12}Δ. Cela justifie donc le choix de S à l’étape 1 de l’Algorithme II.4.9. Sous-algorithme II.4.10 (Linéarisation) (Cet algorithme représente un élément δ = a + bθ + cθ^{2} ∈ K(θ)(S, 2)_{1} sous la forme δ = a′ + b′θ, ou prouve que cela est impossible)

1– Poser α = 3c^{2}I + ac − b^{2}, β = ab + c^{2}J et N_{K(θ)/K}(δ) = r^{2}.

2– Si c = 0, renvoyer δ. Si α = 0, renvoyer 1/δ.

3– À l’aide des Propositions II.2.6 et II.2.7, ainsi que de l’Algorithme II.2.12, déterminer si l’équation

αu_{1}^{2} + v_{1}^{2} − cw_{1}^{2} = 0

admet une solution. S’il n’y a pas de solution, alors δ n’a pas de représentation linéaire en θ, et s’arrêter.

4– À l’aide de l’Algorithme II.3.2, trouver une solution (u_{1}, v_{1}, w_{1}) de l’équation précédente, et poser

(\begin{matrix}u \\ v \\ w \end{matrix}) = (\begin{matrix}c & b & 3cI + a \\ & α & −β \\ & & r \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}u_{1} \\ v_{1} \\ w_{1} \end{matrix})

5– Renvoyer δ = δ · (u + vθ + wθ^{2})^{2}.

Dans cet algorithme, on cherche à résoudre δz^{2} = a′ + b′θ. En posant z = u + vθ + wθ^{2}, la composante suivant θ^{2} de δz^{2} est donnée par une forme quadratique Q(u, v, w). On peut diagonaliser cette forme quadratique à l’aide d’un changement de variables (explicité à l’étape 4). On est alors amené à résoudre la forme quadratique diagonale αu_{1}^{2}+v_{1}^{2}−cw_{1}^{2} = 0.

II.4.6 Exemple du Calcul du Rang d’une Courbe Sans 2-Torsion

Plaçons nous dans le corps cubique K = ℚ(ζ) où ζ^{3} + ζ^{2} − 1 = 0. Nous voulons déterminer le rang de la courbe elliptique définie par l’équation

y^{2} = x^{3} + ζ.

Si l’on fait une homothétie sur x et y, on voit que cette courbe est isomorphe sur K à la courbe d’équation

y^{2} = x^{3} + 729ζ (E).

Ainsi, on peut appliquer l’Algorithme II.4.9 avec I = 0 et J = −27ζ et Δ = −3^{9}ζ^{2}. Notons θ une racine de θ^{3} − 27ζ = 0, et θ′ = \frac{θ}{3}. Les corps K et K(θ) sont principaux, et le seul premier qui interviendra est 3 (inerte dans K). Ainsi, pour S = {3}, on détermine les ensembles K(S, 2) et K(θ)(S, 2) :

K(S, 2) = ⟨ζ, −1, 3⟩
K(θ)(S, 2) =⟨θ′, (ζ^{2} + ζ)(θ′^{2} − 1), θ′^{2} + ζ, ζθ′^{2} + θ′), −1,
(ζ^{2} + ζ + 1)θ′^{2} + (ζ^{2} + ζ)θ′ + (ζ^{2} + ζ + 1)⟩.

Les éléments de norme carrée forment le groupe K(θ)(S, 2)_{1} donné par

K(θ)(S, 2)_{1} = ⟨δ_{1} = θ′^{2} + ζ,
δ_{2} = ζθ′^{2} + θ′,
δ_{3} = −(ζ^{2} + ζ)θ′^{2} + ζ^{2} + ζ⟩.

Les normes valent toutes 1.

Nous utilisons la structure de 2-groupe de S^{(2)}(E/K) et E(K)/2E(K) pour économiser un grand nombre d’étapes (3 au lieu de 2^{3}).

• Pour δ = δ_{1}

On a δ = θ′^{2} + ζ, c’est-à-dire a = 1/9, b = 0, c = ζ et r = 1. On pose α = ζ/9. Pour linéariser δ, il faut résoudre l’équation de Legendre

\frac{ζ}{9}u_{1}^{2} + v_{1}^{2} − ζw_{1}^{2} = 0.

On trouve la solution (triviale) (u_{1}, v_{1}, w_{1}) = (3, 0, 1), ce qui donne z = −9ζ + (3ζ^{2} + 3ζ − 3)θ + θ^{2}. Si l’on remplace δ par δ · z^{2}/9^{2}, on obtient

δ = 1 + (2ζ^{2} − 2)θ′.

La quartique C_{δ} a pour équation

y^{2} = \frac{1}{2}(ζ^{2} − 1)x^{4} + \frac{3}{4}(ζ^{2} + ζ + 1)x^{2}z^{2} + \frac{1}{2}(2ζ^{2} + ζ + 1)xz^{3} + \frac{1}{32}(4y^{2} + 21y + 15)z^{4}.

Cette quartique admet comme solution le point (\frac{ζ^{2}+ζ+1}{2}, ζ^{2} + ζ + 1, 1), ce qui donne le point de (E) :

P_{1} = (9, 27(ζ^{2} + ζ)) .

• Pour δ = δ_{2}

On a δ = ζθ′^{2} + θ′, c’est-à-dire a = 0, b = 1/3, c = ζ/9 et r = 1. On pose α = −1/9. Pour linéariser δ, il faut résoudre l’équation de Legendre

−\frac{1}{9}u_{1}^{2} + v_{1}^{2} − \frac{1}{3}(ζ^{2} − 1)w_{1}^{2} = 0.

Comme −α est un carré, on trouve la solution triviale (u_{1}, v_{1}, w_{1}) = (3, −1, 0), ce qui donne z = 9θ. Si l’on remplace δ par δ · z^{2}/27^{2}, on obtient

δ = ζ + ζ^{2}θ′.

La quartique C_{δ} a pour équation

y^{2} = \frac{1}{4}ζ^{2}x^{4} − \frac{3}{8}(ζ^{2} + 1)x^{2}z^{2} + \frac{1}{8}(ζ^{2} + ζ + 1)xz^{3} − \frac{3}{256}(ζ + 1)^{2}z^{4}.

Cette quartique admet comme solution le point (1, \frac{ζ}{2}, 0), ce qui donne le point de (E) :

P_{2} = (9ζ(ζ + 1), 27(ζ + 1)) .

• Pour δ = δ_{3}

On a δ = −(ζ^{2} + ζ)θ′^{2} + ζ^{2} + ζ, c’est-à-dire a = ζ^{2} + ζ, b = 0, c = −(ζ^{2} + ζ)/9 et r = 1. On pose α = −(ζ + 1)/9. Pour linéariser δ, il faut résoudre l’équation de Legendre

−\frac{1}{9}(ζ + 1)u_{1}^{2} + v_{1}^{2} + \frac{1}{9}(ζ^{2} + ζ)w_{1}^{2} = 0.

On trouve la solution (encore une fois triviale) (u_{1}, v_{1}, w_{1}) = (1, (ζ^{2} + ζ)/3, 0), ce qui donne z = −9ζ(1 + θ′). Si l’on remplace δ par δ · z^{2}/(9ζ)^{2}, on obtient

δ = (2ζ^{2} + 2ζ − 1)θ′ + ζ^{2} + ζ − 2.

La quartique C_{δ} a pour équation

y^{2} = \frac{1}{4}(2ζ^{2} + 2ζ − 1)x^{4} + \frac{3}{22}(3ζ^{2} + 9ζ − 4)x^{2}z^{2} + \frac{2}{121}(16ζ^{2} + 37ζ + 41)xz^{3}

+\frac{3}{5324}(166ζ^{2} − 327ζ + 17)z^{4}.

Cette quartique admet comme solution le point (\frac{7ζ^{2}+10ζ+9}{11}, ζ^{2} + 2ζ + 1, 1), ce qui donne le point de (E) :

P_{3} = (−9ζ, 27ζ^{2}).

Les résultats que nous avons trouvés permettent de déduire les informations suivantes :

\begin{matrix}|S^{(2)}(E/K)| = & 8 \\ |E(K)/2E(K)| = & 8 \\ |� (E/K)[2]| = & 1 \\ rang (E/K) = & 3, \end{matrix}

un système de points de E de rang maximal étant donné par

\begin{matrix}P_{1} = & (9, 27(ζ^{2} + ζ)) \\ P_{2} = & (9(ζ^{2} + ζ), 27(ζ + 1)) \\ P_{3} = & (−9ζ, 27ζ^{2}) \end{matrix}

On retrouve les points suivants sur la courbe y^{2} = x^{3} + ζ à partir de ceux de E :

\begin{matrix}Q_{1} = & (1, ζ^{2} + ζ) \\ Q_{2} = & (ζ^{2} + ζ, ζ + 1) \\ Q_{3} = & (−ζ, ζ^{2}) \end{matrix}

52  Équations de Legendre et Courbes Elliptiques

Chapitre III

Équations aux Normes

Introduction

Le but de ce chapitre est de résoudre explicitement une équation du type

N_{L/K}(x) = a,

où L/K est une extension relative de corps de nombres arbitraire fixée, et a est un élément non nul du corps de nombres K. Nous voulons aussi être capable de décider si une équation a une solution ou si elle n’en a pas. Nous ne nous limitons pas aux solutions entières de cette équation, mais à n’importe quelle solution rationnelle.

Si l’on écrit a sous la forme a = α/d avec d ∈ ℤ, et α entier algébrique dans K, alors nous voyons que l’équation est équivalente à N_{L/K}(x) = d^{n−1}α où n = [L : K] est le degré de l’extension, à cause de la relation N_{L/K}(d) = d^{n}. Ainsi, on peut toujours faire l’hypothèse non restrictive que a est un entier algébrique.

La première idée pour résoudre cette équation est de chercher des solutions entières lorsque a est lui-même entier, et ceci peut se faire par exemple en majorant la (ou les) valeur absolue des solutions. Cette idée que nous n’utiliserons pas est développée par C.L. Siegel dans [Sie] pour le cas des extensions galoisiennes, par U. Fincke et M. Pohst dans [Fin-Poh] pour le cas d’une extension quelconque de ℚ, ou par C. Fieker, A. Jurk et M. Pohst dans [Fie-Jur-Poh] pour le cas relatif. Une solution plus algébrique de ce problème est donnée par D. Garbanati dans [Gar] pour le cas d’une extension abélienne. Récemment, C. Fieker (dans [Fie]) a décrit un algorithme résolvant cette équation dans le cas des extensions galoisiennes en utilisant, comme nous allons le faire, les S-unités. Notre but dans ce chapitre est de donner une description algébrique des solutions pour le cas général, et d’en déduire un algorithme efficace. À notre connaissance, c’est la première fois qu’un tel algorithme est décrit. En particulier, jusqu’à présent aucun algorithme ne pouvait décider si une équation aux normes tout à fait générale admet une solution ou n’en admet pas.

Nous démontrons d’abord quelques théorèmes donnant une description précise de la factorisation en idéaux premiers des solutions, qui donnent une borne sur les premiers qui interviennent dans les solutions. Ensuite nous déduisons de ces théorèmes un algorithme qui construit une solution, ou prouve qu’il n’y a pas de solution. Cet algorithme suppose que nous avons une bonne connaissance du corps L, par exemple que nous disposons d’un système fondamental d’unités de L, et que nous savons résoudre le problème de “l’idéal principal”. Nous illustrons chaque proposition par un exemple.

Si l’on peut prouver qu’il n’y a pas de solution entière, cela ne prouve malheureusement pas qu’il n’y a pas de solution du tout. En effet, considérons l’exemple suivant : Exemple : Soit L/K = ℚ(\sqrt{34})/ℚ, et a = −1. L’unité fondamentale de L est u = 6\sqrt{34}+35 dont la norme est +1, ce qui prouve que a n’est pas la norme d’un entier algébrique de L. Toutefois, nous avons N_{L/K}((\sqrt{34} + 5)/3) = −1.

L’existence de solutions rationnelles (et non entières) pour l’équation N_{L/K}(x) = a pourrait nous laisser penser qu’on ne peut pas réduire ce problème à un nombre fini de tests. Notre but est de démontrer au contraire comment cela est possible, en donnant une borne sur le dénominateur, ou plus précisément en donnant la liste finie des idéaux premiers qui peuvent intervenir au numérateur et au dénominateur. Ainsi, il devient algorithmiquement possible de décider de l’existence d’une solution rationnelle, et de trouver une solution lorsqu’il y en a.

Nous allons utiliser les résultats du chapitre I et décrire les solutions en termes de Sunités. Soit S un ensemble fini d’idéaux premiers du corps de base K. Nous notons 𝕌_{K,S} le groupe des S-unités de K et 𝕌_{L,S} le groupe des S-unités de L. Tous les idéaux premiers qui divisent a doivent avoir une contribution dans les solutions x, c’est-à-dire que nous pouvons faire l’hypothèse que S contient tous les idéaux premiers qui divisent a, de sorte que a est une S-unité.

Il est clair que la norme d’une S-unité de L est une S-unité de K, en d’autres termes que N_{L/K}(𝕌_{L,S}) ⊂ N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}. L’exemple précédent nous montre que l’inclusion réciproque n’est pas vraie en général (ici avec S = ∅) : une S-unité qui est une norme n’est pas toujours la norme d’une S-unité.

Le théorème que nous allons démontrer affirme que l’on a égalité dès que S est assez grand, c’est-à-dire dès que S contient un certain sous-ensemble S_{0} qui ne dépend que de l’extension L/K. Ainsi, pour résoudre l’équation N_{L/K}(x) = a, il suffit de considérer les idéaux premiers qui divisent a, ainsi que les idéaux premiers exceptionnels de S_{0}.

Théorème (Théorème Principal) Soit L/K une extension de corps de nombres. Il existe un ensemble fini S_{0} d’idéaux premiers de K, ne dépendant que de L et K, tel que

si S ⊃ S_{0} alors N_{L/K}(𝕌_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}.

Un tel S_{0} est donné explicitement en termes de générateurs de groupes de classes. Il est intéressant de remarquer que la preuve de ce théorème repose essentiellement sur la construction d’éléments de norme 1, grâce auxquels on peut translater une solution qui ne serait pas une S-unité. Quand S ne contient pas S_{0}, il est tout de même possible de donner quelques renseignements concernant le groupe quotient (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{L/K}(𝕌_{L,S}), d’autant plus précis que l’extension est galoisienne, ou mieux abélienne : ces renseignements sont donnés par des “théorèmes de structure”.

Définition : On dit qu’un groupe G est un n-groupe si tous les premiers qui divisent |G| divisent aussi n. Si G est abélien, on dit que G est d’exposant d si g^{d} = 1 pour tout g ∈ G, et si d est minimal pour cette propriété. Dans ce cas, d est toujours un diviseur de |G|. Notation : Lorsque nous ferons agir un groupe de Galois G sur des éléments ou des idéaux, nous utiliserons la notation I^{σ} et x^{σ} pour σ(I) et σ(x). Cette notation exponentielle nous permettra de faire des calculs dans l’anneau de groupe ℤ[G], de sorte que l’on aura I^{α+β} = I^{α} · I^{β} et I^{αβ} = (I^{β})^{α}.

III.1 Équations aux Normes dans les Extensions Galoisiennes

Dans le cas où l’extension L/K est galoisienne, la situation est considérablement simplifiée, et pour cette raison nous commençons par étudier ce cas. On trouve déjà ces résultats dans [Fie].

III.1.1 Preuve du Théorème Principal pour les Extensions Galoisiennes

Avant de montrer le Théorème Principal, nous étudions un peu plus en détail l’exemple de l’introduction pour nous donner une idée du résultat général. Exemple : L’extension L/K est l’extension quadratique réelle ℚ(\sqrt{34})/ℚ de discriminant 136. L’unité fondamentale est 6\sqrt{34} + 35 de norme +1. On a les relations suivantes :

N_{L/K}((\sqrt{34} + 5)/3) = −1,
N_{L/K}((\sqrt{34} + 3)/5) = −1,
N_{L/K}((5\sqrt{34} + 27)/11) = −1,
N_{L/K}((5\sqrt{34} + 3)/29) = −1,
N_{L/K}((25\sqrt{34} + 141)/37) = −1, …

Ainsi, −1 est la norme d’une S-unité dès que S contient l’un des premiers 3, 5, 11, 29, 37, … Or, il se trouve que le corps L = ℚ(\sqrt{34}) a un groupe de classes non trivial d’ordre 2 qui peut être engendré par des idéaux premiers au-dessus de 3, 5, 11, 29, 37,…Dans cet exemple, la condition pour que −1 soit la norme d’une S-unité semble être que S engendre le groupe de classes de L : c’est exactement ce que nous allons démontrer.

Nous noterons toujours S pour un ensemble d’idéaux premiers du corps de base K, et par un abus de notation, justifié par la définition des S-unités donnée dans I.1, S sera aussi l’ensemble des idéaux premiers de L au-dessus des premiers de K pour toute extension finie L de K.

Lemme III.1.1 Soit L/K une extension galoisienne, S un ensemble fini d’idéaux premiers de K. Soit A un idéal S-entier de K, et X,Y deux idéaux S-entiers de L. Supposons qu’ils satisfont la relation N_{L/K}(X) = A · N_{L/K}(Y) et qu’il existe des idéaux premiers 𝔭_{1}, …, 𝔭_{k} de L, qui ne sont pas dans S, tels que leur produit divise Y.

Alors, il existe des conjugués σ_{1}(𝔭_{1}), …, σ_{k}(𝔭_{k}) de 𝔭_{1}, …, 𝔭_{k} dont le produit divise X.

Preuve : Montrons cela par récurrence sur k. Soit H_{k} la propriété pour k fixé. Pour k = 0, il n’y a rien à démontrer.

Pour k = 1 : Soit 𝔭 un idéal premier divisant Y et qui n’est pas dans S. Alors N_{L/K}(𝔭) divise N_{L/K}(Y) et comme A est S-entier, N_{L/K}(𝔭) doit aussi diviser N_{L/K}(X) = A·N_{L/K}(Y). Mais l’extension est galoisienne, donc il existe nécessairement un conjugué σ(𝔭) de 𝔭 qui divise X, et ceci prouve H_{1}.

Supposons maintenant que H_{k} est vraie pour un certain k ⩾ 1. Soit ∏_{1⩽i⩽k+1} 𝔭_{i} divisant Y. On a en particulier ∏_{1⩽i⩽k} 𝔭_{i} qui divise Y, et H_{k} implique que ∏_{1⩽i⩽k} σ_{i}(𝔭_{i}) divise X. On peut encore appliquer H_{1} à l’égalité

N_{L/K} (X/ ∏_{1⩽i⩽k} σ_{i}(𝔭_{i})) = A · N_{L/K} (Y/ ∏_{1⩽i⩽k} 𝔭_{i})

et ceci prouve H_{k+1}. ■

Théorème I (Cas Galoisien) Si L/K est une extension galoisienne, et si S_{0} engendre le groupe de classes relatif Cl_{i}(L/K), alors pour tout S ⊃ S_{0}

N_{L/K}(𝕌_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}
et N_{L/K}(ℤ_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ ℤ_{K,S}.

Preuve : Soit S ⊃ S_{0}. Les deux inclusions N_{L/K}(𝕌_{L,S}) ⊂ (N_{L/K}(L^{∗})∩𝕌_{K,S}) et N_{L/K}(ℤ_{L,S}) ⊂ (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ ℤ_{K,S}) sont évidentes.

Réciproquement, soit a ∈ N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S} (resp. a ∈ N_{L/K}(L^{∗}) ∩ ℤ_{K,S}) et x, y ∈ ℤ_{L,S} tels que N_{L/K}(\frac{x}{y}) = a. On peut écrire

N_{L/K}(x) = aN_{L/K}(y).

Soit ∏ 𝔭_{i} la factorisation en idéaux premiers de l’idéal principal yℤ_{L}. D’après le Lemme III.1.1 il existe des conjugués σ_{i}(𝔭_{i}) des 𝔭_{i} tels que ∏ σ_{i}(𝔭_{i}) divise l’idéal principal xℤ_{L}. Soit X l’idéal S-entier de L tel que

xℤ_{L} = ∏ σ_{i}(𝔭_{i}) · X

On utilise maintenant le fait que S_{0} engendre le groupe de classes relatif Cl_{i}(L/K). Chaque idéal 𝔭_{i} est S_{0}-pseudo-principal et peut donc être écrit sous la forme

𝔭_{i} = α_{i} · 𝔰_{i} · 𝔮_{i}ℤ_{L}

où α_{i} est un élément de L^{∗}, 𝔰_{i} est un produit d’idéaux de S dans L, et 𝔮_{i} est un idéal de K. En termes de S-idéaux, cette relation peut encore s’écrire

𝔭_{i}ℤ_{L,S} = α_{i} · 𝔮_{i}ℤ_{L,S}.

Ceci donne

yℤ_{L,S} = ∏ α_{i} ∏ 𝔮_{i}ℤ_{L,S}

et puisque 𝔮_{i}ℤ_{L} est fixé par σ_{i}, on a aussi

xℤ_{L,S} = ∏ σ_{i}(α_{i}) ∏ 𝔮_{i}ℤ_{L,S} · X

Maintenant, si l’on pose

u = (x/ ∏ σ_{i}(α_{i})) / (y/ ∏ α_{i}) ,

on a N_{L/K}(u) = a. Les relations précédentes impliquent que

uℤ_{L,S} = \frac{X ∏ 𝔮_{i}ℤ_{L,S}}{∏ 𝔮_{i}ℤ_{L,S}} = Xℤ_{L,S},

et donc que u est un S-entier. La deuxième égalité du théorème est ainsi démontrée. Pour prouver la première, il suffit de remarquer que si une S-unité a est la norme d’un S-entier u, alors u est une S-unité. ■

Corollaire III.1.2 Soit L/K une extension galoisienne telle que le groupe de classes Cl_{i}(L/K) soit trivial, et a un entier de K, alors :

L’équation N_{L/K}(x) = a admet une solution rationnelle si et seulement si elle a une solution entière.

Plus généralement, si S est un ensemble arbitraire d’idéaux premiers dont les classes engendrent Cl_{i}(L/K), et si a est un S-entier, alors :

L’équation N_{L/K}(x) = a admet une solution rationnelle si et seulement si elle a une solution S-entière.

Preuve : C’est une conséquence immédiate du théorème précédent. ■

Exemple : On peut illustrer ce corollaire par les exemples suivants : les équations x^{2} +y^{2} = n, x^{2} +2y^{2} = n, x^{2} +xy+y^{2} = n, x^{3} +y^{3} +9z^{3} −3xy^{2} −9xz^{2} −9yz^{2} +9xyz = n,…admettent une solution rationelle si et seulement si elles ont une solution entière (ces équations correspondent à des normes pour des extensions galoisiennes de nombre de classes 1). Ceci est encore vrai pour les équations x^{2} − 34y^{2} = 9n, x^{2} + 34y^{2} = 25n,…(qui correspondent à des normes pour des extensions galoisiennes de nombre de classes > 1).

III.1.2 Structure dans le Cas Galoisien

Notation : (valable jusqu’à la fin du chapitre) : Si G est le groupe de Galois Gal(L/K), on note R un ensemble de générateurs de G et on note r son cardinal : R = {σ_{1}, ⋯, σ_{r}}. Notons Cl_{S}(L)^{r} le produit direct de r copies de Cl_{S}(L).

Montrons tout d’abord deux lemmes sur les idéaux de norme 1 :

Lemme III.1.3 Soit L/K une extension galoisienne de groupe de Galois G = {σ_{1}, ⋯, σ_{n}}. Tout idéal I de L de norme 1 peut s’écrire sous la forme

I = ∏_{i=1}^{n} I_{i}^{σ_{i}−1}

Preuve : À cause de la multiplicativité de la norme et des automorphismes σ_{i} − 1, on peut supposer que I est le produit d’idéaux premiers 𝔭_{i}, tous au-dessus d’un même premier de K. Si I est de norme 1, alors I = ∏ 𝔭_{i}^{α_{i}} avec ∑ α_{i} = 0. On a donc

I = ∏ 𝔭_{i}^{α_{i}} · ∏ 𝔭_{1}^{−α_{i}} = ∏(𝔭_{i}/𝔭_{1})^{α_{i}}.

Mais l’extension est galoisienne, de sorte que 𝔭_{i} = σ_{i}(𝔭_{1}), et donc I = ∏(𝔭_{1}^{α_{i}})^{σ_{i}−1}. ■

Lemme III.1.4 Soit L/K une extension galoisienne de groupe de Galois engendré par R = {σ_{1}, ⋯, σ_{r}}. Tout idéal I de L de norme 1 peut s’écrire sous la forme

I = ∏_{i=1}^{r} I_{i}^{σ_{i}−1}

Preuve : Grâce au Lemme III.1.3, il suffit de le prouver pour les idéaux de la forme I^{σ−1}. Soit σ ∈ G que l’on écrit en fonction des générateurs σ = σ_{i_{1}}σ_{i_{2}} ⋯ σ_{i_{k}}, σ_{i_{j}} ∈ R, on a :

σ − 1 = (σ_{i_{1}} ⋯ σ_{i_{k}} − σ_{i_{2}} ⋯ σ_{i_{k}}) + (σ_{i_{2}} ⋯ σ_{i_{k}} − σ_{i_{3}} ⋯ σ_{i_{k}}) + … + (σ_{i_{k}} − 1)
= (σ_{i_{1}} − 1)α_{1} + (σ_{i_{2}} − 1)α_{2} + … + (σ_{i_{k}} − 1)α_{k}
= (σ_{1} − 1)β_{1} + (σ_{2} − 1)β_{2} + … + (σ_{r} − 1)β_{r}.

On peut alors écrire

I^{σ−1} = ∏_{i=1}^{r}(I^{β_{i}})^{σ_{i}−1}.

■

Théorème II Soit L/K une extension galoisienne. Pour tout S, il existe un sous-groupe Cl_{S}(L)^{r,0} de Cl_{S}(L)^{r} et un morphisme surjectif

ϕ : Cl_{S}(L)^{r,0} → (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{L/K}(𝕌_{L,S})

Preuve : Construction de ϕ : Soit ψ l’application définie de la manière suivante :

\begin{aligned}ψ : & I_{S}(L)^{r} & → & I_{S}(L) \\ & (I_{1}, …, I_{r}) & ↦ & ∏_{i=1}^{r} \frac{σ_{i}(I_{i})}{I_{i}} = ∏_{i=1}^{r} I_{i}^{σ_{i}−1} \end{aligned}

où I_{S}(L)^{r} est le produit de r copies de I_{S}(L). Notons I_{S}(L)^{r,0} le sous-groupe de I_{S}(L)^{r} dont les éléments ont une image S-principale par le morphisme ψ. On a donc un morphisme (toujours noté ψ) :

\begin{aligned}ψ : & I_{S}(L)^{r,0} & → & P_{S}(L) \\ & (I_{1}, …, I_{r}) & ↦ & ∏_{i=1}^{r} I_{i}^{σ_{i}−1} = xℤ_{L,S}. \end{aligned}

Ceci est tel que ψ(I_{1}, …, I_{r}) = xℤ_{L,S} est S-principal de norme 1. À chaque x ∈ L^{∗}, on peut lui associer sa norme sur K. Comme x n’est défini qu’à une S-unité près, N_{L/K}(x) n’est défini qu’à la norme d’une S-unité près. Mais l’idéal xℤ_{L,S} est de norme 1, donc N_{L/K}(x) est une S-unité. On a donc défini un morphisme :

\overline{ψ} : I_{S}(L)^{r,0} → (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{L/K}(𝕌_{L,S}).

Ce morphisme peut se définir sur le groupe de classes de L. En effet, si I_{i} est principal, disons par exemple I_{i} = x_{i}ℤ_{L,S}, alors ψ(I_{i}) = I_{i}^{σ_{i}−1} = x_{i}^{σ_{i}−1}ℤ_{L,S}, et alors \overline{ψ}(I_{i}) = N_{L/K}(x_{i}^{σ_{i}−1}) = 1. Ainsi, on peut définir ϕ comme la restriction de \overline{ψ} au quotient Cl_{S}(L)^{r,0} :

ϕ : Cl_{S}(L)^{r,0} → (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{L/K}(𝕌_{L,S}).

Surjectivité de ϕ : Soit a ∈ (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}), et x tel que a = N_{L/K}(x). Puisque a ∈ 𝕌_{K,S}, on a N_{L/K}(xℤ_{L,S}) = aℤ_{K,S} = ℤ_{K,S}. D’après le Lemme III.1.4, on peut exprimer xℤ_{L,S} sous la forme

xℤ_{L,S} = ∏_{i=1}^{r} I_{i}^{σ_{i}−1}

On vérifie alors aisément que ϕ(I_{1}, …, I_{r}) = a. ■

Corollaire III.1.5 Pour tout S il existe un sous-groupe Cl_{i,S}(L/K)^{r,0} de Cl_{i,S}(L/K)^{r} et un morphisme surjectif

ϕ : Cl_{i,S}(L/K)^{r,0} → (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{L/K}(𝕌_{L,S}).

Preuve : Puisque Cl_{i,S}(L/K) = Cl_{S}(L)/i(Cl_{S}(K)), il est suffisant de montrer que le sousgroupe i(Cl_{S}(K)) de Cl_{S}(L) est contenu dans le noyau du morphisme ϕ du Théorème II. Or, si I est un idéal de K, alors I^{σ−1} = 1 et ϕ(Ī) = N_{L/K}(1) = 1. ■ Remarque : Ceci prouve non seulement que i(Cl_{S}(K)) est dans le noyau de ϕ mais aussi que le sous-groupe plus grand Cl_{S}(I^{G}) de Cl_{S}(L) engendré par les idéaux de L fixés par G est également dans ce noyau.

Si u est une S-unité de K, alors on a la relation N_{L/K}(u) = u^{[L:K]}, qui montre que le groupe quotient (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{L/K}(𝕌_{L,S}) a un exposant qui divise [L : K]. Cette simple remarque montre que dans le Théorème II (ou dans le Corollaire III.1.5), il est suffisant de considérer les [L : K]-parties des groupes de classes. Par exemple, on a le corollaire suivant :

Corollaire III.1.6 Soit L/K une extension galoisienne, et S_{0} un ensemble fini d’idéaux premiers de K qui engendre la [L : K]-partie du groupe de classes relatif Cl_{i}(L/K), alors pour tout S ⊃ S_{0} on a

N_{L/K}(𝕌_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S},

c’est-à-dire que le Théorème Principal est vrai avec ce S_{0}.

Preuve : Pour cela, il suffit de remarquer que le groupe

(N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{L/K}(𝕌_{L,S})

est d’exposant divisant [L : K]. ■ Remarque : Il n’est pas suffisant de faire l’hypothèse que [L : K] soit premier à h pour prouver comme dans le Théorème I que les entiers qui sont des normes sont des normes d’entiers. Nous illustrons cela par un exemple : Exemple : Soit L/K = ℚ(\sqrt{229})/ℚ. Le groupe Cl(L) est d’ordre 3 (premier à 2), et est engendré par un idéal 𝔭 au-dessus de 3. L’entier 3 est une norme puisque

N_{L/K}(\frac{16 − \sqrt{229}}{3}) = 3.

Mais il ne peut pas être la norme d’un entier x, sinon cet x engendrerait l’un des deux idéaux au-dessus de 3 qui ne sont pas principaux.

Nous avons vu dans la partie I.2.1 qu’il existe deux notions différentes de groupes de classes relatifs. L’exemple suivant montre que le Corollaire III.1.6 est faux si l’on remplace Cl_{i}(L/K) par Cl_{N} (L/K). La notion de groupe de classes relatif adaptée à notre situation est celle liée à l’inclusion et non pas celle liée à la norme. Exemple : Soit K = ℚ(y) avec y^{2}−y−26 = 0. Le discriminant de K est 105, et son groupe de classes est d’ordre 2, engendré par l’idéal premier 𝔭_{2} = 2ℤ_{K} + (y + 1)ℤ_{K} au-dessus de 2. Considérons l’extension de K définie par L = K(x) avec x^{2} + (−2y + 1)x − 158 = 0. On a alors x^{4} − 421x^{2} + 24964 = 0. Ce corps L n’est autre que le corps ℚ(\sqrt{105}, \sqrt{737}), de discriminant 105^{2}737^{2}. Dans l’extension relative L/K, −1 est une norme puisque

N_{L/K} (\frac{(18808y + 87240)x + (−352680y − 1625419)}{((44y − 330)x + (1124y − 4777))^{3}}) = −1

Le groupe de classes Cl(L) est de type C_{6} ×C_{2}, engendré par un idéal premier 𝔓_{2} au-dessus de 𝔭_{2} (au-dessus de 2) d’ordre 6, et un idéal premier 𝔓_{59} au-dessus de 59 d’ordre 2. On a

N_{L/K}(𝔓_{2}) = 𝔭_{2} et N_{L/K}(𝔓_{59}) = (4y − 21)ℤ_{K},

Ainsi, le groupe Cl_{N} (L/K) = Ker(N_{L/K}) est d’ordre 6, et son 2-Sylow est engendré par 𝔓_{59}. Si le Corollaire III.1.6 était vrai avec Cl_{N} (L/K) à la place de Cl_{i}(L/K), alors −1 serait la norme d’une 59-unité. Montrons que ce n’est pas le cas :

Les unités fondamentales de L sont

\begin{aligned}u_{1} & = & 8y + 37 \\ u_{2} & = & (17952y − 8976)x + 777239 \\ u_{3} & = & −18636936x + (18636936y + 243656915) \end{aligned}

dont les normes sont (8y + 37)^{2}, 1 et 1, où 8y + 37 est l’unité fondamentale de K. Ceci prouve que les unités ont des normes triviales. Les 59-unités supplémentaires sont données par

\begin{aligned}s_{1} & = & 4x + (26y − 221) \\ s_{2} & = & 230x + (−230y + 3237) \\ s_{3} & = & 4y − 21 \\ s_{4} & = & 59 \end{aligned}

On remarque que s_{3} et s_{4} (ajoutées à 8y +37) forment un système fondamental de 59-unités de K. Pour cette raison, leur contribution aux normes est triviale. Les normes de s_{1} et s_{2} sont (8y + 37)^{−1}(4y − 21)^{2} et −59(4y − 21). Ceci prouve que la seule unité de K qui est une norme non triviale de 59-unité est (8y + 37), et que −1 n’est pas la norme d’une 59-unité.

Nous pouvons reformuler cet exemple en un autre langage. L’équation N_{L/K}(x) = −1 équivaut à l’équation

a^{2} + \sqrt{105}ab − 158b^{2} = −1.

Cette équation admet une solution dans ℚ(\sqrt{105}) donnée par exemple par

\begin{matrix}a = & \frac{−13389802194\sqrt{105} + 137206113757}{13^{3}} \\ b = & \frac{1584534586\sqrt{105} − 16236473944}{13^{3}} \end{matrix}

Nous avons montré qu’il n’existe pas de solution entière, ni de solution dont le dénominateur soit une puissance de 59.

III.1.3 Cas Particulier des Extensions Cycliques

Considérons ici le cas particulier des extensions cycliques. Dans ce cas nous pouvons déterminer explicitement le noyau du morphisme du Théorème II, et donc faire apparaître un isomorphisme. Ce résultat, dû à Chevalley dans [Che], est connu sous le nom de “Formule des Classes Ambiges”.

Soit Cl_{S}(L)^{G} le sous-groupe de Cl_{S}(L) des classes fixes par l’action de G (c’est le groupe des classes ambiges), et Cl_{S}(I_{S}(L)^{G}) le sous-groupe de Cl_{S}(L)^{G} engendré par les idéaux qui sont eux-même invariants. Le théorème est le suivant :

Théorème (des Classes Ambiges) Si G = Gal(L/K) est cyclique, alors pour tout S, il existe un isomorphisme

\frac{Cl_{S}(L)^{G}}{Cl_{S}(I_{S}(L)^{G})} ∼ \frac{N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}}{N_{L/K}(𝕌_{L,S})} .

Preuve : Partons du morphisme surjectif ϕ du Théorème II. Comme G = Gal(L/K) est cyclique, on a Cl_{S}(L)^{r,0} = Cl_{S}(L)^{0} = Cl_{S}(L)^{G}.

Soit I un idéal invariant par l’action de G, et σ un générateur de G. On a I^{σ−1} = 1 et ϕ(Ī) = N_{L/K}(1) = 1. Ceci prouve que Cl_{S}(I_{S}(L)^{G}) est inclus dans le noyau.

Réciproquement, montrons que Cl_{S}(I_{S}(L)^{G}) est exactement le noyau. Soit I un idéal de L, dont la classe est dans Cl_{S}(L)^{G} et dans le noyau de ϕ. On a I^{σ−1} = xℤ_{L,S} avec N_{L/K}(x) = 1. Mais le Théorème 90 de Hilbert affirme que x est de la forme x = α^{1−σ}, où α est un élément non trivial de L. Ainsi, on a (αI)^{σ−1} = 1, ce qui prouve que αI est un idéal fixe par G, et ainsi on a Ī ∈ Cl_{S}(I_{S}(L)^{G}), comme il fallait le démontrer. ■

Dans ce théorème, le groupe de classes relatif est en fait implicite. En effet, l’inclusion i(Cl_{S}(K)) ⊂ Cl_{S}(I_{S}(L)^{G}) montre que Cl_{S}(L)^{G}/Cl_{S}(I_{S}(L)^{G} peut être vu comme un quotient d’un sous-groupe du groupe de classes relatif Cl_{i,S}(L/K). Remarque : Dans le cas particulier où S engendre le groupe Cl(L) tout entier, le groupe Cl_{S}(L) est trivial, et l’on a N_{L/K}(𝕌_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}, comme l’affirme le Théorème Principal. Toutefois, il n’est pas nécessaire d’engendrer le groupe de classes tout entier, mais seulement le sous-groupe Cl(L)^{G} qui est le groupe des classes ambiges.

III.2 Équations aux Normes dans les Extensions Non Galoisiennes

Dans cette partie nous considérons le cas général où l’extension L/K n’est plus nécessairement galoisienne. Notation : Nous noterons désormais 𝔏/K sa clôture galoisienne, et G son groupe de Galois. Le sous-groupe H de G est le sous-groupe de G qui correspond à l’extension 𝔏/L par la correspondance de Galois. Nous noterons d = [L : K] et |H| = [𝔏 : L], de sorte que l’on a |G| = d · |H|.

III.2.1 Préliminaires

Avant de prouver le Théorème Principal dans le cas général, nous prouvons une proposition préliminaire qui résout déjà quelques questions. Avec les notations précédentes nous avons :

Proposition III.2.1 Si S est un ensemble fini d’idéaux premiers de K, alors le groupe

(N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{L/K}(𝕌_{L,S})

est d’exposant divisant à la fois d et |H| · |Cl_{i,S}(𝔏/K)|.

Preuve : Lorsque a ∈ K^{∗}, la relation

a^{d} = N_{L/K}(a)

justifie la première affirmation. Pour la seconde, on pose h = |Cl_{i,S}(𝔏/K)|. Choisissons a ∈ N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}. Si l’on écrit a = N_{L/K}(x) avec x ∈ L, alors

a^{|H|} = N_{L/K}(x^{|H|}) = N_{𝔏/K}(x),

et a^{|H|} est une norme pour l’extension galoisienne 𝔏/K. Comme l’affirme le Corollaire III.1.5 pour le cas galoisien, l’exposant du groupe (N_{𝔏/K}(𝔏^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{𝔏/K}(𝕌_{𝔏,S}) divise h, donc (a^{|H|})^{h} est la norme d’une S-unité s de 𝕌_{𝔏,S}. On a alors

a^{|H|h} = N_{𝔏/K}(s) = N_{L/K}(N_{𝔏/L}(s)),

ce qui prouve que a^{|H|h} est la norme d’une S-unité pour l’extension L/K. ■

Corollaire III.2.2 Soit L/K une extension telle que d est premier à |H|, et S_{0} un ensemble fini d’idéaux premiers de K. Si S_{0} est tel que h = |Cl_{i,S_{0}}(𝔏/K)| est premier à d, alors pour tout S ⊃ S_{0},

N_{L/K}(𝕌_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S},

c’est-à-dire que le Théorème Principal est vrai avec ce S_{0}.

Ce corollaire s’applique par exemple aux extensions galoisiennes (dans ce cas |H|=1, et c’est exactement le Corollaire III.1.6). Dans le cas particulier où d est premier, le degré |H| = [𝔏 : L] doit diviser (d − 1)!, et donc d et |H| sont toujours premiers entre eux, et l’on peut appliquer le Corollaire III.2.2. Pour les petits degrés (d ⩽ 5), les seules extensions qui ne peuvent pas être traitées par ce théorème sont celles dont le groupe de Galois est de type D_{4} (le groupe diédral d’ordre 8) ou S_{4} (le groupe complet des permutations de 4 lettres). Nous reviendrons plus tard sur ces deux cas particuliers.

Donnons un exemple qui montre qu’il est nécessaire de considérer le groupe Cl(𝔏) (et pas seulement le groupe Cl(L)). Exemple : Soit L/K = ℚ(x)/ℚ avec x^{4} − x^{3} − 27x^{2} + 3x + 149 = 0. Ce corps est de type D_{4}, et son discriminant est 62525 = 5^{2} · 41 · 61. Son groupe de classes est trivial, alors que le groupe de classes de sa clôture galoisienne 𝔏 est de type C_{4} × C_{2} engendré par deux premiers au-dessus de 11 (ou de manière équivalente 79,151,181,191…). Toutes les unités de L sont de norme +1, et donc −1 ne peut pas être la norme d’une unité. Pourtant, on a la relation :

N_{L/K}((x^{3} − 2x^{2} − 14x + 6)/11) = −1

qui prouve que −1 est une norme, et plus précisément que c’est la norme d’une 11-unité. On a aussi les relations suivantes :

N_{L/K}((28x^{3} + 5x^{2} − 341x + 63)/395) = −1

N_{L/K}((29x^{3} − 102x^{2} − 244x + 1156)/151) = −1
N_{L/K}((68x^{3} − 135x^{2} − 971x − 77)/905) = −1
N_{L/K}((20x^{3} − 32x^{2} − 177x + 510)/191) = −1

qui prouvent que −1 est la norme d’une 79-unité, d’une 151-unité, d’une 181-unité, d’une 191-unité…

III.2.2 Preuve du Théorème Principal pour les Extensions Non Galoisiennes

Dans le cas où l’extension n’est plus galoisienne, les conditions sur S_{0} sont plus nombreuses, et la preuve est assez technique et utilise de nombreuses notations. Nous nous inspirons en grande partie d’une démonstration de à H.J. Bartels (dans [Bar]).

En plus des notations précédentes, introduisons-en quelques nouvelles : Notations : Si C est un sous-groupe de G, 𝔏^{C} est le sous-corps de 𝔏 dont les éléments sont fixes par l’action de C (par exemple 𝔏^{H} = L). Le groupe ℤ[G/C] est le groupe abélien libre engendré par les éléments du quotient G/C, ℤ[G/C]^{H} est le sous-groupe de ℤ[G/C] dont les éléments sont fixes par H (pour la multiplication à gauche), et ℤ[G/C]^{0,H} est le sous-groupe de ℤ[G/C] des éléments ∑ α_{i}σ_{i}C fixes par H, et tels que ∑ α_{i} = 0.

Lemme III.2.3 Si ∑ α_{i}σ_{i}C ∈ ℤ[G/C]^{0,H}, alors l’application x ↦ x^{Σα_{i}σ_{i}} envoit 𝔏^{C} dans le noyau de la norme N_{L/K}.

Remarque : Nous noterons ^{N} L^{∗} le noyau de la norme N_{L/K}.

Preuve : Il est clair que cette application est bien définie sur 𝔏^{C}, et comme ∑ α_{i}σ_{i}C est fixe par H, l’image est nécessairement dans L^{∗}. Si {t_{1}, ⋯, t_{r}} est un système de représentants de G/H, on a N_{L/K}(x) = x^{Σt_{j}}. Dans ℤ[G/C], les égalités suivantes sont vérifiées :

|H| ∑ t_{j} ∑ α_{i}σ_{i} = ∑_{g∈G} ∑ α_{i}gσ_{i}
= (∑ α_{i})(∑ g)
= 0

et l’on a ∑ t_{j} ∑ α_{i}σ_{i}C = 0, c’est-à-dire que ∑ α_{i}σ_{i}C envoit bien 𝔏^{C} dans ^{N} L^{∗} comme cela était annoncé. ■

On peut énoncer un lemme équivalent pour les idéaux :

Lemme III.2.4 Si ∑ α_{i}σ_{i}C ∈ ℤ[G/C]^{0,H}, alors l’application I ↦ I^{Σα_{i}σ_{i}} envoit les idéaux de 𝔏^{C} sur les idéaux de L de norme 1. Preuve : La preuve est identique à celle du Lemme III.2.3. ■

Notations : Dans la proposition suivante, C parcourt tous les sous-groupes cycliques de G. Soit n_{C} le rang du ℤ-module libre ℤ[G/C]^{0,H}. Dans ce paragraphe, ClI(𝔏^{C}) est le sousgroupe du groupe de classes de 𝔏^{C} engendré par les idéaux premiers qui restent inertes (donc non ramifiés) dans l’extension 𝔏/𝔏^{C}. Par exemple on a ClI(𝔏) = Cl(𝔏). Le groupe ClI_{S}(𝔏^{C}) est l’analogue pour les S-idéaux, et ClI_{S}(𝔏^{C})^{n_{C}} est le produit direct de n_{C} copies de ClI_{S}(𝔏^{C}).

Proposition III.2.5 (Cas Non-Galoisien) Pour tout ensemble fini S contenant les premiers de K qui se ramifient dans L, il existe un sous-groupe (∏_{C} ClI_{S}(𝔏^{C})^{n_{C}})^{0} du produit ∏_{C} ClI_{S}(𝔏^{C})^{n_{C}} et une application surjective

ϕ_{0} : (∏_{C} ClI_{S}(𝔏^{C})^{n_{C}})^{0} → (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{L/K}(𝕌_{L,S})

Preuve :

Construction de ϕ_{0} : Soit {σ_{C,i}}_{1⩽i⩽n_{C}} une ℤ-base de ℤ[G/C]^{0,H}. Nous allons définir ϕ_{0} comme la composée des applications suivantes :

(I_{C,i}) ↦ ∏(I_{C,i})^{σ_{C,i}} = αℤ_{L,S} ↦ N_{L/K}(α)

Détaillons un peu ces notations : si I_{C,i} est un idéal de 𝔏^{C} (inerte dans l’extension 𝔏/𝔏^{C}), alors le Lemme III.2.4 affirme que I_{C,i}^{σ_{C,i}} est de norme 1 sur L. La première flèche est le produit portant sur toutes les paires (C, i) de tels idéaux : c’est encore un idéal de L de norme 1 sur K. Le sous-groupe (∏ ClI_{S}(𝔏^{C})^{n_{C}})^{0} sur lequel est défini ϕ_{0} est le plus grand sous-groupe dont l’image par cette flèche est S-principale dans L. On peut donc engendrer chaque image par un élément α de L.

Pour la seconde flèche, on voit que l’idéal ∏(I_{C,i})^{σ_{C,i}} est de norme 1 sur K, ce qui implique que N_{L/K}(α) est une S-unité de K, et donc que N_{L/K}(α) est dans N_{L/K}(L^{∗})∩𝕌_{K,S}. Le générateur α n’est défini qu’à une S-unité près, mais justement toutes les normes de S-unités sont triviales dans le quotient (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{L/K}(𝕌_{L,S}), de sorte que la deuxième flèche est bien définie.

Pour montrer que ϕ_{0} est bien défini, il suffit de vérifier que l’image d’un idéal I_{C,i} est triviale dès que cet idéal est S-principal dans 𝔏^{C}. Or, si I_{C,i} = βℤ_{𝔏^{C},S}, alors I_{C,i}^{σ_{C,i}} = β^{σ_{C,i}}ℤ_{L,S}, et le Lemme III.2.3 implique que N_{L/K}(β^{σ_{C,i}}) = 1.

Surjectivité de ϕ_{0} : Soit a ∈ (N_{L/K}(L^{∗})∩𝕌_{K,S}), et x tels que a = N_{L/K}(x). La construction que nous allons faire revient à factoriser l’idéal principal xℤ_{L,S} en produit d’idéaux premiers 𝔓_{k}, ces idéaux premiers pouvant être dans des corps 𝔏^{C} différents. Soit p un idéal de K et p ∉ S. Choisissons un idéal premier 𝔓 de 𝔏 au-dessus de p dans K. Soit C son groupe de décomposition. Puisque p n’est pas dans S, alors p est non ramifié, et C est cyclique. Soient 𝔓_{k} les conjugués de 𝔓, et σ_{k} un système de représentants de G/C indicés de telle manière que σ_{k}(𝔓) = 𝔓_{k}. Les idéaux 𝔓_{k} peuvent être vu à la fois comme idéaux de 𝔏, ou comme idéaux de 𝔏^{C}, ces deux interprétations étant en bijection.

L’élément

τ = ∑ v_{𝔓_{k}}(x)σ_{k},

où v_{𝔓}(x) est la valuation de x en 𝔓, est dans ℤ[G/C]. Le fait que x soit dans L implique que τ ∈ ℤ[G/C]^{H}. De plus, a est une S-unité, alors N_{L/K}(xℤ_{L,S}) = aℤ_{K,S} = 1, et donc

τ ∈ ℤ[G/C]^{0,H}.

On peut exprimer τ sur la base σ_{C,i} de ℤ[G/C]^{0,H} : τ = ∑ α_{i}σ_{i} et on construit le n_{C}-uplet (I_{C,i}) = (𝔓^{α_{i}}).

Si on construit ainsi tous les τ_{p} et (I_{C,i})_{p} pour tous les premiers p de K qui ne sont pas dans S, on peut les multiplier entre eux (seul un nombre fini de τ_{p} sont non nuls), et l’image par ϕ_{0} de ce produit est exactement a. Pour s’assurer de cela, remarquons que l’on a

\begin{aligned}v_{𝔓}(∏(I_{C,i})^{σ_{C,i}}) & = & v_{𝔓}((I_{C,i})_{p}^{τ_{p}}) \\ & = & v_{𝔓}(x) \end{aligned}

pour tout 𝔓, et donc ∏(I_{C,i})^{σ_{C,i}} = xℤ_{L,S}, de sorte que a est dans l’image de ϕ_{0}. ■ Notation : Les notations restent identiques, et maintenant D parcourt l’ensemble des sousgroupes cycliques de G d’ordre p^{α} où p | (d, |H|h), avec comme d’habitude d = [L : K], |H| = [𝔏 : L] et h = |Cl_{i,S}(𝔏/K)|.

Théorème III (Cas Non Galoisien) Pour tout ensemble fini S contenant les premiers de K ramifiés dans L, il existe un sous-groupe (∏_{D} ClI_{S}(𝔏^{D})^{n_{D}})^{0} du produit ∏_{D} ClI_{S}(𝔏^{D})^{n_{D}} et un morphisme surjectif

ϕ : (∏_{D} ClI_{S}(𝔏^{D})^{n_{D}})^{0} → (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{L/K}(𝕌_{L,S})

Preuve : La définition de ϕ est la même que la définition de ϕ_{0} dans la Proposition III.2.5, sauf que l’on se restreint à un ensemble de départ plus petit. Il suffit donc de prouver que ϕ est surjectif. Nous allons montrer que Im ϕ ⊃ Im ϕ_{0} et la conclusion viendra de la surjectivité de ϕ_{0}.

Pour chaque sous-groupe cyclique C de G, on définit deux entiers a(C) et b(C) premiers entre eux, tels que |C| = ab et tels que (p | (d, |H|h) et p | |C|) ⇔ p | b. Puisque C est cyclique, on peut trouver deux sous-groupes cycliques A et B de C, d’ordre exactement a et b, tels que C = A·B. Nous considérerons la quantité π_{a} = ∏_{C} a(C), qui est certainement première à (d, |H|h).

Soit ((Ī_{C,i})) ∈ (∏_{C} ClI_{S}(𝔏^{C})^{n_{C}})^{0}, avec I_{C,i} inerte (non ramifié) dans 𝔏/𝔏^{C}. On a ∏ I_{C,i}^{σ_{C,i}} = xℤ_{L,S}. Considérons maintenant l’idéal principal x^{π_{a}}ℤ_{L,S}. Il se factorise sous la forme

x^{π_{a}}ℤ_{L,S} = ∏(I_{C,i})^{π_{a}σ_{C,i}}

Puisque I_{C,i} est fixe par C, il est aussi fixé par B ⊂ C. On obtient alors

I_{C,i}^{π_{a}σ_{C,i}} = I_{C,i}^{τ_{C,i}}

avec τ_{C,i} = \frac{π_{a}}{a} · σ_{C,i} · ∑_{α∈A} α et τ_{C,i} ∈ ℤ[G/B]^{0,H}. Une fois de plus, la factorisation en puissances d’idéaux premiers b = p_{1}^{ε_{1}} ⋯ p_{k}^{ε_{k}} implique que B = D_{1} ⋯ D_{k} avec |D_{l}| = p_{l}^{ε_{l}}. Notons D′_{l} le produit ∏_{i≠l} D_{i} et δ′_{l} = |B|/p_{l}^{ε_{l}} son ordre. Comme les p_{l} sont premiers entre eux, les δ′_{l} sont aussi premiers entre eux, et l’on peut trouver des entiers γ_{l} tels que ∑ γ_{l}δ′_{l} = 1. On écrit alors

I_{C,i}^{τ_{C,i}} = I_{C,i}^{∑ γ_{l}δ′_{l}τ_{C,i}}

= ∏_{l}(I_{C,i}^{γ_{l}})^{τ_{C,i} ∑_{d′∈D′_{l}} d′}

On peut remarquer que I_{C,i}^{γ_{l}} est fixe par D_{l} ⊂ B ⊂ C et que τ_{C,i} ∑_{d′∈D′_{l}} d′ ∈ ℤ[G/D_{l}]^{0,H}. En l’écrivant sur la base σ_{D_{l},j} de ℤ[G/D_{l}]^{0,H} sous la forme τ_{C,i} = ∑ α_{D_{l},j}σ_{D_{l},j}, on construit l’idéal J_{D_{l},j} = I_{C,i}^{α_{D_{l},j}}. En multipliant tous les J_{D_{l},j} composante par composante, on obtient un élément (J) de (∏_{D} ClI_{S}(𝔏^{D})^{n_{D}})^{0} dont l’image par ϕ est

ϕ((J)) = ϕ_{0}((I^{π_{a}})) = N_{L/K}(x^{π_{a}}).

On peut conclure en se rappelant que π_{a} est premier à (d, |H|h), donc qu’il existe un entier π′ tel que π_{a}π′ = 1 mod (d, |H|h), et la Proposition III.2.1 affirme que

ϕ((J^{π′})) = ϕ_{0}((I^{π_{a}π′})) = ϕ_{0}((I)).

Ceci prouve que Im ϕ ⊃ Im ϕ_{0}, et comme ϕ_{0} est surjective, ϕ est également surjective. ■

Remarque : Comme il est probablement plus habituel de considérer les groupes Cl_{S}(𝔏^{D}) plutôt que les groupes ClI_{S}(𝔏^{D}), il faut étendre le morphisme ϕ à (∏ Cl_{S}(𝔏^{D})^{n_{D}})^{0}, ce qui se fait de manière naturelle. Comme dans le cas galoisien, il est facile de montrer qu’un idéal fixe par G a une image triviale par ϕ, c’est-à-dire i(Cl_{S}(K)) ⊂ Cl_{S}(I(𝔏^{D})^{G}) ⊂ Ker(ϕ). On peut en déduire immédiatement le corollaire suivant :

Corollaire III.2.6 Pour tout ensemble fini S contenant les premiers de K ramifiés dans L, il existe un sous-groupe (∏ Cl_{i,S}(𝔏^{D}/K)^{n_{D}})^{0} du produit ∏ Cl_{i,S}(𝔏^{D}/K)^{n_{D}} et un morphisme surjectif

ϕ : (∏_{D} Cl_{i,S}(𝔏^{D}/K)^{n_{D}})^{0} → (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{L/K}(𝕌_{L,S}).

Corollaire III.2.7 Soit S_{0} un ensemble fini d’idéaux premiers de K contenant les premiers ramifiés de L/K. Si h = |Cl_{i,S_{0}}(𝔏/K)| est premier à d, et si pour tout sous-groupe cyclique D de G = Gal(L/K) d’ordre p^{α} avec p | (d, |H|) le groupe de classes Cl_{i,S_{0}}(𝔏^{D}/K) est d’ordre premier à (d, |H|), alors pour tout S ⊃ S_{0}

N_{L/K}(𝕌_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S},

c’est-à-dire que le Théorème Principal est vrai avec ce S_{0}.

Pour rendre le Théorème III plus précis, il est nécessaire de connaitre la structure de tous les groupes ℤ[G/C]^{0,H} (par exemple leur rang comme ℤ-modules). Dans [Bar], Bartels prouve quelques résultats dans cette direction. Nous ne gardons ici qu’un seul critère, qui permet de montrer que le morphisme ϕ est trivial sur certains groupes de classes.

Proposition III.2.8 Soit S un ensemble fini d’idéaux premiers de K contenant les premiers ramifiés de L/K, et tel que h = |Cl_{i,S}(𝔏/K)| soit premier à (d, |H|). Si C est un sous-groupe cyclique de G tel que H ∩ σCσ^{−1} = 1 pour tout σ ∈ G, alors ϕ est trivial sur ClI_{S}(𝔏^{C}).

Preuve : Soit {g_{i}} un système de représentants de G/C. Si deux éléments h ∈ H et c ∈ C sont tels que hg_{i} = g_{i}c pour un certain g_{i}, alors h = g_{i}cg_{i}^{−1}, mais l’hypothèse implique que h = c = 1. Ceci signifie que l’on peut choisir {g_{i}} et F tels que {g_{i}} soit égal à H · F, et ceci implique en particulier que

|F | = \frac{|G|}{|C||H|},

donc que le produit |C||H| divise |G|.

Soit τ ∈ ℤ[G/C]^{0,H} = ∑ α_{i}g_{i} = ∑ α_{i,j}h_{i}f_{j}. Comme τ est invariant par multiplication à gauche par H, α_{i,j} ne dépend que de j, et l’on a :

τ = (∑_{H} h) (∑ α_{j}f_{j}) .

De plus, on a ∑ α_{i,j} = 0 = |H| ∑ α_{j}, d’où

τ = (∑_{H} h) (∑ α_{j}(f_{j} − 1)) .

Soit maintenant I un idéal premier de 𝔏^{C} inerte dans 𝔏/𝔏^{C} et non ramifié dans 𝔏/K (comme précédemment I peut être vu aussi bien comme un idéal de 𝔏 que comme un idéal de 𝔏^{C}). L’idéal I^{h} est S-pseudo-principal dans 𝔏, donc on peut trouver x ∈ 𝔏 et un idéal I_{K} de K tels que I^{h} = xI_{K}ℤ_{𝔏,S}. Comme I_{K}^{τ} = 1 on a

I^{hτ} = N_{𝔏/L}((xℤ_{𝔏,S})^{∑ α_{j}(f_{j}−1)}) = N_{𝔏/L}(x^{∑ α_{j}(f_{j}−1)})ℤ_{L,S},

et

ϕ(I^{h}) = N_{L/K}(N_{𝔏/L}(x^{∑ α_{j}(f_{j}−1)})) = 1.

Mais ϕ(I^{h}) = ϕ(I)^{h}, et h est premier à (d, |H|), donc a ↦ a^{h} est un automorphisme de (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S})/N_{L/K}(𝕌_{L,S}), et donc ϕ(I) = 1. ■

Donnons immédiatement deux corollaires de cette proposition.

Corollaire III.2.9 (Extensions type D_{4}) Soit L/K une extension de degré 4 de type D_{4}. Si S_{0} contient tous les premiers ramifiés de L/K et si S_{0} est tel que Cl_{i,S_{0}}(𝔏/K) et Cl_{i,S_{0}}(L/K) sont d’ordre impair, alors pour tout S ⊃ S_{0}

N_{L/K}(𝕌_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}

c’est-à-dire que le Théorème Principal est vrai avec ce S_{0}.

Preuve : Dans le cas présent, le groupe G = Gal(𝔏/K) est isomorphe au groupe D_{4}. On peut écrire D_{4} = {1, σ, σ^{2}, σ^{3}, τ, τσ, τσ^{2}, τσ^{3}} avec la relation τστ^{−1} = σ^{3}. Le groupe H = Gal(𝔏/L) peut être choisi égal à {1, τ}. À conjugaison près, tous les sous-groupes cycliques de G sont H = {1, τ}, C_{1} = {1, τσ^{2}}, C_{2} = {1, σ^{2}} et C_{4} = {1, σ, σ^{2}, σ^{3}}. Dans cette liste, seul H a une intersection non triviale avec H (ou son conjugué). Le résultat suit directement grâce au Corollaire III.2.6 et à la Proposition III.2.8. ■

Corollaire III.2.10 (Extensions de type S_{4}) Soit L/K une extension de degré 4 de type S_{4}. Soit 𝔏^{C_{2}} le sous-corps cyclique de 𝔏 d’indice 2 et contenant L. Si S_{0} contient tous les premiers ramifiés de L/K et si S_{0} est tel que Cl_{i,S_{0}}(𝔏/K) et Cl_{i,S_{0}}(𝔏^{C_{2}}/K) sont d’ordre impair, alors pour tout S ⊃ S_{0}

N_{L/K}(𝕌_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}

c’est-à-dire que le Théorème Principal est vrai avec ce S_{0}.

Preuve : Commençons par faire une remarque sur la définition de 𝔏^{C_{2}}. Il n’existe pas qu’un seul sous-corps d’indice 2 de 𝔏 contenant L, mais en fait trois. En effet, 𝔏/L est une extension galoisienne d’ordre 6, de type S_{3}, et S_{3} contient trois sous-groupes d’ordre 2. Mais ces trois sous-groupes sont conjugués, et donc les trois corps correspondants sont isomorphes. Cet isomorphisme nous permet donc de faire cet abus de notation. En particulier, leurs trois groupes de classes sont engendrés par les mêmes idéaux.

Le groupe G est le groupe des permutations de quatre lettres a, b, c et d. Le groupe H = Gal(𝔏/L) est isomorphe au groupe S_{3}, et on peut décider de le représenter par les permutations des trois lettres a, b et c. Les 2-sous-groupes de S_{4} sont d’ordre 1,2 ou 4. Examinons successivement ces différentes possibilités.

Si C est un sous-groupe cyclique d’ordre 2, alors il est conjugué soit à C_{1} = {1, (ab)(cd)} soit à C_{2} = {1, (ab)}. Si C est conjugué à C_{2}, alors le sous-corps de 𝔏 correspondant est 𝔏^{C_{2}}, et l’hypothèse faite sur S_{0} rend ϕ trivial sur le groupe de classes correspondant. Si C est conjugué à C_{1}, alors il ne peut pas intersecter H, car deux permutations de type (ab) et (ab)(cd) ne sont jamais conjuguées. La Proposition III.2.8 montre alors que ϕ est trivial sur le groupe de classes de 𝔏^{C}.

Si C est un sous-groupe cyclique d’ordre 4, alors C est conjugué à C_{4} = {1, (acbd), (ab)(cd), (adbc)}. Or, tous les conjugués de C rencontrent H trivialement. Comme dans le cas précédent, la Proposition III.2.8 montre que ϕ est trivial sur le groupe de classes de 𝔏^{C}.

On a donc montré que le morphisme surjectif du Corollaire III.2.6 est trivial, ce qui implique que

N_{L/K}(𝕌_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}.

■

Donnons maintenant un exemple qui montre la nécessité de la condition sur les premiers ramifiés : Exemple : Soit L/K = ℚ(x)/ℚ avec x^{4} − x^{3} − 8x^{2} + 9x + 3 = 0. Ce corps de discriminant 25857 = 3^{2} · 13^{2} · 17 est de type D_{4} (groupe diédral d’ordre 8), et son groupe de classes est trivial. Sa clôture galoisienne a également un groupe de classes trivial. Les unités fondamentales sont de norme +1. Si l’on oublie la condition sur les premiers ramifiés dans le Corollaire III.2.9, ceci devrait impliquer que l’équation N_{L/K}(x) = −1 n’a pas de solution. Toutefois, on trouve que

N_{L/K}((x^{3} + 2x^{2} − 8x + 3)/6) = −1.

Cette solution se factorise sous la forme 𝔭_{1}𝔭_{2}^{−1} avec 𝔭_{1}^{2}𝔭_{2}^{2} = 3, et donc c’est une 3-unité. Le nombre premier 3 est ramifié puisqu’il divise le discriminant du corps L.

On remarque dans cet exemple qu’il ne suffit pas de considérer le discriminant de 𝔏/L (c’est-à-dire les premiers qui se ramifient dans l’extension relative 𝔏/L), mais réellement le discriminant de L/K ou de manière équivalente le discriminant de 𝔏/K (c’est-à-dire les premiers qui se ramifient dans l’extension L/K). En effet, seuls les premiers au-dessus de 17 se ramifient dans l’extension 𝔏/L, alors que 3,13 et 17 se ramifient dans L/K.

III.2.3 Cas Particulier des Extensions de ℚ

Dans le Théorème Principal, et dans la plupart des autres propositions, nous affirmons l’existence d’un certain ensemble S_{0} tel que les groupes N_{L/K}(𝕌_{L,S_{0}}) et N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S_{0}} sont égaux, et tel que cette égalité reste vraie pour tous les S contenant S_{0}. Il existe des cas où l’égalité est vraie pour un certain S_{0} mais pas pour un S contenant ce S_{0}. Nous donnons ici une condition suffisante pour que l’égalité reste vraie, et nous donnons un exemple où ceci est faux.

Cette condition nous permettra de considérer les cas particuliers des extensions de ℚ de degrés impairs, ou encore de degrés pairs totalement complexes, car dans ces deux cas les unités qui sont des normes sont particulièrement simples à décrire.

Proposition III.2.11 Si Cl_{S_{0}}(L) est d’ordre h premier à d = [L : K] et si N_{L/K}(𝕌_{L,S_{0}}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S_{0}} alors pour tout S ⊃ S_{0}

N_{L/K}(𝕌_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}.

Preuve : Soit S ⊃ S_{0} satisfaisant les conditions de la proposition, et a ∈ N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}. Choisissons un élément x de L^{∗} tel que a = N_{L/K}(x), où x n’est pas nécessairement une S-unité. Factorisons l’idéal principal xℤ_{L} dans L :

xℤ_{L} = ( ∏_{𝔭_{i}∈S} 𝔭_{i}^{α_{i}}) ( ∏_{𝔭_{i}∉S} 𝔭_{i}^{α_{i}} ) = I_{S} · IŜ

La définition de h rend les idéaux (I_{S})^{h} et (IŜ)^{h} S_{0}-principaux. On a alors (I_{S})^{h} = x_{S}ℤ_{L,S_{0}} où x_{S} est une S-unité, et (IŜ)^{h} = xŜℤ_{L,S_{0}}, tels que

x^{h} = x_{S} · xŜ.

Mais on a aussi N_{L/K}((I_{S})^{h}) = a^{h}ℤ_{K,S_{0}} et N_{L/K}((IŜ)^{h}) = 1, donc v = N_{L/K}(xŜ) est une S_{0}-unité. Cet élément v est à la fois une norme et une S_{0}-unité, et l’hypothèse sur S_{0} force v à être la norme d’une S_{0}-unité, disons v = N_{L/K}(y). On a les relations suivantes :

a^{h} = N_{L/K}(x^{h}) = N_{L/K}(x_{S} · xŜ) = N_{L/K}(x_{S} · y),

qui prouvent que a^{h} est la norme d’une S-unité. Enfin, on a aussi la relation

a^{d} = N_{L/K}(a),

et comme h et d sont premiers entre eux, on conclut que a est la norme d’une S-unité. ■

Corollaire III.2.12 Soit L/ℚ une extension de degré impair d. Si l’ordre h de Cl(L) est premier à d, alors pout tout S

N_{L/K}(𝕌_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}.

Preuve : Dans ce cas particulier, on prend S_{0} = ∅ et 𝕌_{ℚ} = {±1} = N_{L/ℚ}(𝕌_{L}) car N_{L/ℚ}(−1) = −1. On peut appliquer la Proposition III.2.11 avec S_{0} = ∅ ⊂ S. ■

Corollaire III.2.13 Soit L/ℚ une extension totalement complexe de degré pair d. Si Cl(L) est d’ordre h premier à d, alors pour tout S

N_{L/K}(𝕌_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}.

Preuve : Dans ce cas particulier, −1 ne peut pas être une norme car toutes les normes doivent être positives. Ainsi, on a N_{L/ℚ}(𝕌_{L}) = N_{L/ℚ}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{ℚ} = {1}. On peut alors appliquer la Proposition III.2.11 avec S_{0} = ∅ ⊂ S. ■

Donnons maintenant un exemple pour lequel l’égalité est vraie pour S_{0} = ∅, mais ne l’est plus pour un certain S plus grand : Exemple : Soit L/K = ℚ(x)/ℚ, avec x^{3} − x^{2} − 41x + 93 = 0. Cette extension totalement réelle de degré 3 est de discriminant 28212 = 2^{2} · 3 · 2351 et son groupe de Galois est S_{3} (donc ce n’est pas une extension galoisienne). Pour être précis, il y a trois corps de nombres ayant ces propriétés, et curieusement le même phénomène arrive dans les deux autres corps cubiques de discriminant 28212, avec toutefois des valeurs numériques différentes. Il est clair que N_{L/ℚ}(𝕌_{L}) = 𝕌_{ℚ}. Considérons maintenant S = {3}. On a

N_{L/ℚ}((−3x^{2} + 7x + 31)/31) = 3.

Ceci prouve que 3 est une norme. Remarquons qu’il y a 31 au dénominateur, et que notre solution n’est pas une 3-unité. Montrons qu’il n’y a pas de 3-unité de norme 3. Supposons au contraire que 3 est la norme d’une 3-unité s. On a 3ℤ_{L} = 𝔭_{1}^{2}𝔭_{2} avec N_{L/ℚ}(𝔭_{1}) = 3ℤ et N_{L/ℚ}(𝔭_{2}) = 3ℤ, on peut donc écrire

sℤ_{L} = 𝔭_{1}^{v_{1}}𝔭_{2}^{v_{2}}

avec v_{1} + v_{2} = 1. Mais le groupe de classes de L est cyclique d’ordre 3 engendré par 𝔭_{1}, et la principalité de l’idéal sℤ_{L} implique la relation v_{1} + v_{2} ≡ 0 mod 3. Ces deux relations ne peuvent pas être satisfaites en même temps, ce qui prouve que 3 ne peut pas être la norme d’une 3-unité.

III.2.4 Existence de Solutions Entières

Dans ce paragraphe, nous voulons trouver des solutions entières x lorsque le paramètre a est lui-même un entier algébrique. Nous allons chercher à généraliser le Théorème I pour les entiers et les S-entiers. Remarque : Si l’on veut que les entiers qui sont des normes soient des normes d’entiers, il faut que cela soit déjà vrai pour les unités. Pour cela, il est nécessaire de supposer que l’on a déjà l’égalité des groupes N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S} et N_{L/K}(𝕌_{L,S}). Celle-ci peut être obtenue par exemple grâce aux Corollaires III.2.2 ou III.2.7.

Il est également nécessaire que les idéaux entiers qui sont des normes soient des normes d’idéaux entiers. Cette dernière condition est plus faible que celle pour les nombres entiers algébriques, et fait l’objet du lemme suivant :

Lemme III.2.14 Soit L/K une extension (non nécessairement galoisienne) de degré 3,4 ou 6, I_{K} un idéal de K et I_{K} = ∏ 𝔭^{α_{𝔭}} sa décomposition en idéaux premiers dans K. Supposons que I_{K} est la norme d’un idéal I_{L} de L, alors pour tout idéal premier 𝔭 de K il existe un idéal premier 𝔓 de L au-dessus de 𝔭 dont l’indice résiduel f_{𝔓/𝔭} divise α_{𝔭}.

Preuve : Soit I_{L} = ∏ 𝔓^{β_{𝔓}} la factorisation en idéaux premiers de I_{L}. On a

∑_{𝔓|𝔭}f_{𝔓/𝔭}β_{𝔓} = α_{𝔭},

donc α_{𝔭} est un multiple du pgcd des f_{𝔓/𝔭}. Mais si l’on écrit la relation [L : K] = ∑_{𝔓|𝔭} e_{𝔓/𝔭}f_{𝔓/𝔭}, celle-ci doit être l’une des partitions suivantes :

3 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2 = 3,
4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 2 = 1 + 3 = 2 + 2 = 4,

6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 2 + 2

6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 = 6.

Dans chacun des cas, le pgcd des termes est toujours égal à l’un des termes, ce qui implique qu’au moins l’un des f_{𝔓/𝔭} divise α_{𝔭}. ■

Théorème IV Soit L/K une extension (non nécessairement galoisienne) de degré 3,4 ou 6 et S_{0} satisfaisant N_{L/K}(𝕌_{L,S_{0}}) = N_{L/K}(L^{∗})∩𝕌_{K,S_{0}} . Si S_{0} engendre aussi le groupe Cl(L), alors pour tout S ⊃ S_{0}

N_{L/K}(ℤ_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ ℤ_{K,S}.

Preuve : Remarquons d’abord que la Proposition III.2.11 implique que

N_{L/K}(𝕌_{L,S}) = N_{L/K}(L^{∗}) ∩ 𝕌_{K,S}.

L’inclusion directe N_{L/K}(ℤ_{L,S}) ⊂ (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ ℤ_{K,S}) est triviale. Montrons l’inclusion réciproque. Soit a ∈ (N_{L/K}(L^{∗}) ∩ ℤ_{K,S}), et a = N_{L/K}(x). Factorisons l’idéal principal aℤ_{L,S} dans L :

aℤ_{L,S} = ∏ 𝔭^{α_{𝔭}}

Le Lemme III.2.14 nous permet de constuire un idéal entier

I_{L} = ∏ 𝔓^{α_{𝔭}/f_{𝔓/𝔭}}

de norme aℤ_{K,S}. Mais le groupe de classes Cl_{S}(L) est trivial, donc l’idéal I_{L} doit être Sprincipal, et on peut trouver un S-entier z de L qui engendre I_{L}. Ainsi, il existe une S-unité u de K telle que

N_{L/K}(z) = a · u.

On a aussi la relation a = N_{L/K}(x), qui montre que u est une norme. Comme on l’a remarqué au début de cette preuve, une S-unité qui est une norme est une norme de S-unité, on peut donc écrire u = N_{L/K}(w). Finalement on a

N_{L/K}(z · w^{−1}) = a

où z · w^{−1} est un S-entier. ■ Remarque : Quand le degré est différent de 3, 4 ou 6, alors le Lemme III.2.14 ne s’applique plus. En degré 5, on peut regarder l’exemple suivant : Exemple : Soit L/K = ℚ(x)/ℚ avec x^{5} + 3x − 2 = 0. L’entier 7 est une norme puisque

N_{L/K}((90x^{4} + 8x^{3} + 34x^{2} + 24x + 281)/7) = 7.

Le premier 7 se décompose en deux idéaux premiers 𝔓_{1} et 𝔓_{2} d’indices résiduels 3 et 2. Si 7 était la norme d’un entier z, alors z aurait des valuations v_{1} et v_{2} en 𝔓_{1} et 𝔓_{2}, avec la relation impliquée par la norme 3v_{1} + 2v_{2} = 1, qui impose que v_{1} ou v_{2} est négatif, et donc que z ne peut pas être entier.

On peut remarquer qu’il existe une infinité de premiers qui possèdent cette même propriété, et donc qu’il n’existe aucun ensemble fini S satisfaisant le Théorème IV dans ce cas.

Il existe un grand nombre d’extensions de degrés différents de 3, 4 ou 6 qui satisfont le Lemme III.2.14. C’est certainement le cas pour toutes les extensions galoisiennes, mais aussi pour les extensions de type D_{p} (groupe diédral d’ordre 2p avec p premier). Il serait intéressant de donner une caractérisation de ces extensions, peut-être en fonction des valeurs relatives de d = [L : K] et |H| = [𝔏 : L].

III.3 Équations aux Normes : l’Algorithme

L’algorithme que nous décrivons maintenant a été implanté sur le système de théorie des nombres PARI, qui est développé à Bordeaux. Ce système contient déjà un grand nombre d’algorithmes que nous utilisons. Par exemple, nous supposons que les corps K et L sont complètement connus, c’est-à-dire que nous avons leurs discriminants, bases d’entiers, groupes de classes, unités fondamentales et les logarithmes discrets correspondants (pour une description de ces algorithmes voir [Coh]).

Les paragraphes précédents donnent des conditions sur S qui assurent que toutes les S-unités qui sont des normes sont des normes de S-unités. La stratégie générale de notre algorithme pour trouver une solution à l’équation N_{L/K}(x) = a est de dire que a est une S-unité pour un ensemble S bien choisi, puis de chercher une S-unité dont c’est la norme. Le reste de l’algorithme consiste à utiliser le logarithme discret sur les S-unités, et à faire un peu d’algèbre linéaire sur ℤ.

L’algorithme peut se décrire brièvement de la manière suivante :

Algorithme III.3.1 (Recherche d’une solution à l’équation N_{L/K}(x) = a dans L) . Données : K, L et a ∈ K^{∗}. 1– Déterminer l’ensemble S avec l’Algorithme III.3.4. 2– Trouver une S-unité x telle que N_{L/K}(x) = a avec l’Algorithme III.3.5. Résultat : Si l’étape 2 trouve un x alors c’est une solution, sinon l’équation n’a pas de

solution du tout dans L.

Dans les paragraphes suivants, nous décrivons cela plus en détail. Remarquons que si l’on veut une solution entière (ou S-entière pour S fixé), alors on peut utiliser directement l’algorithme III.3.6.

III.3.1 Déterminer les Ensembles S_{0} et S

Si l’on veut trouver une solution entière à l’équation N_{L/K}(x) = a lorsque a est un entier de K, alors tous les idéaux premiers qui divisent une solution x divisent aussi a, et donc dans ce cas, on construit simplement S comme l’ensemble des idéaux premiers qui divisent a, c’est-à-dire que l’on prend S_{0} = ∅.

Si l’on veut une solution rationnelle, il faut ajouter à l’ensemble des idéaux premiers qui divisent a un ensemble S_{0} d’idéaux premiers exceptionnels satisfaisant le Théorème Principal. On prend alors S = S_{0} ∪ {𝔭 | a}. Le choix de S_{0} se fait de la manière suivante :

– si L/K est galoisienne, alors le Corollaire III.1.6 montre qu’il est suffisant de prendre des idéaux premiers qui engendrent la [L : K]-partie du groupe de classes relatif Cl_{i}(L/K) de sorte que Cl_{i,S_{0}}(L/K) = Cl_{i}(L/K)/ ⟨S_{0}⟩ soit d’ordre premier au degré [L : K].

– si l’extension n’est pas galoisienne, alors le Corollaire III.2.7 montre qu’il est suffisant de prendre les premiers ramifiés, et les idéaux premiers qui engendrent la [L : K]-partie des groupes de classes relatifs Cl_{i}(𝔏^{D}/K) de sorte que les groupes Cl_{i,S_{0}}(𝔏^{D}/K) soient d’ordre premier au degré [L : K], où l’on rappelle que 𝔏 est la clôture galoisienne de L/K et que les 𝔏^{D} sont les sous-corps de 𝔏 tels que 𝔏/𝔏^{D} soit cyclique de degré p^{α} avec p | [L : K]. En particulier, le groupe de classes Cl_{i,S_{0}}(𝔏/K) lui-même doit être d’ordre premier à [L : K]. Si l’on ne dispose pas explicitement des générateurs de ces groupes de classes, ceci peut se faire par exemple en prenant tout les premiers dont la norme est inférieure à la borne de Minkowski pour le corps L/K (ou à une borne inférieure si l’on suppose que l’Hypothèse de Riemann Généralisée est vraie). Si l’on fait cela, on est certain d’annuler tous les groupes de classes Cl_{i,S_{0}}(𝔏^{D}/K), mais alors S_{0} est certainement trop grand. Il est préférable de n’utiliser que le Corollaire III.2.7, qui ne requiert que d’engendrer les [L : K]-parties des différents groupes de classes.

Remarquons que l’ensemble S_{0} ne dépend que de l’extension relative L/K, et absolument pas de la valeur de a dans l’équation N_{L/K}(x) = a. Lorsque l’on doit résoudre plusieurs équations aux normes pour la même extension, il suffit de calculer une seule fois S_{0}. Pour cette raison il est préférable d’écrire deux algorithmes différents :

Algorithme III.3.2 (Détermination de l’ensemble S_{0} pour une extension galoisienne L/K) .

1– Calculer le groupe de classes relatif Cl_{i}(L/K) en utilisant le paragraphe I.2.3, et noter 𝔤_{i} les générateurs de la [L : K]-partie de ce groupe.

2– Prendre tous les facteurs premiers des idéaux N_{L/K}(𝔤_{i}).

Algorithme III.3.3 (Détermination de l’ensemble S_{0} pour une extension non galoisienne L/K) .

1– Déterminer G = Gal(𝔏/K) et tous les sous-groupes cycliques D de G d’ordre p^{α} avec p | [L : K].

2– Calculer les groupes de classes relatifs Cl_{i}(𝔏^{D}/K), et noter 𝔤_{i} les générateurs des [L : K]-parties de ces groupes.

3– Prendre tous les facteurs premiers 𝔭_{j} des idéaux N_{𝔏^{D}/K}(𝔤_{i}).

Algorithme III.3.4 (Détermination de l’ensemble S pour l’équation N_{L/K}(x) = a) . 1– Déterminer l’ensemble S_{0} avec l’Algorithme III.3.2 ou III.3.3. 2– Factoriser a en idéaux premiers 𝔭_{i} de K, et poser S = S_{0} ∪ {𝔭_{i}}.

Remarque : Dans les Algorithmes III.3.2 et III.3.3, les étapes 2 et 3 peuvent être remplacées par une seule étape si l’on est capable de trouver des générateurs premiers, ce qui est toujours possible en théorie.

III.3.2 Recherche de Solutions en S-unités

Dans ce paragraphe, nous donnons un algorithme qui résout l’équation aux normes

N_{L/K}(x) = a

lorsque a est une S-unité, et que l’on cherche une solution x qui est aussi une S-unité. Dès que l’on a écrit x et a comme un produit de S-unités, le problème se réduit à un système linéaire. L’algorithme est le suivant :

Algorithme III.3.5 (Recherche d’une solution de N_{L/K}(x) = a dans 𝕌_{L,S}) .

Données : L, K, S et a ∈ 𝕌_{L,S}.

1– À l’aide de l’Algorithme I.1.2, déterminer un système fondamental {s_{0}, …, s_{n}} de S-unités de K, et {σ_{0}, …, σ_{m}} de L, où s_{0} et σ_{0} sont les unités de torsion d’ordre w_{K} et w_{L}, avec w_{K} | w_{L}.

2– À l’aide de l’Algorithme I.1.4 calcluer α_{i} et β_{i,j} tels que

a = ∏ s_{i}^{α_{i}} et N_{L/K}(σ_{j}) = ∏ s_{i}^{β_{i,j}}.

3– Résoudre le système linéaire :

pour tout i > 0 ∑_{j>0} β_{i,j}x_{j} = α_{i}

∑_{j⩾0}β_{0,j}x_{j} ≡ α_{0} mod w_{K}.

Résultat : L’équation N_{L/K}(x) = a admet une solution avec x S-unité si et seulement si le système linéaire de l’étape 3 a une solution (x_{j}) dans ℤ. Une solution est alors donnée par

N_{L/K}(∏ σ_{j}^{x_{j}}) = a.

Remarques : – À l’étape 2, α_{0} n’est défini que modulo w_{K}. Puisque la norme d’une unité de torsion est encore une unité de torsion, on a β_{i,0} = 0 pour tout i > 0.

– À l’étape 3, le système linéaire de congruences β_{1}x_{1} + … + β_{n}x_{n} ≡ α_{0} mod w avec n variables est équivalent au système linéaire sur ℤ avec n+1 variables β_{1}x_{1}+…+β_{n}x_{n}+wx_{0} = 0.

III.3.3 Recherche de Solutions Entières ou S-Entières

Supposons maintenant que nous voulons résoudre N_{L/K}(x) = a où a est un S-entier, et que nous voulions une solution également S-entière. L’algorithme utilise le fait que les facteurs premiers de x sont au-dessus des facteurs premiers de a, exceptés peut-être quelques idéaux premiers de S.

Si l’on écrit x et a comme produit d’idéaux premiers, l’équation N_{L/K}(xℤ_{L,S}) = aℤ_{K,S} se réduit à un système linéaire (étape 2). Le fait que xℤ_{L,S} soit un idéal principal nous donne des conditions linéaires supplémentaires qui doivent être satisfaites simultanément avec le premier système (étape 2). Comme nous cherchons une solution entière x, cela implique que les solutions du système linéaire (qui correspondent aux valuations sur les idéaux premiers) soient positives ou nulles. Le nombre de telles solutions est alors fini (étape 3).

Pour chaque solution du système, on déduit une égalité de la forme :

N_{L/K}(b) = a · u,

où u est une S-unité, et b un S-entier. Il ne reste plus alors qu’à écrire la S-unité u comme la norme d’une S-unité pour obtenir une solution à notre problème (étape 4).

L’algorithme est donc le suivant :

Algorithme III.3.6 (Recherche d’une solution de N_{L/K}(x) = a dans ℤ_{L,S}) . Données : K, L, S et a ∈ ℤ_{L,S}. 1– (Factorisation) . Déterminer les idéaux premiers 𝔭_{i} (qui ne sont pas dans S) et les entiers α_{i} tels que

aℤ_{K,S} = ∏ 𝔭_{i}^{α_{i}}. Déterminer également les idéaux premiers 𝔓_{i,j} de L et les entiers e_{i,j} et f_{i,j} tels que

𝔭_{i} = ∏ 𝔓_{i,j}^{e_{i,j}} et N_{L/K}(𝔓_{i,j}) = 𝔭_{i}^{f_{i,j}}.

2– (Calcul des m_{i,j,k}) .

À l’aide de l’Algorithme I.1.2, calculer un système de générateurs {𝔤_{k}} du groupe de classes Cl_{S}(L), et d_{k} leurs ordres dans ce groupe. En utilisant l’Algorithme I.1.5, calculer les composantes m_{i,j,k} des classes des idéaux 𝔓_{i,j} sur les générateurs 𝔤_{k}.

3– (Résolution d’un système linéaire) .

Trouver tous les n-uplets d’entiers (β_{i,j}) satisfaisant simultanément les conditions :

\begin{cases}∀i & ∑_{j} f_{i,j}β_{i,j} = α_{i} \\ ∀k & ∑_{i,j} m_{i,j,k}β_{i,j} ≡ 0 mod d_{k} \\ ∀i & 0 ⩽ β_{i,j} ⩽ α_{i} \end{cases}

4– (Élimination de l’unité restante ) .

Pour chaque solution (β_{i,j}) du système trouver un S-entier b de L tel que bℤ_{L,S} = ∏ 𝔓_{i,j}^{β_{i,j}}, et noter u la S-unité définie par u = N_{L/K}(b)/a. À l’aide de l’Algorithme III.3.4, trouver une S-unité v telle que u = N_{L/K}(v).

Résultat : Si l’étape 3 ou l’étape 4 n’a pas de solution, alors l’équation n’est pas soluble en S-entiers. Sinon, le S-entier bv^{−1} est une solution.

Remarque : Il est facile d’adapter cet algorithme pour obtenir toutes les solutions (à Sunité près). De même, si l’on n’est intéressé que par l’équation N_{L/K}(x) = a · u, alors il est également possible d’adapter cet algorithme.

78  Équations aux Normes

Chapitre IV

Discriminants Minimaux

Dans les chapitres précédents, nous avons fait de nombreux calculs dans des corps de nombres. Or, de tels calculs sont toujours limités par la taille de ces corps de nombres, et plus précisément par les polyômes irréductibles choisis pour les définir. Cette taille se mesure à l’aide de plusieurs grandeurs. Ne retenons que deux d’entre elles : le degré du polynôme et son discriminant. On pourrait aussi regarder d’autres grandeurs comme par exemple le groupe de Galois, ou la norme T_{2} associée aux racines du polynôme, mais nous ne les évoquerons même pas. Nous essayons dans ce chapitre de déterminer les plus petites valeurs possibles des discriminants des polynômes pour les différentes signatures. Jusqu’au degré 9, de nombreux résultats sont connus, ou au moins conjecturés. Au delà de ce degré, on ne sait pas grand chose, et l’on ne dispose pratiquement pas d’exemples. Les méthodes proposées ici permettent de construire des petits discriminants pour les degrés supérieurs à 9, dont une grande partie améliorent les bornes précédemment connues. En particulier, les discriminants obtenus jusqu’au degré 14 sont tout à fait proches des bornes inférieures proposées par Odlyzko pour les discriminants de corps de nombres.

Dès lors que l’on s’intéresse aux discriminants de polynômes et non plus de corps de nombres (le lien est étroit entre les deux), il est naturel de se poser les mêmes questions pour les polynômes non nécessairement irréductibles. Ce domaine semble généralement peu étudié, et nous avons dû démontrer (probablement pour la première fois) tous les discriminants minimaux pour les degrés allant jusqu’à 7. Comme nous le verrons, cette étude nécessite l’examen attentif du comportement des résultants de certaines familles de polynômes.

Qu’est-ce qu’un Discriminant ?

Le discriminant d’un polynôme a d’abord été introduit pour détecter les polynômes qui ont des racines multiples. À un facteur de normalisation près, le discriminant est égal au produit des carrés des différences des racines du polynôme :

disc(P) = l(P)^{2d−2} ∏_{1⩽i<j⩽d}(α_{i} − α_{j})^{2}

où d est le degré de P, où les α_{i} sont les racines de P, et l(P) est le coefficient dominant de P. Ainsi, un polynôme P a une racine multiple si et seulement si son discriminant est nul. Quand il n’est pas nul, le discriminant mesure d’une certaine manière la distance entre les racines. Un polynôme ayant un petit discriminant a donc des racines rapprochées, contenues dans un petit domaine (du plan complexe).

Il y a plusieurs manières équivalentes de définir le discriminant. Par exemple, on peut le définir comme le déterminant de la matrice de Sylvester des deux polynômes P et P′, divisé par l(P). Cette expression montre en particulier que le discriminant s’exprime comme un polynôme en les coefficients de P. Tout le monde se souvient de la formule du discriminant Δ d’un polynôme du second degré :

Δ = b^{2} − 4ac.

Le discriminant peut également s’écrire en fonction du résultant de P et de sa dérivée P′ grâce à la formule suivante :

(−1)^{\frac{d(d−1)}{2}} disc(P) = \frac{1}{l(P)} Res(P, P′).

Cette dernière expression peut encore s’écrire :

(−1)^{\frac{d(d−1)}{2}} disc(P) = l(P)^{d−2} ∏_{i} P′(α_{i}) = d^{d}l(P)^{d−1} ∏_{j} P (β_{j}).

où les β_{j} sont les racines de P′. Si le discriminant de P est petit, alors le produit des P′(α_{i}) est petit aussi, et on peut même penser que chaque P′(α_{i}) doit être petit, ou encore que chaque P (β_{j}) doit être petit. Ceci montre que les extrema locaux de P doivent être petits, ou encore que P doit avoir un graphe relativement plat, avec seulement de petites variations. En quelque sorte, le discriminant mesure les variations de P.

Lorsque l’on élève cette dernière formule à la puissance \frac{1}{d}, on voit que le discriminant représente la moyenne des variations de P en ses racines, ou alors la moyenne des extrema locaux. Enfin, sans donner davantage de détail, signalons que le discriminant peut également s’interpréter comme le volume d’un réseau de dimension d, et pour cette raison la seule grandeur vraiment comparable lorsque le degré varie est le discriminant élevé à la puissance \frac{1}{d}.

Parmi les polynômes de ℤ[x], on peut s’intéresser à plusieurs sous-familles, et la question de trouver les plus petits discriminants est différente selon chaque famille. Les méthodes varieront suivant les polynômes considérés. On peut d’abord distinguer les polynômes irréductibles des polynômes factorisables. On peut ensuite distinguer les polynômes unitaires ou non unitaires. Nous allons essentiellement nous intéresser aux polynômes irréductibles (unitaires), puis aux polynômes factorisables (non nécessairement unitaires).

Lorsque l’on s’intéresse aux discriminants de polynômes factorisables, on utilise en tout premier lieu la formule du discriminant d’un produit :

disc(AB) = disc(A) disc(B) Res^{2}(A, B).

Ainsi, pour obtenir des polynômes factorisables de petits discriminants, il est naturel de chercher des familles de polynômes dont les résultants deux à deux soient petits. Nous chercherons donc des familles de polynômes dont les résultants deux à deux sont tous égaux à ±1. Notations : Si P est un polynôme, on note disc P son discriminant. Son degré sera généralement noté d, r_{1} est le nombre de racines réelles du polynôme P, et 2r_{2} le nombre de ses racines complexes, de sorte que l’on a r_{1} + 2r_{2} = d. On appelle alors d.r_{1} la signature de P. La notation l(P) désignera le coefficient dominant de P, et Res(P, Q) est le résultant des deux polynômes P et Q. Enfin, lorsque nous utiliserons des polynômes à plusieurs variables, nous ajouterons en indice la variable sur laquelle nous travaillerons.

Si P_{1}, …, P_{n} sont des polynômes dont les coefficients a_{i,j} sont indéterminés, on note ℤ[P_{1}, …, P_{n}] l’anneau des polynômes à coefficients dans ℤ en les variables a_{i,j}. Par exemple, on a disc_{x} P ∈ ℤ[P], et Res_{x}(P_{1}, P_{2}) ∈ ℤ[P_{1}, P_{2}].

IV.1 Quelques Propriétés des Résultants et des Discriminants

Commençons par rappeler la proposition suivante qui donne le signe du discriminant d’un polynôme en fonction de sa signature :

Proposition IV.1.1 Le signe du discriminant d’un polynôme de ℤ[x] est donné par la parité de l’entier r_{2} = \frac{d−r_{1}}{2} :

disc P = (−1)^{r_{2}}| disc P |.

La proposition qui suit nous sera particulièrement utile pour déterminer le résultant de deux polynômes quadratiques dont on ne connaît que les discriminants. Sa démonstration est élémentaire.

Proposition IV.1.2 Soient P_{1} = a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1} et P_{2} = a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{2} deux polynômes de degré 2 à coefficients indéterminés, et de discriminants respectifs Δ_{1} et Δ_{2}. Soit δ = 2a_{1}c_{2} − b_{1}b_{2} + 2a_{2}c_{1} ∈ ℤ[P_{1}, P_{2}]. On a la relation

4 Res(P_{1}, P_{2}) = δ^{2} − Δ_{1}Δ_{2}.

Remarque : Lorsque l’on est sous les mêmes hypothèses, on peut aussi noter la formule suivante :

4 Res(P_{1}, P_{2}) = disc(P_{1} ∗ P_{2})

où P_{1} ∗ P_{2} = P′_{1}P_{2} − P′_{2}P_{1} est encore un polynôme de degré 2. Plus généralement, lorsque P_{1} et P_{2} sont deux polynômes quelconques, on a toujours la relation

Res(P_{1}, P_{2}) | disc(P_{1} ∗ P_{2})

où P_{1} ∗ P_{2} est défini de la même manière que pour le degré 2. Cette dernière relation est vraie dans ℤ[P_{1}, P_{2}].

Cette proposition permet de montrer que certains résultants ne sont pas égaux à ±1. On peut aussi remarquer qu’il n’est pas du tout nécessaire que les polynômes soient irréductibles, ni même sans facteur carré. Nous ne retenons que le corollaire suivant :

Corollaire IV.1.3 Soient P_{1} et P_{2} deux polynômes de degré 2 de ℤ[x], ayant le même discriminant Δ. Si Res(P_{1}, P_{2}) est non nul, alors on a l’inégalité

| Res(P_{1}, P_{2}) − 1| ⩾ |Δ|.

Si Δ < 0, alors on a même l’inégalité

Res(P_{1}, P_{2}) ⩾ |Δ| + 1 ⩾ 4.

Preuve : Notons r le résultant de P_{1} et P_{2}. La Proposition IV.1.2 montre qu’il existe un entier δ tel que 4r = δ^{2} − Δ^{2}. Ceci implique en tout premier lieu que δ et Δ ont la même parité.

Si |δ| > |Δ|, alors |δ| ⩾ |Δ| + 2. Ceci implique que 4r ⩾ 4(|Δ| + 1).

Si |δ| < |Δ|, alors |δ| ⩽ |Δ| − 2. Ceci implique que 4r ⩽ −4(|Δ| − 1).

De là, on tire l’inégalité annoncée.

Lorsque Δ est négatif, le résultant est une norme pour l’extension quadratique imaginaire ℚ(\sqrt{Δ})/ℚ, donc il est positif, et on peut enlever la valeur absolue de l’inégalité précédente. ■

Ce corollaire montre que le résultant de deux polynômes irréductibles de degré 2 et de mêmes discriminants est soit nul soit supérieur ou égal à 4. En particulier, il ne peut pas être égal à ±1. Pour les degrés différents de 2, ceci n’est plus vrai comme l’indiquent les exemples suivants :

Res(x, x + 1) = Res(x, 2x + 1) = Res(2x + 1, x + 1) = 1  disc = 1
Res(x^{3} + 3x^{2} − 4x + 1, x^{3} − 6x^{2} + 5x − 1) = 1  disc = 49
Res(x^{4} − 4x^{3} + 3x − 1, x^{4} + 3x^{3} − 2x^{2} − 2x + 1) = 1  disc = 725

Quand on applique la Proposition IV.1.2 avec le polynôme P_{2} = x(x − 1) de discriminant Δ_{2} = 1, la formule montre que le discriminant Δ_{1} est un carré modulo 4, c’est-à-dire qu’il est congru à 0 ou 1 modulo 4. Pour le cas du degré 2, il n’est pas nécessaire d’utiliser une grande théorie pour déduire cela, car le discriminant est de la forme Δ = b^{2} − 4ac, et il est clair que c’est un carré modulo 4. La proposition suivante montre que quel que soit le degré, un discriminant est toujours un carré modulo 4. Le résultat est dû à Stickelberger, mais nous proposons une nouvelle démonstration.

Proposition IV.1.4 Soit P un polynôme à coefficients indéterminés. Si l’on écrit P sous la forme P (x) = A(x^{2}) + xB(x^{2}), alors on a

disc P − Res^{2}(A, B) ∈ 4ℤ[P].

En particulier si P ∈ ℤ[x], disc P ≡ 0 ou 1 mod 4.

Preuve : Soit P un polynôme dont les coefficients sont indéterminés. Notons d le degré de P, l son coefficient dominant, et c ≠ 0 son coefficient constant.

Tout polynôme P peut s’écrire sous la forme P (x) = A(x^{2})+xB(x^{2}). Nous allons utiliser le polynôme auxiliaire suivant

Δ_{P} (y) = Res_{x}(P (x), P (xy))

Ce polynôme est dans ℤ[P][y], et on peut le factoriser en utilisant les racines (formelles) α_{i} de P :

Δ_{P} (y) = l^{2d} ∏_{i,j}(yα_{i} − α_{j})

C’est donc un polynôme de degré d^{2}, qui est divisible par (y −1)^{d}. Notons Q(y) le polynôme Δ_{P} (y)/(y − 1)^{d}. Ce polynôme de ℤ[P][y] est de degré d(d − 1). Comme ce degré est pair, nous le noterons 2m, c’est-à-dire que nous avons m = d(d − 1)/2. À partir de l’expression de Δ_{P} comme produit de facteurs linéaires, on voit que les racines de Q sont les quotients α_{i}/α_{j} pour i ≠ j. Ainsi, les racines de Q sont stables par inversion, ce qui signifie que Q est un polynôme réciproque. Comme les racines de P ne sont écrites que formellement, il n’est pas nécessaire de considérer séparément le cas où α_{i} = 0, ce qui n’a d’ailleurs pas de sens formellement. Nous allons évaluer Q pour y = 1 et pour y = −1.

Si l’on écrit Q sous la forme

Q(y) = αy^{2m} + βy^{2m−1} + … + γy^{m} + … + βy + α

avec α, β, … γ ∈ ℤ[P], on a

\begin{aligned}Q(1) & = α + β + … & +γ + … & + β + α = 2(α + β + …) + γ \\ Q(−1) & = α − β + … & +(−1)^{m}γ + … & − β + α = 2(α − β + …) + (−1)^{m}γ \end{aligned}

De là, on déduit que Q(1) − (−1)^{m}Q(−1) ∈ 4ℤ[P] Pour y = 1, on a

\begin{aligned}Q(1) & = l^{2d} ∏_{i=j} α_{i} ∏_{i≠j}(α_{i} − α_{j}) \\ & = (−1)^{m}lc disc P \end{aligned}

Pour y = −1, on a

Q(−1) = \frac{Res(P (x), P (−x))}{(−2)^{d}}
= (−2)^{−d} Res(A(x^{2}) + xB(x^{2}), A(x^{2}) − xB(x^{2}))
= (−2)^{−d}l Res(A(x^{2}) + xB(x^{2}), −2xB(x^{2}))
= lc Res(A(x^{2}), B(x^{2}))
= lc Res^{2}(A, B)

Des deux expressions de Q(1) et Q(−1), nous déduisons que

lc disc P − lc Res^{2}(A, B) ∈ 4ℤ[P].

Il n’y a plus qu’à simplifier par lc pour obtenir le résultat annoncé. ■

En général, lorsque n est un entier quelconque, si les polynômes P et Q ont des coefficients entiers, on a la relation

disc(P + nQ) ≡ disc P mod n,

qui provient du simple fait que le discriminant est une fonction polynomiale en les coefficients du polynôme. Lorsque n est pair, on peut déduire de la proposition précédente une information un peu plus précise :

disc(P + nQ) ≡ disc P mod 2n,

comme l’exprime le corollaire suivant :

Corollaire IV.1.5 Quels que soient les polynômes P et Q à coefficients indéterminés, et n ∈ ℤ on a

disc(P + 2nQ) − disc P ∈ 4nℤ[P, Q].

Preuve : Si l’on écrit P et Q sous la forme P (x) = A(x^{2}) + xB(x^{2}) et Q = C(x^{2}) + xD(x^{2}), et si l’on note F (P) le polynôme de ℤ[P] tel que disc P − Res^{2}(A, B) = 4F (P), on a

disc(P + 2nQ) = Res^{2}(A + 2nC, B + 2nD) + 4F (P + 2nQ).

De là, on déduit l’existence de polynômes G, H, I ∈ ℤ[P, Q] tels que

disc(P + 2nQ) = (Res^{2}(A, B) + 4nG) + 4(F (P) + 2nH)
= Res^{2}(A, B) + 4F (P) + 4nI
= disc P + 4nI

■

IV.2 Discriminants Minimaux pour les Petits Degrés

IV.2.1 Polynômes Irréductibles

Les Bornes d’Odlyzko

Un polynôme irréductible P définit un corps de nombres K = ℚ(α), en adjoignant une racine α de P au corps de base ℚ. Les discriminants disc P et disc K sont reliés par une relation simple du type :

disc P = f^{2} disc K,

où l’entier f est appelé l’indice de P. À partir de cette formule, il est clair que l’on a toujours l’inégalité suivante lorsque l’on prend les valeurs absolues des discriminants :

| disc P | ⩾ | disc K|.

Grâce à cela, toute minoration pour les discriminants de corps de nombres donnera immédiatement une minoration pour les discriminants de polynômes irréductibles. En particulier, nous disposons des bornes d’Odlyzko (voir [Odl]) qui donnent des minorations particulièrement précises des discriminants des corps de nombres pour chaque signature sous la forme :

| disc P | ⩾ | disc K| ⩾ Odl(d, r_{1}, r_{2}).

Ces minorations qui dépendent de la validité de l’hypothèse de Riemann pour les fonctions L de Dirichlet seront toujours notre référence pour décider si un discriminant est petit ou grand, selon qu’il est proche ou éloigné de ces bornes. Nous comparerons tous nos discriminants aux bornes d’Odlyzko. Il existe d’autres minorations qui ne dépendent d’aucune hypothèse, mais elles sont moins précises.

Certains polynômes irréductibles définissent des corps de nombres K qui ne contiennent pas d’autre sous-corps que ℚ et K lui-même : de tels polynômes sont dits primitifs. Les polynômes primitifs sont généralement plus difficiles à trouver, puisque l’on s’interdit d’utiliser les méthodes par extensions relatives. On peut sans doute comparer cette difficulté à celle de trouver des polynômes de degrés premiers. Comme le degré d’un sous-corps divise toujours le degré du corps, un corps de degré premier ne peut pas contenir de sous-corps non trivial. Ainsi, les polynômes irréductibles dont le degré est un nombre premier sont automatiquement primitifs.

Nous indiquons maintenant les différentes méthodes qui nous ont permis de construire nos tables de petits discriminants. Dans plusieurs de ces méthodes, nous décrivons des constructions à partir de listes de polynômes déjà trouvés. Dans chacune de ces méthodes, on peut souvent remplacer les polynômes par d’autres polynômes de même discriminant. Pour cela, on peut changer un polynôme P (x) en P (x + 1), ou en P (−x), ou enfin prendre son réciproque. Ces trois transformations qui fixent le discriminant engendrent un groupe isomorphe à GL_{2}(ℤ). Remarquons enfin que le choix d’un générateur d’un corps de nombres n’est pas du tout canonique, ce qui signifie qu’un même corps peut être défini par plusieurs polynômes de mêmes discriminants mais qui ne se déduisent pas l’un de l’autre par une simple transformation de GL_{2}(ℤ).

1 Petits Coefficients

Il est tentant de dire qu’un polynôme P = ∑ a_{i}x^{i} qui a des petits coefficients entiers a_{i} est un petit polynôme. Notre mesure de la taille d’un polynôme est son discriminant. Mais celui-ci est une fonction polynomiale en les coefficients de P. Si les a_{i} sont petits, on s’attend alors à ce que le discriminant soit également petit. Méthode : Après avoir choisi une borne M, on peut parcourir tous les polynômes de degré d fixé dont les coefficients a_{i} sont dans l’intervalle [−M, M], et calculer chaque discriminant.

Exemples :

– Il a été démontré ([Diaz a]) que le polynôme x^{7} − x^{6} − x^{5} + x^{4} − x^{2} + x + 1 est celui qui a le plus petit discriminant (−184607) pour le degré 7 dont la signature est r_{1} = 1. Ses coefficients satisfont l’inégalité : |a_{i}| ⩽ 1.

– Le polynôme x^{d} − 1 a des coefficients particulièrement petits (presque tous nuls), et son discriminant vaut d^{d}, ce qui est encore de taille raisonnable lorsque d n’est pas trop grand. Ce polynôme n’est pas irréductible, et se factorise en un produit de polynômes cyclotomiques, dont les discriminants sont nécessairement plus petits que d^{d}. Il se trouve que les coefficients des polynômes cyclotomiques sont très petits (bien qu’ils croissent quand même exponentiellement, voir par exemple [Erd-Vau]). En particulier, le premier polynôme cyclotomique dont un coefficient est au moins égal à 2 est Φ_{105} (de degré 48), et le premier dont un coefficient est au moins égal à 3 est Φ_{385} (de degré 240). Domaine d’Utilisation de la Méthode : Le nombre de polynômes à tester est de l’ordre de (2M + 1)^{d}. Lorsque l’on se place sous la condition très restrictive M = 2, le nombre de polynômes est déjà de l’ordre de 5·10^{7} pour le degré d = 11. Cette méthode donne des listes relativement complètes de petits discriminants jusqu’à d = 9, mais donne presque toujours des polynômes de signature complexe (r_{1} ⩽ 4). La grande majorité des polynômes trouvés sont primitifs. Jusqu’au degré 9, il faut certainement commencer par cette méthode avant d’en utiliser une autre plus compliquée. Au delà, elle ne donne presque rien.

Le recours à la majoration des coefficients a pour principal intérêt de pouvoir démontrer la minimalité de certains discriminants. Ceci peut se faire par exemple à l’aide du théorème suivant de Hunter (dans [Hun]) issu de la géométrie des nombres.

Théorème (Hunter) Soit K un corps de nombres de degré d sur ℚ de discriminant disc K satisfaisant | disc K| ⩽ M. Il existe θ ∈ ℤ_{K} ∖ ℤ, dont on note θ_{i} les conjugués, tel que 0 ⩽ T r(θ) = ∑ θ_{i} ⩽ \frac{d}{2} et tel que

∑ |θ_{i}|^{2} ⩽ \frac{1}{d}T r(θ)^{2} + γ_{d−1} (\frac{M}{d} )^{\frac{1}{d−1}}

où γ_{d−1} est la constante d’Hermite en dimension d − 1.

Pour plus de précision sur la constante d’Hermite γ_{d−1}, on peut consulter [Con-Slo]. Ainsi, pour démontrer la minimalité de certains discriminants, on utilise ce théorème pour majorer les coefficients des polynômes, et obtenir des listes complètes contenant tous les minimaux successifs. Ces bornes sont suffisantes pour traiter les degrés jusqu’à 6 (voir [Poh]), et des raffinements permettent de traiter jusqu’au degré 8 (voir [Poh-Mar-Dia]). Au delà, ces bornes ne sont plus utilisables. Il faut toutefois remarquer que dans ce théorème, l’élément θ peut appartenir à un sous corps propre de K.

Une petite variation de cette méthode consiste à ne regarder que les polynômes réciproques, c’est-à-dire satisfaisant la relation P (x) = x^{d}P (\frac{1}{x}). Dans ce cas, le nombre de variables est divisé par 2, et pour un temps de calcul équivalent, on peut considérer des polynômes dont le degré est multiplié par 2. Ainsi, on trouve de bons résultats jusqu’au degré 18. Comme dans le cas précédent, on ne trouve que des signatures complexes. En revanche, dès que d > 2 la proposition suivante montre que la réciprocité impose à tous les polynômes d’être de degré pair et imprimitifs.

Proposition IV.2.1 Soit P ∈ ℤ[x] un polynôme réciproque irréductible de degré d. Si d > 2, alors d est pair et P est imprimitif.

Preuve : La réciprocité montre que P (−1) = (−1)^{d}P (−1). Si d est impair, cela implique que −1 est une racine de P, ce qui est impossible puisque P est irréductible de degré d > 2.

Soit α une racine de P. Montrons que le corps L = ℚ(α) contient un sous-corps d’indice 2. Soit β = α + \frac{1}{α} et K = ℚ(β). Comme β = α + \frac{1}{α}, K est un sous-corps de L. Le nombre algébrique β est racine du polynôme

Q(x) = P (0)^{d} ∏_{P (α)=0} (x − α − \frac{1}{α})

Ce polynôme est à coefficients rationnels puisque c’est simplement le résultant

Q(x) = Res_{y} (P (y), y (x − y − \frac{1}{y}))

Mais ce polynôme est un carré puisqu’il est aussi égal à

Q(x) = P (0)^{2 \frac{d}{2}} ∏^{∗} (x − α − \frac{1}{α})^{2}

où le produit est fait sur toutes les racines de P modulo l’équivalence α ∼ \frac{1}{α}. Comme P est irréductible de degré supérieur à 2, on ne peut pas avoir α = \frac{1}{α}, et Q est bien un carré. Comme c’est un carré dans ℂ[x], c’est en réalité un carré dans ℚ[x]. Ainsi, on a Q = R^{2}, ce qui prouve que β est une racine du polynôme R à coefficients rationnels de degré d/2. L’extension L/K est donc de degré au moins 2, et même exactement 2 à cause de l’équation relative α^{2} − βα + 1 = 0. Comme d > 2, le sous-corps K est un sous-corps non-trivial de degré \frac{d}{2} de L, ce qui prouve que P est imprimitif. ■ Remarque : Nous venons de montrer que le sous-corps de degré \frac{d}{2} est engendré par α + \frac{1}{α}. Ainsi, pour retrouver le sous-corps, il suffit de calculer le polynôme caractéristique χ de α + \frac{1}{α} dont le carré est donné par

χ(y)^{2} = Res_{x}(P (x), x^{2} − xy + 1)

On a alors

P (x) = Res_{y}(χ(y), x^{2} − xy + 1).

Ceci est un cas particulier d’une “formule d’inversion” que nous montrerons plus loin (Proposition IV.2.4). Exemple : Le plus petit discriminant que nous avons trouvé pour un polynôme de signature d.r_{1} = 16.0 est donné par le polynôme réciproque P = x^{16} − x^{14} + x^{13} − 2x^{11} + x^{10} + x^{9} − x^{8} + x^{7} + x^{6} − 2x^{5} + x^{3} − x^{2} + 1 qui a des petits coefficients. Son discriminant vaut disc(P) = 2773873245710329. Il n’est qu’à 1.73% au-dessus de la borne d’Odlyzko. D’après la remarque précédente, le polynôme P est de la forme

P = Res_{y}(y^{8} − 9y^{6} + y^{5} + 26y^{4} − 7y^{3} − 24y^{2} + 12y + 1, x^{2} − xy + 1)

Les tables de [Coh-Dia-Oli a], contiennent un polynôme réciproque pour la même signature qui engendre un corps dont le discriminant est inférieur au nôtre. Toutefois, ce polynôme a un indice 7^{2}, ce qui rend son discriminant supérieur au nôtre.

2 Petites Variations des Coefficients

Méthode : Le discriminant d’un polynôme est une fonction polynomiale en les coefficients, et donc c’est une fonction continue. Ainsi, on s’attend à ce que le discriminant varie peu si l’on fait une petite variation des coefficients. Si l’on note P le polynôme de départ dont le discriminant est déjà petit, et ε un polynôme comme 1, −1, x, −x, …, alors le polynôme Q = P + ε devrait avoir aussi un petit discriminant. Le polynôme P peut être soit irréductible soit factorisable. Nous avons observé que les polynômes factorisables ont des discriminants inférieurs à ceux des polynômes irréductibles, il est alors souvent préférable de choisir P factorisable. Toutefois, si P est trop factorisable, en particulier si son discriminant est nul, alors l’expérience montre que le discriminant de Q explose facilement. Les meilleurs résultats ont été obtenus pour des polynômes Q de la forme Q = xP +ε ou Q = (x−1)P +ε, où P est irréductible de petit discriminant. Dans ce cas, le discriminant de Q est voisin du discriminant de xP ou de (x − 1)P, qui est donné par P (0)^{2} · disc(P) ou P (1)^{2} · disc(P). Une méthode voisine de celle-ci est décrite plus loin (Polynômes de résultant 1).

Remarquons que choisir pour ε un polynôme qui a des petits coefficients n’est pas nécessairement le meilleur choix possible. Un polynôme ayant un petit discriminant est parfois meilleur. En effet, nous avons expliqué dans l’introduction qu’un petit discriminant équivaut à un graphe relativement plat, sans fortes variations. Ainsi, si l’on ajoute à P, qui a un graphe plat, un polynôme ε qui est également plat, le graphe de Q devrait garder cette propriété, et donc avoir un petit discriminant. Exemple : À partir du polynôme P = x^{9}+4x^{8}+7x^{7}+10x^{6}+12x^{5}+11x^{4}+8x^{3}+5x^{2}+2x+1 (disc = 30453593, d.r_{1} = 9.1), en faisant varier les coefficients de ±1, on trouve vingt autres polynômes de signature d.r_{1} = 9.1 en dessous de 10% et trois polynômes de signature d.r_{1} = 9.3 en dessous de 10%. Nous donnons ici la signature et le discriminant de Q, ainsi que la différence Q − P.

\begin{matrix}r_{1} & disc & Q − P \\ 3 & −198348791 & −x^{8} − x^{7} + x^{6} − x^{5} + x^{3} + x \\ 3 & −192165947 & −x^{7} − x^{5} + x^{3} + x \\ 3 & −149039567 & −x^{7} + x^{5} − x^{4} + x^{3} \end{matrix}

\begin{matrix}r_{1} & disc & Q − P \\ 1 & 32344469 & x^{7} + x^{6} − x^{4} − x^{3} \\ 1 & 32923873 & x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} \\ 1 & 33121433 & x^{5} − x^{4} − x^{3} − x \\ 1 & 33626161 & x^{7} + x^{6} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x \\ 1 & 34590113 & −x^{8} − x^{4} \\ 1 & 35028793 & x^{7} + x^{6} − x^{5} − x^{4} − x^{3} − x^{2} \\ 1 & 35050633 & −x^{8} − x^{7} \\ 1 & 38118173 & −x^{8} + x \\ 1 & 38525297 & −x^{8} − x^{7} − x^{6} − x^{5} + x^{3} + x \\ 1 & 39067993 & −x^{8} + x^{6} \\ 1 & 40466809 & −x^{5} − x^{4} \\ 1 & 41995553 & −x^{8} + x^{7} \\ 1 & 44573353 & x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x \\ 1 & 46094281 & −x^{8} − x^{7} − x^{5} + x^{3} + x^{2} + x \\ 1 & 46382993 & x^{7} + x^{6} − x^{3} − x^{2} \\ 1 & 47138401 & −x^{8} − x^{7} − x^{6} + x^{3} + x^{2} + x \\ 1 & 48487609 & x^{7} − x^{5} − x^{4} − x^{3} \\ 1 & 50644288 & x^{6} − x^{5} − x^{4} + x \\ 1 & 53814641 & −x^{8} − x^{5} \\ 1 & 60095296 & −x^{8} + x^{3} \end{matrix}

De tels exemples se reproduisent très fréquemment en degré 9. Domaine d’Utilisation de la Méthode : Cette méthode suppose que l’on dispose déjà d’une liste suffisante de polynômes de petits discriminants. Son principal avantage est que l’on peut faire augmenter le degré d’une unité à chaque étape, et ainsi arriver à des degrés premiers. La signature du polynôme Q = xP + ε est en général voisine de celle de xP, et l’on peut ainsi prévoir la signature des polynômes que l’on trouve, bien que les polynômes totalement réels soient rarement trouvés par cette méthode. Enfin, il faut noter que lorsque le degré devient trop grand (de l’ordre de 17), la moindre variation des coefficients d’un polynôme entraîne l’explosion de son discriminant.

3 Petites Variations des Racines

Méthode : Si ε est un (petit) nombre réel, alors les racines du polynôme P (x + ε) sont les α_{i} − ε où les α_{i} sont les racines de P. Pour cette raison, l’application P (x) → Q(x) = P (x + ε) préserve le discriminant et la signature du polynôme. Toutefois, même si P a des coefficients entiers, Q n’a pas de coefficients entiers lorsque ε n’est pas lui-même un entier. Pour retrouver cette propriété, on peut arrondir ses coefficients à l’entier le plus proche. Dans ce cas, le discriminant et la signature de Q sont différents de ceux de P. Si le discriminant de P est petit, alors il est probable que le discriminant de Q soit également petit, et sa signature voisine de celle de P. Plus généralement, on peut appliquer à P la transformation x → αx + ε où ε est proche de 0 et α est proche de 1.

Exemple : En appliquant au polynôme P = x^{11}−x^{10}+4x^{9}−6x^{8}+8x^{7}−11x^{6}+11x^{5}−11x^{4}+ 8x^{3} − 6x^{2} + 3x − 1 (d.r_{1} = 11.1 et disc = −6004248839) la transformation x → αx + ε et en arrondissant les coefficients aux entiers les plus proches, on trouve les polynômes suivants qui sont distants de la borne d’Odlyzko de moins de 10%.

\begin{matrix}α & ε & d.r_{1} & disc \\ 0.950 & 0.035 & 11.1 & −8095166839 \\ 0.980 & 0.120 & 11.1 & −6046447999 \\ 0.984 & 0.015 & 11.1 & −13908165539 \\ 0.992 & 0.030 & 11.1 & −11025730003 \\ 0.992 & 0.045 & 11.1 & −11914617343 \\ 0.993 & −0.074 & 11.1 & −11941490767 \\ 0.993 & 0.070 & 11.1 & −8168279567 \\ 1.000 & −0.085 & 11.1 & −9716055647 \\ 1.020 & −0.023 & 11.1 & −6580722667 \\ 1.020 & −0.123 & 11.1 & −11588314931 \\ 1.027 & −0.058 & 11.1 & −13714009931 \\ 1.033 & −0.115 & 11.3 & 50760160601 \end{matrix}

Domaine d’Utilisation de la Méthode : Cette méthode permet de trouver de nombreux polynômes de petits discriminants pour n’importe quelle signature, y compris pour les signatures réelles (r_{2} ⩽ 3). Il semble que pour la plupart des polynômes de degré inférieur à 15 (un peu moins pour les signatures réelles), cette méthode permette de construire des nouveaux polynômes. Toutefois, il est difficile de prévoir les bonnes valeurs de α et ε, d’autant qu’il faut les connaître avec une certaine précision (inférieure à 0.005), et un balayage de toutes les valeurs possibles pour α et ε est vite très fastidieux.

Nous avons constaté expérimentalement que les “bonnes” valeurs de ε et de α − 1 sont de l’ordre de ±\frac{1}{d}.

4 Extensions Relatives

Quand on fait une extension de corps de nombres L/K de degré r, le discriminant absolu de L est relié au discriminant relatif de L/K par la formule

| disc(L/ℚ)| = | disc(K/ℚ)|^{r} · N_{K/ℚ}(disc(L/K)),

où le discriminant relatif disc L/K est un idéal de K.

Si une équation absolue de K = ℚ(α) est donnée par P (α) = 0, si une équation relative de L = K(β) est donnée par R(α, β) = 0 avec R ∈ ℤ[x, y], et si β est un élément primitif pour l’extension L/ℚ, alors une équation absolue de L/ℚ est donnée par le résultant suivant :

Q(y) = Res_{x}(P (x), R(x, y)).

La proposition suivante donne le discriminant du polynôme Q en fonction de P et R, et doit être vue comme l’analogue de la formule précédente du discriminant relatif adaptée au cas des polynômes. Il faut constater qu’il y a un facteur parasite, que l’on peut enlever dans certains cas, mais qui impose parfois de gros indices entre les discriminants de polynômes et les discriminants de corps. C’est probablement à cause de cet indice que les méthodes d’extensions relatives n’ont pas la même efficacité suivant que l’on s’intéresse aux polynômes ou aux corps de nombres.

Proposition IV.2.2 Soient P ∈ ℤ[x] et R ∈ ℤ[x, y]. Si l’on pose Q(y) = Res_{x}(P (x), R(x, y)) et r = deg_{y} R, on a

disc Q = (disc P)^{r} · Res_{x}(P, disc_{y} R)

× Res_{x} (P (x), Res_{w} (\frac{P (w) − P (x)}{w − x}, Res_{y} (R(x, y), \frac{R(w, y) − R(x, y)}{w − x}))) .

Pour démontrer ce résultat, nous utilisons une formule sur le discriminant que nous commençons par redémontrer :

Lemme IV.2.3 Soit P un polynôme de degré d. On a

(−1)^{\frac{d(d−1)}{2}} disc P = l(P)^{−2} lim_{y→0} y^{−d} Res_{x}(P (x), P (x + y)).

Preuve : Notons α_{i} les racines de P. On a

\begin{matrix}Res_{x}(P (x), P (x + y)) = & l(P)^{2d} ∏_{i,j}(y + α_{i} − α_{j}) \\ = & l(P)^{2d}y^{d} ∏_{i≠j}(y + α_{i} − α_{j}) \end{matrix}

De là on déduit le lemme souhaité. ■ Preuve de la Proposition IV.2.2 : Notons q = deg Q. Nous partons de la formule précédente, qui donne le discriminant de Q :

(−1)^{\frac{d(d−1)}{2}} l(Q)^{2} disc Q
= lim_{z→0} z^{−q} Res_{y}(Q(y), Q(y + z))
= lim_{z→0} z^{−q} Res_{y}(Res_{x}(P (x), R(x, y)), Res_{w}(P (w), R(w, y + z)))
= lim_{z→0} z^{−q} Res_{x}(P (x), Res_{w}(P (w), Res_{y}(R(x, y), R(w, y + z))))
= lim_{z→0} z^{−q} Res_{x} (P (x), Res_{w} (\frac{P (w) − P (x)}{w − x} · (w − x), Res_{y}(R(x, y), R(w, y + z))))
= lim_{z→0} z^{−q} Res_{x}(P (x), Res_{y}(R(x, y), R(x, y + z)))

× Res_{x} (P (x), Res_{w} (\frac{P (w) − P (x)}{w − x}, Res_{y}(R(x, y), R(w, y + z))))

= Res_{x}(P (x), l_{y}(R)^{2} disc_{y} R(x, y))

× Res_{x} (P (x), Res_{w} (\frac{P (w) − P (x)}{w − x}, Res_{y} (R(x, y), \frac{R(w, y) − R(x, y)}{w − x} · (w − x))))

= Res_{x}(P (x), l_{y}(R(x, y)))^{2} Res_{x}(P (x), disc_{y} R(x, y)) × disc^{r}P

× Res_{x} (P (x), Res_{w} (\frac{P (w) − P (x)}{w − x}, Res_{y} (R(x, y), \frac{R(w, y) − R(x, y)}{w − x}))) .

La preuve s’achève lorsque l’on a remarqué que l(Q) = Res_{x}(P (x), l_{y}(R(x, y))). ■ Remarque : Dans le cas particulier où R(x, y) est de la forme A(y)x+B(y) avec Res(A, B) = ±1, alors on retrouve la formule classique du discriminant d’une extension relative :

disc Q = (disc P)^{r} · Res_{x}(P (x), disc_{y} R(x, y)).

Méthode : À partir d’une liste de polynômes de base P_{i}, et d’une liste de polynômes relatifs R_{j}, on construit les polynômes Res(P_{i}, R_{j}). Exemple : Dans les tables de polynômes de discriminants minimaux données en annexe, la plupart des polynômes de degré pair supérieur ou égal à 18 sont de la forme Q(y) = Res(P (x), R(x, y)) avec R de degré 2 parmi la liste suivante (certains polynômes R se déduisent les uns des autres par une transformation de GL_{2}(ℤ) sur x mais donnent des résultats différents) :

R  Res(A, B) disc Q/ disc^{2}P
y^{2} + y ± x  1  4^{d}P (∓\frac{1}{4})
y^{2} + xy + 1  −1  P (2)P (−2)
y^{2} + xy − 1  1  P (2i)P (−2i)
(y^{2} − y + 1)x ± 1  1  3^{d}P (∓\frac{4}{3})P (0)

Signalons ici le polynôme de signature d.r_{1} = 26.0 qui a été construit par cette méthode à partir d’un polynôme de degré 13 : Q = y^{26} −y^{25} +3y^{24} −4y^{23} +6y^{22} −19y^{21} +9y^{20} −100y^{19} +12y^{18} −322y^{17} +14y^{16} −630y^{15} + 15y^{14} − 783y^{13} + 15y^{12} − 630y^{11} + 14y^{10} − 322y^{9} + 12y^{8} − 100y^{7} + 9y^{6} − 19y^{5} + 6y^{4} − 4y^{3} + 3y^{2} − y + 1 = Res(x^{13} + x^{12} − 10x^{11} − 8x^{10} + 38x^{9} + 22x^{8} − 69x^{7} − 24x^{6} + 62x^{5} + 7x^{4} − 26x^{3} + 2x^{2} + 4x − 1, y^{2} + xy + 1) Ce polynôme de discriminant −(1535761 · 7036903)^{2}239 n’est qu’à 5.79% de la borne d’Odlyzko. Son discriminant est inférieur à ceux trouvés par H. Cohen-F. Diaz Y Diaz-M. Olivier dans [Coh-Dia-Oli a]. Dans cet article, les auteurs sont partis des corps connus jusqu’au degré 6, et ont réalisé des extensions abéliennes. Ainsi, aucune extension cyclique de degré 13 d’un corps quadratique n’a donné de discriminant inférieur à notre exemple. Domaine d’Utilisation de la Méthode : Par définition, cette méthode ne permet de construire que des polynômes imprimitifs. Cette méthode est particulièrement efficace pour les degrés pairs élevés (nous avons obtenu des polynômes jusqu’au degré 48 pour les signatures complexes, et 24 pour les signatures réelles) comme le montrent les tables données en annexe. Quelques exemples d’extensions relatives cubiques ont été trouvés (par exemple pour les degrés 27 et 33). Si les extensions relatives quadratiques ont donné de bons résultats, les extensions cubiques, quartiques ou même quintiques n’ont quasiment rien donné. Par exemple, pour les degré 18, 24 ou 30, les discriminants obtenus par extensions quadratiques sont meilleurs que ceux obtenus par extensions cubiques. Cette remarque s’éclaircit peut-être en disant que les polynômes relatifs cubiques étaient mal choisis. On peut plus sérieusement se demander s’il n’y a pas de raison à cela, et essayer d’expliquer par la même occasion pourquoi les minimaux connus pour chaque signature en degré 9 sont tous primitifs (y compris lorsque l’on regarde les discriminants des corps de nombres et non pas ceux des polynômes). Certains auteurs (par exemple dans [Coh-Dia-Oli c]), n’hésitent pas à dire que les corps imprimitifs n’ont aucune raison de donner les discriminants minimaux (au moins pour les grands degrés), et que ces discriminants devraient même être atteints par des corps dont le groupe de Galois est le groupe symétrique S_{n}, ce qui impliquerait en particulier que ces corps sont primitifs.

La proposition suivante est utile pour retrouver le polynôme P à partir du polynôme Q. C’est une sorte de “formule d’inversion” pour les extensions relatives.

Proposition IV.2.4 Soit P ∈ ℤ[x] et R ∈ ℤ[x, y]. Si l’on pose Q = Res_{x}(P, R) et r = deg_{y} R, alors on a

P^{r} | Res_{y}(Q, R).

De plus si R est de la forme R = A(y)x + B(y), et si d = deg P, alors on a

Res_{y}(Q, R) = Res(A, B)^{d}P^{r}.

Preuve : C’est un calcul sur les résultants :

Res_{y}(Q, R(z, y)) = Res_{y}(Res_{x}(P (x), R(x, y)), R(z, y))
= Res_{y}(Res_{x}(P (x), R(x, y) − R(z, y)), R(z, y))
=P (z)^{r} Res_{y} (Res_{x} (P (x), \frac{R(x, y) − R(z, y)}{x − z}) , R(z, y))

Ceci prouve la première assertion. Dans le cas où R(x, y) = A(y)x+B(y), on peut poursuivre le calcul :

Res_{y}(Q, R(z, y)) =P (z)^{r} Res_{y}(Res_{x}(P (x), A(y)), A(y)z + B(y))
=P (z)^{r} Res_{y}(A(y)^{d}, A(y)z + B(y))
=P (z)^{r} Res(A, B)^{d}

■

5 Semi-Extensions Relatives

Méthode : Le principe qui a déjà conduit à plusieurs méthodes est de déformer légèrement les polynômes qui ont des petits discriminants. Nous appliquons ce principe à la méthode des extensions relatives. Une extension relative se fait à partir de la formule Q(y) = Res(P (x), R(x, y)), où P est le polynôme de base, et R le polynôme relatif. Une modification sur le polynôme R, donnera toujours une extension relative, et donc n’est pas une vraie modification. En revanche, une modification sur le polynôme P conduit à considérer les polynômes Q de la forme Q(y) = Res_{x}(P (x, y), R(x, y)). Il ne s’agit plus du tout d’extensions relatives, et l’on ne peut plus rien prédire sur le polynôme Q. En particulier, on ne peut pas simplement dire s’il est primitif, ni calculer son discriminant ou sa signature, ni même parfois son degré.

Nous nous sommes restreints aux polynômes de la forme Q(y) = Res_{x}(α(x, y)P (x) + β(x, y), R(x, y)), où α et β sont des petits polynômes comme par exemple y, −y, xy, y −1... et où P et R engendrent déjà une extension relative de petit discriminant. Nous avons constaté expérimentalement que cette méthode de “semi-extensions relatives” permet de construire de nombreux polynômes primitifs, y compris en degrés premiers. De plus, nous avons constaté que les différents invariants des polynômes Q ainsi obtenus (degré, signature, discriminant…) sont souvent proches de ceux obtenus par de vraies extensions relatives (α = 1 et β = 0).

Exemple : Nous illustrons cette méthode en donnant des polynômes pour certaines signatures en degré impair assez élevé. Ces polynômes donnent les plus petits discriminants que nous ayons trouvés pour leurs signatures. Ils sont tous primitifs et sont à moins de 10% de la borne d’Odlyzko.

d.r_{1} = 19.5 avec Q = Res_{x}(y(x^{9}−x^{8}+2x^{7}−5x^{6}+3x^{5}−5x^{4}+5x^{3}−2x^{2}+3x−1)+1, xy^{2}+y−x)

d.r_{1} = 21.3 avec Q = Res_{x}(x^{10} − 2x^{8} + 2x^{7} − 3x^{5} + 3x^{4} − x^{2} + 2x − 1 + y, (x − 1)y^{2} − x)

d.r_{1} = 23.3 avec Q = Res_{x}(x^{11} − 3x^{10} + 8x^{9} − 12x^{8} + 15x^{7} − 12x^{6} + 6x^{5} − 4x^{3} + 3x^{2} − 2x + 1 − y(x − 1), xy^{2} + (x + 1)y + x).

Domaine d’Utilisation de la Méthode : Bien que cette méthode ne nous ait pas permis d’obtenir des polynômes de degrés aussi élevés que les vraies extensions relatives (27 au lieu de 48), elle nous a permis de trouver de très nombreux polynômes primitifs pour tous les degrés jusqu’à 27, dont en particulier les degrés impairs, et surtout les degrés premiers. La principale limite de cette méthode est le nombre considérable de polynômes à tester. En effet, il faut considérer simultanément les polynômes P, R, α et β.

Comme dans le cas des extensions relatives, on dispose d’une “formule d’inversion”, c’est-à-dire d’un moyen de retrouver le polynôme P à partir du polynôme Q :

Proposition IV.2.5 Soit P ∈ ℤ[x]. Soit R ∈ ℤ[x, y] de la forme R(x, y) = A(y)x + B(y) et α, β ∈ ℤ[x, y]. Notons d = deg P et r = deg_{y} R. Si l’on pose Q = Res_{x}(αP +β, R), alors dans ℤ[A, B][x] on a

Res(A, B)^{d}P^{r} | Res_{y}(Q − (−A)^{d}β, R)

Preuve : Comme pour le cas des extensions relatives, ceci est un calcul sur les résultants.

Res_{y}(Q(y) − (−A(y))^{d}β(z, y), R(z, y))
= Res_{y}(Res_{x}(α(x, y)P (x) + β(x, y), R(x, y)) − (−A(y))^{d}β(z, y), R(z, y))
= Res_{y}(Res_{x}(α(x, y)P (x) + β(x, y), R(x, y) − R(z, y)) − (−A(y))^{d}β(z, y), R(z, y))
= Res_{y}(Res_{x}(α(x, y)P (x) + β(a, y), A(y)(x − z)) − (−A(y))^{d}β(z, y), R(z, y))
= Res_{y}(Res_{x}((−A(y))^{d} · (α(z, y)P (z) + β(z, y)) − (−A(y))^{d}β(z, y), R(z, y))
=(−1)^{rd} Res(A, B)^{d}P (z)^{r} Res_{y}(α(z, y), R(z, y))

■

6 Polynômes de Résultant 1

Nous avons observé que les polynômes qui ont un résultant égal à ±1 avec de nombreux autres “petits” polynômes ont très souvent des discriminants voisins des discriminants minimaux. Cette observation, qui peut par exemple se justifier par la proposition suivante, est à l’origine de cette méthode.

Proposition IV.2.6 Soit P ∈ ℝ[x] un polynôme de degré d, dont toutes les racines sont réelles. On a l’inégalité :

disc P ⩽ |Res (P, \frac{x^{2d} − 1}{x^{2} − 1})| .

Preuve : Commençons par montrer l’inégalité pour un polynôme P ∈ ℝ[x] unitaire de degré d. Notons x_{1},…,x_{d} les racines de P. Soit V la matrice de Vandermonde associée aux x_{i} :

V = ( ⋮_{1 x_{d} ... x_{d}^{d−1}}^{1 x_{1} ... x_{1}^{d−1}} ) .

Le déterminant de cette matrice vérifie det^{2} V = disc P. Si l’on applique l’inégalité de Hadamard à V, on trouve

det^{2}V ⩽ ∏_{i}(1 + x_{i}^{2} + … + x_{i}^{2d−2}).

Or, ce produit est (au signe près) le résultant Res (P, \frac{x^{2d}−1}{x^{2}−1}), on a donc l’inégalité annoncée.

Si P est un polynôme non-unitaire, de coefficient dominant l, on applique l’inégalité précédente avec \frac{1}{l}P. On peut simplifier les deux termes par le même facteur l^{2d−2}, et l’on obtient l’inégalité annoncée. ■

D’après cette proposition, un polynôme totalement réel dont les résultants avec les polynômes cyclotomiques sont petits doit avoir un petit discriminant. Les coefficients de la matrice de Vandermonde sont les valeurs Q_{j}(x_{i}) des polynômes Q_{j} = x^{j−1} aux racines de P. Si on prend d’autres polynômes Q_{j}, on trouve l’inégalité m^{2} disc P ⩽ | Res(P, ∑ Q_{j}^{2})|, où m est le déterminant de la matrice M contenant les coefficients des polynômes Q_{j} (il suffit de multiplier V par M). Ainsi, en faisant varier les polynômes Q_{j}, on peut obtenir des inégalités plus ou moins précises. Dans tous les cas, le polynôme ∑ Q_{j}^{2} est totalement complexe.

Méthode : La méthode que nous décrivons ici consiste à fabriquer des polynômes en leur imposant d’avoir un résultant égal à ±1 avec un ou plusieurs autres polynômes. En termes de corps de nombres, cela revient à construire un corps à partir de ses unités. On peut en fait distinguer deux méthodes.

A– Dans la première méthode, on considère toute une famille de polynômes P_{i} de petits degrés et l’on cherche les polynômes de grands degrés satisfaisant le système

∀i, Res(P, P_{i}) = ±1.

On peut par exemple se contenter de prendre P = ∏ P_{i} ± 1, et cela donne déjà de bons résultats, mais on peut aussi chercher des solutions moins triviales, et les résultats sont alors encore meilleurs. Expérimentalement, nous avons constaté qu’un bon choix pour les polynômes P_{i} était de prendre des polynômes totalement réels (contrairement à la situation de la Proposition IV.2.6 où les polynômes cyclotomiques sont totalement complexes), de petits discriminants et si possible tels que leurs résultants soient aussi égaux à ±1.

Exemple : Le plus petit discriminant trouvé pour la signature d.r_{1} = 19.15 ((| disc P |)^{\frac{1}{19}} = 22.880) a été obtenu pour le polynôme P = x^{19} + 9x^{18} + 21x^{17} − 35x^{16} − 195x^{15} − 62x^{14} + 628x^{13} + 552x^{12} − 1004x^{11} − 1173x^{10} + 865x^{9} + 1145x^{8} − 395x^{7} − 528x^{6} + 86x^{5} + 98x^{4} − 7x^{3} − 6x^{2} + 1 = 1 + x^{2}(x − 1)^{2}(x + 1)^{2}(x + 2)(x^{2} + 2x − 1)^{2}(x^{2} + x − 3)(x^{3} + x^{2} − 3x − 1)(x^{3} + x^{2} − 2x − 1).

D’après sa dernière expression, il est clair que P a un résultant ±1 avec tous les polynômes x, x − 1, x + 1, x + 2, x^{2} + 2x − 1, x^{2} + x − 3, x^{3} + x^{2} − 3x − 1 et x^{3} + x^{2} − 2x − 1. Tous ces polynômes sont totalement réels et ont des discriminants voisins des minimaux pour leurs signatures. Le grand nombre de racines réelles de ces polynômes a forcé le polynôme P à avoir aussi de nombreuses racines réelles (ici r_{1} = 15).

La même remarque peut se faire avec le polynôme suivant qui donne le meilleur discriminant (| disc P |^{\frac{1}{23}} = 20.400) pour la signature d.r_{1} = 23.13 : P = x^{23} + 2x^{22} − 21x^{21} − 41x^{20} + 194x^{19} + 366x^{18} − 1038x^{17} − 1866x^{16} + 3564x^{15} + 5988x^{14} − 8220x^{13} −12564x^{12} +12951x^{11} +17334x^{10} −13887x^{9} −15399x^{8} +9890x^{7} +8350x^{6} −4434x^{5} − 2470x^{4} + 1120x^{3} + 300x^{2} − 120x − 1 = −1 + x(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x^{2} − x − 1)(x^{2} + x − 1)(x^{2} − 2)(x^{2} − 3)(x^{3} − 3x + 1)(x^{4} − 4x^{2} + 2)(x^{4} − 5x^{2} + 5)

Exemple : Le polynôme totalement réel P_{0} = x^{14} − 3x^{13} − 9x^{12} + 31x^{11} + 28x^{10} − 122x^{9} − 31x^{8} + 228x^{7} − 6x^{6} − 205x^{5} + 32x^{4} + 78x^{3} − 16x^{2} − 8x + 1 (tel que | disc P_{0}|^{\frac{1}{14}} = 22.994) a un résultant égal à ±1 avec les polynômes totalement réels suivants (et d’autres encore...) :

disc  P_{i}
1  x
1  x − 1
1  x + 1
1  x − 2
5  x^{2} − x − 1
5  x^{2} + x − 1
8  x^{2} − 2
12  x^{2} − 3
49  x^{3} − x^{2} − 2x + 1
49  x^{3} + x^{2} − 2x − 1
49  x^{3} − 2x^{2} − x + 1
81  x^{3} − 3x − 1
257  x^{3} − x^{2} − 4x + 3
725  x^{4} − x^{3} − 3x^{2} + x + 1
725  x^{4} − 2x^{3} − 2x^{2} + 3x + 1
2048  x^{4} − 4x^{2} + 2
2777  x^{4} − 5x^{2} + x + 4
3981  x^{4} − x^{3} − 5x^{2} + 3x + 5
14641  x^{5} − x^{4} − 4x^{3} + 3x^{2} + 3x − 1
24217  x^{5} − 5x^{3} − x^{2} + 5x + 1
24217  x^{5} − 2x^{4} − 3x^{3} + 6x^{2} − 1
24217  x^{5} − 2x^{4} − 4x^{3} + 7x^{2} + 4x − 5
36497  x^{5} − x^{4} − 5x^{3} + 3x^{2} + 6x − 1
65657  x^{5} − x^{4} − 5x^{3} + 4x^{2} + 5x − 3
81509  x^{5} − x^{4} − 5x^{3} + 3x^{2} + 5x − 2
371293 x^{6} − x^{5} − 5x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} − 3x − 1
485125 x^{6} − 2x^{5} − 4x^{4} + 8x^{3} + 2x^{2} − 5x + 1
592661 x^{6} − x^{5} − 5x^{4} + 4x^{3} + 5x^{2} − 2x − 1
20134393 x^{7} − x^{6} − 6x^{5} + 4x^{4} + 10x^{3} − 4x^{2} − 4x + 1
32354821 x^{7} − 2x^{6} − 5x^{5} + 9x^{4} + 6x^{3} − 8x^{2} − x + 1

…

On peut remarquer que cette liste contient les discriminants minimaux pour les corps totalement réels de degrés 1, 2, 3, 4, 5 et 7.

B– La deuxième méthode consiste à ne considérer qu’un seul polynôme P_{0} (de grand degré) et à construire d’autres polynômes de même degré (ou de degré voisin) ayant un résultant égal à ±1 avec P_{0}. Cela peut se faire en construisant les unités du corps de nombres engendré par une racine θ de P_{0}. On exprime alors ces unités en fonction de θ, ce qui nous donne un polynôme U de degré inférieur au degré de P_{0}, et en général non-unitaire. On peut alors étudier le polynôme P_{0} ± U.

Exemple : À partir du polynôme P_{0} de l’exemple précédent, on construit les polynômes suivants de degré 14 et totalement réels :

disc^{\frac{1}{14}} P_{0} + U
21.946 x^{14} − 3x^{13} − 10x^{12} + 34x^{11} + 36x^{10} − 150x^{9} − 52x^{8} + 324x^{7}
+11x^{6} − 351x^{5} + 38x^{4} + 170x^{3} − 25x^{2} − 23x + 1
22.902 x^{14} − 3x^{13} − 10x^{12} + 32x^{11} + 39x^{10} − 132x^{9} − 74x^{8} + 262x^{7}
+67x^{6} − 251x^{5} − 19x^{4} + 99x^{3} − 6x^{2} − 9x + 1
23.074 x^{14} − 4x^{13} − 6x^{12} + 38x^{11} + 3x^{10} − 137x^{9} + 44x^{8} + 234x^{7}
−103x^{6} − 193x^{5} + 82x^{4} + 69x^{3} − 22x^{2} − 8x + 1
23.301 x^{14} − 4x^{13} − 7x^{12} + 41x^{11} + 10x^{10} − 164x^{9} + 33x^{8} + 321x^{7}
−120x^{6} − 311x^{5} + 134x^{4} + 126x^{3} − 52x^{2} − 8x + 1
23.426 x^{14} − x^{13} − 13x^{12} + 10x^{11} + 67x^{10} − 36x^{9} − 172x^{8} + 55x^{7}
+226x^{6} − 30x^{5} − 140x^{4} − x^{3} + 33x^{2} + 3x − 1
23.489 x^{14} − 4x^{13} − 6x^{12} + 38x^{11} + 3x^{10} − 138x^{9} + 47x^{8} + 238x^{7}
−120x^{6} − 193x^{5} + 110x^{4} + 58x^{3} − 36x^{2} + 1
23.865 x^{14} − 3x^{13} − 9x^{12} + 30x^{11} + 30x^{10} − 114x^{9} − 47x^{8} + 206x^{7}
+38x^{6} − 179x^{5} − 19x^{4} + 65x^{3} + 7x^{2} − 6x − 1
23.869 x^{14} − 3x^{13} − 11x^{12} + 35x^{11} + 49x^{10} − 162x^{9} − 114x^{8} + 375x^{7}
+147x^{6} − 448x^{5} − 99x^{4} + 253x^{3} + 26x^{2} − 49x + 1
23.938 x^{14} − 3x^{13} − 9x^{12} + 31x^{11} + 27x^{10} − 120x^{9} − 24x^{8} + 214x^{7}
−21x^{6} − 173x^{5} + 40x^{4} + 53x^{3} − 14x^{2} − 4x + 1

Ce même exemple a permis de construire des centaines d’autres polynômes en toutes signatures (avec toujours r_{1} grand). Domaine d’Utilisation de la Méthode : Ces méthodes permettent de trouver des polynômes ayant de nombreuses racines réelles dès lors que les polynômes utilisés dans la construction ont eux-mêmes de nombreuses racines réelles. Les exemples précédents montrent que l’on peut trouver ainsi quelques polynômes dont le degré atteint 23 (et même 25). Pour des degrés inférieurs, on peut obtenir de nombreux polynômes, et cette méthode s’avère donc particulièrement adaptée aux signatures réelles pour les degrés de l’ordre de 14.

La principale difficulté de la méthode A est la résolution du système algébrique Res(P, P_{i}) = ±1, et les degrés des polynômes ainsi construits sont au plus de l’ordre d’une dizaine. Si l’on se contente d’une construction de la forme ∏ P_{i}±1, on peut doubler les degrés obtenus.

La difficulté de la seconde méthode est la recherche des unités fondamentales du corps de nombres défini par P_{0}, puis le grand nombre d’unités à regarder. On peut ainsi atteindre le degré 15. En ce qui concerne les unités fondamentales, on peut peut-être se contenter d’avoir beaucoup d’unités, quel que soit le moyen de les obtenir. Un premier moyen consiste à factoriser le polynôme P_{0}±U où U(θ) est déjà une unité, et en commençant par exemple à partir de U = 1. Un deuxième moyen consiste simplement à regarder parmi les polynômes de petits discriminants déjà trouvés si certains ont un résultant 1 avec P_{0}. Ce dernier moyen est efficace si l’on admet le principe qui gouverne toute cette méthode, à savoir que les polynômes de petits discriminants ont souvent des résultants égaux à ±1.

IV.2.2 Polynômes Factorisables

Dans cette partie, nous donnons les plus petits discriminants pour les polynômes factorisables.

Proposition IV.2.7 Soient P_{1},…,P_{n} des polynômes de degré 1, et p ⩽ n − 2 un nombre premier. Le discriminant de ∏ P_{i} est divisible par p^{2(n−p−1)}.

En particulier, si n ⩾ 4 le discriminant est divisible par 4^{n−3}, et si n ⩾ 5 le discriminant est divisible par 9^{n−4}.

Preuve : On commence par le montrer pour n = p + 2. Dans ce cas, lorsque l’on réduit modulo p, il n’y a que p + 1 réductions possibles à une constante inversible près : 1, x, x + 1, …, x + p − 1. Ainsi, parmi les n = p + 2 polynômes, il en existe au moins deux qui ont la même réduction modulo p, et leur résultant est divisible par p.

Lorsque l’on a n ⩾ p + 2 polynômes, une simple récurrence (sur n) permet de montrer qu’il y a au moins n − p − 1 résultants qui sont divisibles par p. Comme les résultants interviennent au carré dans le discriminant du produit, on a le résultat annoncé. ■

Comme application immédiate de cette proposition, on montre que les discriminants minimaux de produits de facteurs linéaires sont donnés jusqu’au degré 5 par

d disc polynôme
1  1 x
2  1 x(x − 1)
3  1 x(x − 1)(2x − 1)
4  4 x(x − 1)(2x − 1)(3x − 1)
5 144 x(x − 1)(2x − 1)(3x − 1)(4x − 1)

Contrairement à ce que pourrait laisser croire ce tableau, le polynôme P = x(x−1)(2x− 1)(3x − 1)(4x − 1)(5x − 1) ne donne pas le discriminant minimum pour le degré 6. En effet, le discriminant de P vaut 82944, alors que le discriminant de Q = x(x − 1)(2x − 1)(3x − 1)(4x − 1)(5x − 2) ne vaut que 46656.

Bien que cela ne soit pas complètement nécessaire, nous introduisons ici la notion d’unité exceptionnelle, qui nous permet de traduire dans un autre langage la propriété qu’ont certains polynômes d’avoir des résultants égaux à ±1. Nous reviendrons sur cette traduction à propos des polynômes fortement premiers entre eux. Dans ce paragraphe, nous utilisons cette notion uniquement pour montrer que certains résultants ne sont pas triviaux. Définition : On dit qu’une unité θ d’un corps de nombres K est une unité exceptionnelle si 1 − θ est aussi une unité de K.

Proposition IV.2.8 Soient P_{1},P_{2} et P_{3} trois polynômes linéaires, et Q un polynôme irréductible de degré au moins 2. Si les quatre polynômes sont fortement premiers entre eux (i.e. si tous les résultants deux à deux sont égaux à ±1), alors le corps K = ℚ(α) engendré par une racine α de Q contient une unité exceptionnelle.

Les seules unités exceptionnelles de degré 2 sont les racines des polynômes x^{2} ± x − 1, et x^{2} − (2 ± 1)x + 1, dont les discriminants sont −3 et 5.

Preuve : Quitte à faire une transformation de GL_{2}(ℤ) (qui ne change pas les résultants, ni le corps K), on peut toujours supposer que P_{1} = x. Les autres polynômes sont alors de la forme

\begin{aligned}P_{2} & = ax + 1 \\ P_{3} & = (a + 1)x + 1 \\ Q(0) & = 1 \end{aligned}

Si on prend les polynômes réciproques, (ce qui est une transformation de GL_{2}(ℤ)), les nouveaux polynômes sont de la forme

\begin{aligned}P′_{2} & = x + a \\ P′_{3} & = x + a + 1 \end{aligned}

et Q′ est un polynôme unitaire. On peut faire le changement de variables y = x + a + 1 (qui est encore une transformation de GL_{2}(ℤ)), et on trouve les polynômes x, x − 1 et Q′′ dont les résultants sont ±1. Si β est une racine de Q′′ (qui est dans le corps K), c’est une unité car Q′′ est unitaire et son résultant avec x est 1. Enfin 1 − β est aussi une unité puisque sa norme est Res(x − 1, Q′′) = ±1.

Si P = x^{2} + ax + b, les relations Res(P, x) = ±1 et Res(P, x − 1) = ±1 forment un système linéraire à deux inconnues et deux équations, dont les solutions donnent les polynômes annoncés. ■

Le théorème que nous démontrons maintenant donne les discriminants minimaux pour chaque signature jusqu’au degré 7. Nous remarquons que tous les discriminants minimaux sont atteints par des polynômes non irréductibles (sauf pour la signature d.r_{1} = 2.0 pour une raison évidente). Remarquons aussi que pour chaque degré, le plus petit discriminant est atteint lorsque r_{1} = 2 ou 3, contrairement au cas des polynômes irréductibles où le plus petit discriminant est atteint pour r_{1} = 0 ou 1.

La preuve utilise essentiellement les Propositions IV.1.2 et IV.2.7, ainsi que la connaissance des discriminants minimaux des polynômes irréductibles jusqu’au degré 7.

Théorème V Les discriminants donnés dans le tableau suivant sont les discriminants minimaux pour chaque signature.

d.r_{1}  disc \sqrt[d]{| disc |} polynôme
1.1  1  1.000 x
2.0  −3  1.732 x^{2} + x + 1
2.2  1  1.000 x(x − 1)
3.1  −3  1.442 x(x^{2} + x + 1)
3.3  1  1.000 x(x − 1)(2x − 1)
4.0  12  1.861 (x^{2} + 1)(x^{2} − x + 1)
4.2  −3  1.316 x(x − 1)(x^{2} − x + 1)
4.4  4  1.414 x(x − 1)(2x − 1)(3x − 1)
5.1  12  1.644 x(x^{2} + 1)(x^{2} − x + 1)
5.3  −3  1.246 x(x − 1)(2x − 1)(3x^{2} − 3x + 1)
5.5  5  1.380 x(x − 1)(2x − 1)(x^{2} + x − 1)
6.0 −180  2.376 (x^{2} + 1)(x^{2} + x + 1)(2x^{2} + x + 2)
6.2 12 1.513 x(x − 1)(x^{2} − x + 1)(2x^{2} − 2x + 1)
6.4 −23  1.686 x(x − 1)(2x − 1)(x^{3} − x^{2} + 2x − 1)
6.6 20 1.647 x(x − 1)(2x − 1)(3x − 1)(x^{2} − 3x + 1)
7.1 −276  2.232 (x^{2} + 1)(x^{2} − x + 1)(x^{3} − x^{2} + 2x − 1)
7.3 48 1.738 x(x − 1)(2x − 1)(2x^{2} − 2x + 1)(3x^{2} − 3x + 1)
7.5 −92  1.908 x(x − 1)(2x − 1)(3x − 1)(7x^{3} − 11x^{2} + 6x − 1)
7.7 160  2.065 x(x − 1)(x + 1)(2x^{2} − 1)(x^{2} + x − 1)

Preuve : Dans cette preuve, nous regardons chaque signature séparément.

Comme le discriminant est entier non nul, il est toujours supérieur ou égal à 1 en valeur absolue. Pour les signatures d.r_{1} = 1.1, 2.2, 3.3, on a donc le minimum.

Pour les signatures d.r_{1} = 2.0, 3.1, 4.2, 5.3, on a toujours r_{2} = 1, et les discriminants sont donc négatifs d’après la Proposition IV.1.1. Comme ils sont congrus à 0 ou 1 modulo 4, il est clair que −3 est la meilleure valeur possible.

Dorénavant, et jusqu’à la fin de cette démonstration, par discriminant, nous entendrons toujours la valeur absolue du discriminant du polynôme.

Un polynôme de signature d.r_{1} = 4.0 est soit irréductible, soit le produit de deux irréductibles de signature 2.0. Dans le premier cas, le discriminant est au moins égal à 117. Dans le deuxième cas, notons P = P_{1}P_{2}. Le discriminant de P est égal à disc(P_{1}) disc(P_{2}) Res^{2}(P_{1}, P_{2}). Le produit des deux discriminants est au moins égal à 3·3 = 9. La seule possibilité pour obtenir un discriminant strictement plus petit que 12 est d’avoir Res(P_{1}, P_{2}) = ±1 et | disc(P_{1})| = | disc(P_{2})| = 3, on aurait alors disc(P) = 9. Or, d’après le Corollaire IV.1.3, ceci est impossible. De là, on déduit que 12 est le discriminant minimal pour cette signature.

Si un polynôme de signature d.r_{1} = 4.4 est divisible par un polynôme irréductible de degré au moins 2, alors son discriminant est divisible par un entier au moins égal à 5 (qui est le discriminant minimal pour un polynôme irréductible de signature 2.2). Tout polynôme de discriminant inférieur est donc le produit de quatre facteurs linéaires. Or, d’après la Proposition IV.2.7 le discriminant d’un tel produit est au moins égal à 4, ce qui est le cas de notre polynôme.

Soit P un polynôme de signature d.r_{1} = 5.1 et de discriminant inférieur à 12. Il ne peut avoir de facteur irréductible de degré 3, 4 ou 5, sinon ce facteur imposerait que le discriminant soit au moins égal à 23. Les facteurs irréductibles de P sont donc de degré au plus 2. Comme 5 est impair, au moins un des facteurs est de degré 1. En fait, il n’y a qu’un seul facteur linéaire, car P n’a qu’une seule racine réelle. Le polynôme P est donc de la forme P_{1}P_{2}P_{3} où P_{1} est de degré 1, et P_{2} et P_{3} de signature 2.0. Le résultat pour la signature 4.0 montre que P_{1}P_{2} est de discriminant au moins 12. L’exemple donné montre alors que 12 est le minimum.

Soit P un polynôme de signature d.r_{1} = 5.5 de discriminant plus petit que 5. P ne peut pas avoir cinq facteurs linéaires à cause de la Proposition IV.2.7. Ainsi, P possède au moins un facteur irréductible de degré 2, et donc son discriminant est au moins 5.

Montrons que le discriminant 180 est le minimum pour la signature d.r_{1} = 6.0. Soit P un polynôme de cette signature dont le discriminant est plus petit. Comme toutes ses racines sont complexes, tous ses facteurs irréductibles sont de degré pair. Si P est irréductible, alors son discriminant vaut au moins 9747. Si P a un facteur irréductible de degré 4, alors ce facteur a un discriminant au moins égal à 117, mais le facteur de degré 2 restant a un discriminant au moins égal à 3, et donc le discriminant de P est supérieur à 351. Il ne nous reste plus qu’à regarder le cas où P a trois facteurs P_{1},P_{2} et P_{3} de signature 2.0. Supposons que D_{1} = | disc P_{1}| soit le plus petit discriminant, et que D_{3} = | disc P_{3}| soit le plus grand. Comme le discriminant de P est inférieur à 180, alors D_{1} vaut 3 ou 4. Si D_{1} = 4 alors les résultants des trois polynômes sont tous égaux à 1, sinon le discriminant de P serait plus grand que 256. Mais le Corollaire IV.1.3 montre que les discriminants ne peuvent pas être égaux, et donc le discriminant de P vaut au moins 4 · 7 · 8 = 224. Il nous reste à regarder le cas où D_{1} = 3. Si deux facteurs ont le même discriminant (négatif), alors leur résultant vaut au moins 4 d’après le Corollaire IV.1.3, et le discriminant de P vaut au moins 3^{2} · 4^{2} = 432. Cela prouve que les trois polynômes ont des discriminants différents, qui valent au moins 3, 4 et 7. Comme le discriminant de P est inférieur à 180, alors les résultants des trois polynômes sont égaux à 1, et D_{3} est inférieur à 15. Comme P_{1} et P_{2} ont un résultant égal à 1, alors le Corollaire IV.1.3 montre que D_{2} vaut 4 ou 15. Cela est également vrai pour D_{3}. Ainsi, le meilleur discriminant possible est 180, atteint par notre exemple avec D_{1} = 3, D_{2} = 4 et D_{3} = 15.

Soit P un polynôme de signature d.r_{1} = 6.2. Si P a un facteur irréductible de degré au moins 3, alors son discriminant vaut au moins 23. Si P n’a que des facteurs de degré égal à 2, alors son discriminant vaut au moins 3 · 3 · 5 = 45. Dans le dernier cas, P a deux facteurs irréductibles P_{1} et P_{2} de signature 2.0, et deux facteurs linéaires. Le résultat pour la signature 4.0 montre que le discriminant de P_{1}P_{2} est au moins 12. Ceci prouve que notre exemple donne le plus petit discriminant possible.

Pour la signature d.r_{1} = 6.4, supposons qu’il existe un polynôme P de discriminant inférieur à 23. Ce polynôme ne peut avoir de facteur irréductible de degré 3 ou plus, sinon son discriminant serait supérieur à 23. Si tous les facteurs irréductibles de P étaient de degré 2, alors son discriminant serait supérieur à 3·5·5 = 75. S’il y a deux facteurs irréductibles P_{1} et P_{2} de degré 2, alors ils sont de signature 2.0 et 2.2 et de discriminant |D_{1}| ⩾ 3 et D_{2} ⩾ 5. Or, le Corollaire IV.1.3 montre que le résultant de ces deux polynômes vérifie l’inégalité 4 Res(P_{1}, P_{2}) ⩾ D_{1}D_{2} ⩾ 15. Dans ce cas, le résultant vaut au moins 4, et le discriminant de P vaut au moins 3 · 5 · 4^{2} = 240. Il ne reste plus qu’à regarder le cas où P a quatre facteurs linéaires P_{1},…,P_{4} et un facteur irréductible P_{5} de signature 2.0. S’il y a r résultants supérieurs ou égaux à 2 entre les P_{i}, alors on a l’inégalité 3·4^{r} < 23, ce qui implique r = 0 ou 1. Mais il y a au moins un résultant supérieur à 2 entre les facteurs linéaires. On a donc r = 1. Supposons que Res(P_{1}, P_{2}) > 1, alors en posant Q = P_{1}P_{2}, on a disc Q = Res^{2}(P_{1}, P_{2}) ⩾ 4. La Proposition IV.1.2 affirme alors que 4 Res(P_{5}, Q) = δ^{2} + | disc(Q) disc(P_{5})| ⩾ 12. Ceci implique que P_{5} a un résultant au moins égal à 3 avec Q, et donc au moins égal à 2 avec l’un des P_{i}. Comme ceci est en contradiction avec le fait que r = 1, on déduit que le discriminant minimal pour la signature d.r_{1} = 6.4 est 23.

Pour la signature d.r_{1} = 6.6, supposons qu’il existe un polynôme P de discriminant inférieur à 20. Ce polynôme ne peut avoir de facteur irréductible de degré 3 ou plus, sinon son discriminant serait supérieur à 23. Donc, tous les facteurs irréductibles de P sont de degré au plus 2. Si P a au moins un facteur irréductible de degré 2, alors il est de signature 2.2, et son discriminant est au moins 5. La facteur restant est de signature 4.4, non nécessairement irréductible. Le résultat pour cette signature montre que son discriminant est au moins 4. Dans ce cas, le discriminant de P est donc au moins égal à 4 · 5 = 20. Il ne reste plus que le cas où P n’a que des facteurs linéaires. Dans ce dernier cas, la Proposition IV.2.7 montre que le discriminant de P est au moins 4^{3} = 64. Ceci prouve que 20 est bien le discriminant minimal pour cette signature.

Pour la signature d.r_{1} = 7.1, supposons qu’il existe un polynôme P de discriminant inférieur à 276. Ce polynôme ne peut avoir de facteur irréductible de degré 5 ou plus, sinon son discriminant serait supérieur à 1609. S’il contient un facteur irréductible de degré 4, alors le discriminant de ce facteur est au moins 117, et le facteur restant (non nécessairement irréductible) est de signature 3.1, donc de discriminant au moins 3, ainsi, le polynôme P a un discriminant au moins 117·3 = 351. Nous sommes maintenant dans le cas où les facteurs irréductibles de P sont de degré au plus 3. Si P a un tel facteur de degré 3, alors le facteur restant est de signature 4.0, et le résultat pour cette signature impose que le discriminant de P soit au moins égal à 23·12 = 276. Il ne reste plus qu’à regarder le cas où tous les facteurs irréductibles de P sont de degré au plus 2. Dans ce cas, les racines complexes forcent P à être le produit de trois polynômes irréductibles P_{1},…,P_{3} de signature 2.0 et d’un polynôme linéaire P_{4}. Le Corollaire IV.1.3 montre que si deux des trois polynômes P_{1}, P_{2}, P_{3} ont le même discriminant, alors leur résultant est supérieur à 4, et le discriminant de P est au moins égal à 3^{3} · 4^{2} > 276. Il faut encore regarder le cas où les trois polynômes P_{1}, P_{2} et P_{3} ont des discriminants différents. Notons r le nombre de résultants non égaux à 1 entre les P_{i}. On a la majoration 3 · 4 · 7 · 4^{r} < 276, ce qui implique que r = 0. Les relations alors imposées par la Proposition IV.1.2 montrent que ces discriminants ne peuvent prendre que les valeurs 3, 4 et 15. Quitte à faire une transformation de SL_{2}(ℤ) (qui laisse invariants les discriminants et les résultants), on peut supposer que P_{4} = x. Ainsi, les autres polynômes sont de la forme P_{i} = a_{i}x^{2} + b_{i}x + 1. On a les relations b_{1}^{2} − 4a_{1} = −3, b_{2}^{2} − 4a_{2} = −4, et b_{3}^{2} − 4a_{3} = −15. Si l’on remplace a_{i} par son expression en fonction de b_{i} dans le résultant de P_{2} et P_{3}, on trouve la relation (b_{2} − b_{3})^{2} + 19 = ±16, qui est impossible. Nous devons donc conclure que le plus petit discriminant possible pour la signature d.r_{1} = 7.1 est 276.

Étudions le cas de la signature d.r_{1} = 7.3, et supposons qu’il existe un polynôme de discriminant inférieur à 48. S’il a un facteur irréductible de degré au moins 4, alors son discriminant est au supérieur à 117. S’il contient un facteur irréductible de degré 3, alors le discriminant de ce facteur est au moins égal à 23, mais parmi les facteurs restants, il y en au moins un qui a deux racines complexes, et dont le discriminant est supérieur ou égal à 3, ce qui montre que le discriminant de P est au moins égal à 23 · 3 = 69. Regardons maintenant le dernier cas où tous les facteurs irréductibles de P sont de degré inférieur ou égal à 2. Il y a au moins deux facteurs irréductibles de signature 2.0, et le discriminant de leur produit est au moins égal à 12. S’il y a un autre facteur de degré 2, alors il est de signature 2.2, et son discriminant est au moins 5, ce qui rend le discriminant de P supérieur ou égal à 12 · 5 = 60. Nous avons donc trois facteurs P_{1},P_{2} et P_{3} de degré 1, et deux facteurs P_{4} et P_{5} de signature 2.0. Si P_{4} et P_{5} ont le même discriminant, alors leur résultant est supérieur à 4, et le discriminant de P est supérieur à 3^{3} · 4^{2} = 144, mais ceci est contraire à l’hypothèse, donc ces deux discriminants sont différents. Notons r le nombre de résultants supérieurs à 2 entre les P_{i}. On a la majoration 12 · 4^{r} < 48, qui implique que r = 0. La Proposition IV.2.8 montre alors que les discriminants de P_{4} et P_{5} devraient être égaux, ce qui n’est pas le cas. Ainsi, 48 est le discriminant minimal pour la signature d.r_{1} = 7.3.

Pour la signature d.r_{1} = 7.5, supposons que P est un polynôme de discriminant inférieur à 92. Il ne peut pas avoir de facteur irréductible de degré supérieur à 4, sinon son discriminant serait supérieur à 117. Si P avait un facteur irréductible de signature 3.3, alors il aurait aussi un facteur de signature 2.0, et donc son discriminant serait au moins égal à 49 · 3 = 147. De même, si P avait un facteur de signature 3.1, alors le facteur restant serait de signature 4.4, et le résultat pour cette signature montrerait que le discriminant de P serait au moins égal à 23 · 4 = 92. Ainsi, tous les facteurs irréductibles de P sont de degré au plus 2. Il existe exactement un facteur P_{1} de signature 2.0. Le discriminant de P_{1} est au moins 3. Notons P = P_{1}P_{2}. Le polynôme P_{2} est de signature 5.5. Si P_{2} est un produit de cinq facteurs linéaires, alors la Proposition IV.2.7 montre que son discriminant est divisible par 4^{2} · 9 = 144, ce qui est supérieur à 92. Si P_{2} a un facteur irréductible P_{3} de degré 2, et de signature 2.2, alors la Proposition IV.1.2 montre que le résultant de P_{1} et P_{3} est au moins égal à 4, et comme le discriminant de P_{3} est au moins 5, le discriminant de P est supérieur ou égal à 3 · 5 · 4^{2} = 240. Il ne reste plus qu’à regarder le cas où P_{2} possède deux facteurs irréductibles P_{3} et P_{4} de degré 2 et un facteur linéaire. Si P_{3} et P_{4} ont le même discriminant, alors leur résultant est au moins égal à 4, et le discriminant de P est supérieur à 3 · 5^{2} · 4^{2} = 1200. Si enfin les discriminants de P_{3} et P_{4} sont distincts, alors le discriminant de P est au moins égal à 3 · 5 · 8 = 120. Dans tous les cas, nous avons montré que le discriminant de P est au moins égal à 92.

Il ne reste plus qu’à étudier le cas de la signature d.r_{1} = 7.7. Supposons que P a un discriminant inférieur à 160. Il ne peut pas avoir de facteur irréductible de degré supérieur à 4, sinon son discriminant serait supérieur à 725. Si P avait un facteur irréductible de degré 3, alors le facteur restant serait de signature 4.4, et le résultat pour cette signature montrerait que le discriminant de P serait au moins égal à 49 · 4 = 196. Il nous reste à regarder les cas où les facteurs irrductibles de P sont de degré au plus 2. Notons n le nombre de facteurs linéaires de P. Si n = 7, alors la Proposition IV.2.7 montre que le discriminant de P est divisible par 4^{4} · 9^{3} · 25 > 160. Si n = 5, alors la même proposition montre que le discriminant de P est au moins égal à 5 · 4^{2} · 9 = 720. Si n = 1, alors chaque facteur irréductible a un discriminant au moins égal à 5. Si l’un de ces discriminants est plus grand que 5, alors il vaut au moins 8, et alors le discriminant de P est au moins égal à 5^{2} ·8 = 200. Si en revanche, tous les discriminants sont égaux à 5, alors les résultants sont au moins égaux à 4, et le discriminant de P est bien supérieur à 160. Regardons enfin le cas n = 3. Si les trois facteurs linéaires sont de résultants 1 entre eux, alors on est dans la situation de la Proposition IV.2.8, qui montre que les discriminants des deux facteurs de degré 2 sont égaux à 5. Dans ce cas, ces deux facteurs ont un résultant au moins égal à 4, et le discriminant de P est au moins égal à 5^{2} · 4^{2} = 400. Si les trois facteurs linéaires ont un résultant supérieur à 2, alors le discriminant de leur produit est au moins 4. Le discriminant du produit des deux facteurs de degré 2 est au moins égal à 5^{2} · 4^{2} = 200 lorsque leurs discriminants sont égaux, et au moins égal à 5 · 840 lorsqu’ils sont différents. Dans tous les cas, on trouve que le discriminant de P est au moins égal à 40 · 4 = 160. ■

IV.3 Comportement Asymptotique des Petits Discriminants

Dans cette partie, nous essayons de trouver des familles infinies de polynômes {P_{n}} ayant des petits discriminants D_{n} = | disc P_{n}|. Nous nous plaçons dans le cas où d_{n} = deg P_{n} tend vers +∞, et nous regardons l’expression D_{n}^{1/d_{n}} lorsque n tend vers +∞.

Un exemple particulièrement simple de famille infinie de polynômes est la famille P_{n} = x^{n} − 1. Pour cette famille, on a d_{n} = n, et D_{n} = n^{n}. Cela s’exprime sous la forme :

D_{n}^{1/d_{n}} = d_{n}.

Le polynôme P_{n} = x^{n} − 1 est en général très factorisable. Les polynômes cyclotomiques Φ_{p} où p est un nombre premier donnent des discriminants du même ordre de grandeur pour des polynômes irréductibles. En effet, on a disc(Φ_{p}) = p^{p−2}, et d_{p} = p − 1 ce qui donne

D_{p}^{1/d_{p}} = (d_{p} + 1)^{1−1/d_{p}} ∼ d_{p}.

On atteint le même ordre de grandeur à partir du polynôme irréductible x^{n} − 2.

Évidemment, ces deux familles de polynômes donnent des discriminants bien supérieurs aux bornes d’Odlyzko, car celles-ci n’impliquent seulement que

D_{n}^{1/d_{n}} ⩾ Cte.

Toutefois, nous estimerons qu’une famille de polynômes donne des petits discriminants si l’on a

D_{n}^{1/d_{n}} < d_{n}.

Notation : Dans toute cette partie, p désignera toujours un nombre premier ⩾ 2.

Dans ce qui suit, presque tous nos exemples sont construits à partir des polynômes cyclotomiques. Pour cette raison, nous leur consacrons un paragraphe.

IV.3.1 Polynômes Cyclotomiques

Nous utiliserons le résultat suivant sur les discriminants des polynômes cyclotomiques :

Proposition IV.3.1 Le discriminant du polynôme cyclotomique Φ_{n} de degré ϕ(n) est donné par

| disc Φ_{n}|^{1/ϕ(n)} = n ∏_{p|n} p^{− \frac{1}{p−1}} = ϕ(n) ∏_{p|n} (\frac{p^{1− \frac{1}{p−1}}}{p − 1} )

où ϕ(n) est l’indicateur d’Euler.

Preuve : Voir [Was][p.12]. ■

Proposition IV.3.2 Soient m et n deux entiers tels que 1 < m < n et m ∤ n. Alors, on a

Res(Φ_{m}, Φ_{n}) = ±1.

Preuve : Soit a = (m, n) le pgcd de m et n, et notons m = am′ et n = an′. Les relations Φ_{m}(x) | Φ_{m′}(x^{a}) et Φ_{n}(x) | Φ_{n′}(x^{a}) montrent que Res(Φ_{m}, Φ_{n}) | Res(Φ_{m′}(x^{a}), Φ_{n′}(x^{a})). Mais on a aussi Res(Φ_{m′}(x^{a}), Φ_{n′}(x^{a})) | Res(Φ_{m′}(x), Φ_{n′}(x))^{a}. Comme m ∤ n alors on a l’inégalité 1 < m′ < n′, ce qui prouve que l’on s’est ramené au cas où m et n sont premiers entre eux.

Supposons donc maintenant que m et n sont premiers entre eux. On sait déjà que Res(Φ_{m}, Φ_{n}) divise Res(x^{m} −1, Φ_{n})/ Res(x−1, Φ_{n}). Or, le résultant Res(x^{m} −1, Φ_{n}) est, au signe près, la norme de l’élément ζ_{n}^{m} − 1 dans l’extension ℚ(ζ_{n})/ℚ. Comme m est premier à n, ζ_{n}^{m} est un conjugué de ζ_{n}, et ζ_{n}^{m} − 1 est un conjugué de ζ_{n} − 1. En particulier, ces deux éléments ont la même norme. En termes de résultants, ceci signifie que Res(x^{m} − 1, Φ_{n}) = Res(x − 1, Φ_{n}). Nous avons donc montré que Res(Φ_{m}, Φ_{n}) = ±1. ■

Proposition IV.3.3 Soient m et n deux entiers tels que 1 ⩽ m < n. Si | Res(Φ_{m}, Φ_{n})| > 1 alors m | n et \frac{m}{n} est la puissance d’un nombre premier.

Preuve : D’après la Proposition IV.3.2 on a déjà m | n. Notons n = mq. On a alors

Res(Φ_{m}, Φ_{n}) | Res(Φ_{1}(x^{m}), Φ_{q}(x^{m})) | Res(x − 1, Φ_{q})^{m}

Rappelons maintenant que si p est un nombre premier, alors Res(x−1, Φ_{p}) = p. Ceci montre que si q = pq′, alors Res(x − 1, Φ_{q}) | Res(x − 1, Φ_{p}(x^{q′})) = p. Ainsi, si q est divisible par deux nombres premiers distincts, le résultant de x−1 et Φ_{q} est nécessairement trivial. Nous avons donc prouvé la proposition. ■

IV.3.2 Familles de Polynômes Irréductibles

Nous cherchons ici à étudier la plus petite valeur possible du discriminant d’un polynôme à coefficients entiers de degré d irréductible, et en particulier d’en regarder le comportement lorsque d tend vers +∞. Notation : Nous noterons M_{irr}(d) la valeur minimale de | disc(P)|^{1/d} lorsque P parcourt l’ensemble des polynômes de ℤ[x] irréductibles de degré d.

Les bornes de Minkowski (ou d’Odlyzko) montrent qu’il existe une constante c > 1 telle que pour tout d > 1, on ait l’inégalité 1 < c < M_{irr}(d). Cette constante peut être choisie relativement grande si on la remplace par c+o(1). Si l’on regarde les discriminants des corps de nombres, cette inégalité est optimale car il existe des familles de corps de nombres K_{d} de degré d tendant vers +∞ pour lesquels la suite | disc(K)|^{1/d} est constante. De telles familles ont été décrites par exemple par J. Martinet dans [Mar a] en exhibant des tours de Hilbert infinies. Pour les polynômes, l’inégalité reste vraie, mais elle n’est peut-être pas optimale, car les indices peuvent rendre les discriminants des polynômes démesurés, y compris lorsque les discriminants des corps de nombres qu’ils définissent restent petits.

Nous proposons des exemples qui donnent des majorations de M_{irr}(d) pour certaines valeurs de d. Commençons par donner le résultat simple suivant :

Proposition IV.3.4 Soit P un polynôme unitaire à coefficients entiers de degré d et de discriminant | disc(P)| = D. Supposons de plus que P (0) = ±1. Posons P_{n} = P (x^{n}). On a

D_{n}^{1/d_{n}} = \frac{D^{1/d}}{d} d_{n}

De plus, si P est irréductible de degré d ⩾ 2, alors il existe une infinité de n pour lesquels P_{n} est irréductible.

Preuve : Comme P est unitaire, P_{n} est aussi unitaire, et on a

| disc P_{n}| = | Res(P (x^{n}), nx^{n−1}P′(x^{n}))|

D’où

| disc P_{n}| = n^{dn}|P (0)|^{n−1}| Res(P (x^{n}), P′(x^{n}))|
= n^{dn}| disc(P)|^{n}

Comme on a d_{n} = dn, on obtient l’expression annoncée pour le discriminant.

Si P est un polynôme cyclotomique (différent de x − 1), alors le choix n = 2^{m} donne le polynôme P (x^{2^{m}}) qui est irréductible.

Supposons maintenant que n soit un nombre premier assez grand, et que P ne soit pas cyclotomique. Comme P est irréductible de degré d ⩾ 2, une racine α de P engendre un corps de nombres K de degré d sur ℚ. Comme P (0) = ±1, α est une unité non triviale dans ce corps. Si n est assez grand, alors α ne peut pas être une puissance n-ième dans K (car α n’est pas une racine de l’unité) et l’extension L de K engendrée par une racine β de x^{n} − α = 0 est non triviale de degré n. Le corps L est donc de degré pd sur ℚ engendré par l’élément primitif β. Comme β est une racine du polynôme P (x^{n}), ce polynôme est irréductible. ■ Remarque : Dans cet exemple, on exhibe une famille de polynômes P_{n} telle que le rapport D_{n}^{1/d_{n}}/d_{n} soit constant. Cela montre que si l’on peut trouver un polynôme pour lequel le rapport D^{1/d}/d est plus petit que 1, alors on peut en trouver une infinité ayant le même rapport.

Nous donnons maintenant un exemple pour lequel la suite des rapports D_{n}^{1/d_{n}}/d_{n} tend vers 0. Nous considérons ici certains polynômes cyclotomiques dont les indices bien choisis permettent de montrer que leurs discriminants sont petits.

Proposition IV.3.5 Soit n = ∏_{p⩽x} p, et P_{n} = Φ_{n}. Posons d_{n} = deg P_{n} et D_{n} = | disc P_{n}|. Lorsque x tend vers +∞, on a

D_{n}^{1/d_{n}} ∼ e^{2γ}d_{n} \frac{log log d_{n}}{log d_{n}}

Preuve : Nous partons de la Proposition IV.3.1 qui nous donne :

D_{n}^{1/d_{n}} = n ∏_{p⩽x}p^{− \frac{1}{p−1}} .

On a

log ∏_{p⩽x}p^{− \frac{1}{p−1}} = − ∑_{p⩽x} \frac{log p}{p − 1}.

Une des multiples formes du Théorème des Nombres Premiers affirme que ∑_{n⩽x} \frac{Λ(n)}{n} = log x−γ +o(1), où la fonction Λ est la fonction de Von Mangoldt, et γ la constante d’Euler. On déduit de cette égalité le développement suivant :

∑_{p⩽x} \frac{log p}{p − 1} = log x − γ + o(1).

Le Deuxième Théorème de Mertens, plus connu sous le nom de “Formule de Mertens” (voir [Ten][p.17]) donne

\frac{ϕ(n)}{n} ∼ \frac{e^{−γ}}{log x}.

Remarquons en particulier que cela implique que log n ∼ log ϕ(n). Nous avons donc

D_{n}^{1/d_{n}} ∼ ϕ(n) exp(− log x + γ + o(1))e^{γ} log x ∼ e^{2γ}ϕ(n) · \frac{log x}{x}.

Une autre forme du Théorème des Nombres Premiers est

∑_{p⩽x}log p ∼ x,

ce qui nous donne log ϕ(n) ∼ log n ∼ x. De l’égalité précédente, on déduit alors

D_{n}^{1/d_{n}} ∼ e^{2γ}ϕ(n)\frac{log log ϕ(n)}{log ϕ(n)}.

Il ne reste plus qu’à remplacer ϕ(n) par d_{n} pour obtenir le résultat annoncé. ■ L’exemple que nous venons de donner implique directement le corollaire suivant :

Corollaire IV.3.6 Il existe une suite d_{n} tendant vers +∞ telle que

M_{irr}(d_{n}) ⩽ d_{n} \frac{log log d_{n}}{log d_{n}} · (e^{2γ} + o(1)).

Il est intéressant de remarquer que dans l’exemple que nous avons construit pour montrer cette inégalité, les degrés d_{n} sont très factorisables. De même, dans l’exemple de J. Martinet d’une tour de Hilbert infinie, les degrés sont tous très factorisables (essentiellement des puissances de 2). Dans le cas extrême, pour les degrés premiers, presque rien n’est connu, y compris pour les corps de nombres. En particulier, on ne sait pas si le minimum M_{irr}(d_{n}) pour les corps de nombres est borné pour les degrés premiers. Aucune conjecture n’est aujourd’hui raisonnable sur cette question. D’autres questions sur le même sujet sont posées par Odlyzko dans [Odl].

IV.3.3 Polynômes Fortement Premiers Entre Eux

Définition : Nous dirons que les polynômes P_{1},…,P_{n} sont fortement premiers entre eux si tous les résultants Res(P_{i}, P_{j}) sont égaux à ±1 pour i ≠ j.

Si le calcul du résultant de deux polynômes de ℤ[x] est une opération algorithmiquement facile (par exemple par l’Algorithme du Sous-Résultant), il est en revanche beaucoup plus difficile de déterminer le résultant par la théorie. Les polynômes cyclotomiques (dont les résultants sont donnés par la Proposition IV.3.3) sont l’un des rares cas où cela est possible.

Il semble difficile de trouver des grandes familles de polynômes fortement premiers entre eux. Ces familles se sont pourtant avérées très utiles dans la recherche de petits discriminants. Nous nous sommes donc intéressés plus particulièrement à décrire de telles familles. Ce problème se pose probablement dans n’importe quel anneau de polynômes (à coefficients dans ℤ, ℚ ou ℂ, ou même dans un corps fini).

Les polynômes fortement premiers entre eux sont liés à la théorie des unités exceptionnelles. Rappelons qu’une unité exceptionnelle d’un corps est un entier algébrique u qui est une unité, et tel que 1 − u soit encore une unité. Ceci se traduit sur le polynôme minimal P de u par la relation

| Res(P, x)| = | Res(P, 1 − x)| = | Res(x, 1 − x)| = 1

Ainsi, toute unité exceptionnelle définit un triplet de polynômes fortement premiers entre eux. De même, si nous avons n polynômes P_{1},…,P_{n} fortement premiers entre eux tels que P_{1} = x, alors les racines u_{i} des polynômes P_{i} sont des unités à cause de la relation Res(P_{i}, x) = ±1, et forment une suite exceptionnelle car la relation Res(P_{i}, P_{j}) = ±1 implique que u_{i}−u_{j} est encore une unité. On remarque que la condition qui définit les suites exceptionnelles (”u_{i} − u_{j} est une unité”) est plus faible que la condition Res(P_{i}, P_{j}) = ±1, qui implique que les u_{i} − u_{j} sont des unités, ainsi que toutes les expressions obtenues par conjugaison des u_{i} et des u_{j}. En utilisant la théorie des unités exceptionnelles et des suites exceptionnelles, H. Lenstra montre que que certains corps sont euclidiens (voir [Len]). Il montre que les corps qui ont des suites exceptionnelles suffisamment longues sont euclidiens. Il se trouve que ces mêmes corps ont toujours des discriminants voisins des minimaux, sans que l’on sache démontrer le lien entre ces deux propriétés. Notation : Notons R1(d) le nombre maximum de polynômes à coefficients entiers de degré au plus d fortement premiers entre eux.

La proposition suivante montre que R1(d) est majoré :

Proposition IV.3.7 On a R1(d) < 2^{d+1}.

Preuve : Soient P_{1},…,P_{n} des polynômes à coefficients entiers de degré au plus d fortement premiers entre eux. Lorsque l’on réduit ces polynômes modulo 2, ils restent fortement premiers entre eux. En particulier, les réductions des polynômes doivent toutes être distinctes. Or, il n’existe que 2^{d+1} − 1 polynômes de degré au plus d dans 𝔽_{2}[x], ce qui prouve notre assertion. ■

D’après une suggestion de J-P. Serre, on peut améliorer cette majoration en regardant les facteurs irréductibles des polynômes dans 𝔽_{2}[x].

Proposition IV.3.8 On a

R1(d) ⩽ 1 + ∑_{k⩽d} \frac{2^{k}}{k} ∑_{l⩽ \frac{d}{k}} \frac{μ(l)}{l} = \frac{2^{d+1}}{d} (1 + O (\frac{1}{d}))

où μ(l) désigne la fonction de Moebius.

Preuve : Une application classique de la formule d’inversion de Moebius montre que le nombre de polynômes irréductibles de degré au plus d dans 𝔽_{2}[x] est donné par

∑_{k⩽d} \frac{2^{k}}{k} ∑_{l⩽ \frac{d}{k}} \frac{μ(l)}{l}.

Or, si l’on réduit une famille P_{1},…,P_{n} de polynômes fortement premiers entre eux, ils ne peuvent pas avoir de facteurs irréductibles communs. Comme il est possible qu’un polynôme soit congru à 1 modulo 2, on obtient la majoration annoncée.

Il reste à donner un équivalent de cette somme. Posons

f(d) = ∑_{k⩽d} \frac{2^{k}}{k} ∑_{l⩽ \frac{d}{k}} \frac{μ(l)}{l}

et

F (d) = ∑_{k⩽d} \frac{2^{k}}{k} .

Si l’on sépare dans f les termes pour \frac{d}{2} < k ⩽ d, on trouve

f(d) = F (d) − F (\frac{d}{2}) + ∑_{k⩽ \frac{d}{2}} \frac{2^{k}}{k} · ∑_{l⩽ \frac{d}{k}} \frac{μ(l)}{l}

On utilise la majoration | ∑_{l⩽ \frac{d}{k}} \frac{μ(l)}{l}| ⩽ 1 (on aurait pu se contenter de majorer par log d+1) pour déduire que l’on a

f(d) = F (d) − F (\frac{d}{2}) + O (F (\frac{d}{2})) = F (d) + O (F (\frac{d}{2})) .

Il n’y a plus qu’à donner un équivalent de la fonction F. Une sommation par parties donne

\begin{matrix}F (d) = & ∑_{k⩽d} \frac{2^{k}}{k} \\ = & \frac{2^{d+1}}{d} − ∑_{1⩽k⩽d} (\frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1}) 2^{k+1} + O(1) \end{matrix}

Or, le terme à l’intérieur de la somme est majoré par \frac{2^{k+1}}{k^{2}} , et donc la somme est O (\frac{2^{d}}{d^{2}} ). On déduit alors que

F (d) = \frac{2^{d+1}}{d} + O (\frac{2^{d}}{d^{2}} ) ,

et que

f(d) = F (d) + O (\frac{2^{\frac{d}{2}}}{d} ) = \frac{2^{d+1}}{d} + O (\frac{2^{d}}{d^{2}} ) ,

ce qui donne l’équivalent annoncé dans la proposition. ■

Une lecture attentive de la démonstration fait apparaître que l’on a seulement majoré le nombre de polynômes dont les résultants deux à deux sont impairs. Comme la condition d’être fortement premiers entre eux est beaucoup plus restrictive, il est probable que cette majoration puisse être améliorée. Toutefois, lorsque l’on prend d = 1, 2, 3 ou 4 on trouve les inégalités R1(1) ⩽ 3, R1(2) ⩽ 4, R1(3) ⩽ 6 et R1(4) ⩽ 9, qui sont optimales comme le montre la famille de polynômes fortement premiers entre eux donnée dans le tableau suivant :

d.r_{1}  disc polynôme
1.1  1 x
1.1  1 x − 1
1.1  1 2x − 1
2.2  5 x^{2} + x − 1
3.3  49 x^{3} + 3x^{2} − 4x + 1
3.3  49 x^{3} − 6x^{2} + 5x − 1
4.4 725 x^{4} − 6x^{2} + 5x − 1
4.2 −283 7x^{4} − 5x^{3} − 5x^{2} + 5x − 1
4.2 −507 3x^{4} + 3x^{3} − 10x^{2} + 6x − 1

Ainsi, on a

R1(1) = 3 R1(2) = 4
R1(3) = 6 R1(4) = 9

Les polynômes cyclotomiques fournissent une minoration non constante de R1(d) :

Proposition IV.3.9 On a l’inégalité suivante :

\frac{d + 1}{2} + 1 ⩽ R1(d).

Preuve : Si l’on considère les polynômes cyclotomiques Φ_{n} pour \frac{d+1}{2} < n ⩽ d + 1, on a une famille de N polynômes de degré au plus d avec N ⩾ \frac{d+1}{2}. Si \frac{d+1}{2} < n < n′ ⩽ d + 1 alors n ne peut pas diviser n′ et la Proposition IV.3.2 implique que ces polynômes sont fortement premiers entre eux. On peut ajouter à cette liste le polynôme x, car Res(x, Φ_{n}) | Res(x, x^{n} − 1) = ±1. Comme on a N + 1 ⩾ \frac{d+1}{2} + 1 polynômes fortement premiers entre eux, on a l’inégalité voulue. ■

Si l’on note ζ(s) = ∑ \frac{1}{n^{s}} la fonction de Riemann habituelle, on peut raffiner cette minoration par la proposition suivante :

Proposition IV.3.10 On a l’inégalité

0.6478d ⩽ \frac{ζ(2)ζ(3)}{3ζ(6)}d ⩽ R1(d) + o(d).

Preuve : Considérons l’ensemble

A(x) = {n tel que ϕ(n) ⩽ x et n pair }.

Les résultats de Erdös et Turán (dans [Erd]) montrent que si l’on enlève la condition n pair dans la définition de A(x), le cardinal de A(x) est équivalent à Cx où C = ζ(2)ζ(3)/ζ(6). Cette constante est le résidu en s = 1 de la fonction F (s) = ∑ \frac{1}{ϕ(n)^{s}}. Si l’on ajoute la

condition n pair, on voit que cela revient à étudier la fonction G(s) = (2 − \frac{1}{2^{s}} )^{−1} F (s). Nous avons donc

|A(x)| ∼ \frac{2}{3}Cx.

Considérons maintenant l’ensemble

A_{1}(x) = A(x) ∖ A (\frac{x}{2}) .

Le cardinal de cet ensemble est équivalent à \frac{C}{3} x. Soit n ∈ A_{1}(x) et k un entier (supérieur ou égal à 2). On a l’inégalité ϕ(kn) ⩾ 2ϕ(n). Ceci prouve que dans A_{1}(x), on ne peut pas trouver deux entiers distincts dont le rapport soit entier. Ainsi, les polynômes cyclotomiques Φ_{n} (avec n ∈ A_{1}(x) ont des résultants égaux à ±1, et leurs degrés sont tous inférieurs à x. Ceci prouve la proposition. ■

Dans ces propositions, nous avons une minoration de R1(d) linéaire en d. Un argument heuristique donne une majoration également linéaire de R1(d). En effet, si nous avons une famille P_{1},…,P_{n} de polynômes fortement premiers entre eux de degrés au plus d, alors ceuxci restent fortement premiers entre eux lorsqu’on les regarde modulo un nombre premier p. Dans 𝔽_{p}[x] il y a p^{d+1} polynômes de degré au plus d. Les résultants des polynômes prennent leurs valeurs parmi les p valeurs de 𝔽_{p}. Si l’on suppose que les valeurs des résultants Res(P_{i}, P_{j}) sont indépendantes, alors la probabilité qu’un résultant soit égal à ±1 est 2/(p+ 1). La probabilité que tous les résultants soient ±1 est (2/(p + 1))^{n(n−1)/2}. Pour qu’il y ait une solution il faudrait donc que l’on ait

p^{n(d+1)} ⩾ (\frac{p + 1}{2})^{\frac{n(n−1)}{2}}

Lorsque p tend vers +∞ cette inégalité donne

n ⩽ 2d + 3.

Un autre argument de nature un peu différente donne la même majoration : en effet, si l’on considère les coefficients des polynômes P_{1},…,P_{n} comme des variables, alors il y a n(d + 1) variables. Les équations Res(P_{i}, P_{j}) = ±1 sont au nombre de n(n − 1)/2. Si l’on estime qu’il est nécessaire d’avoir plus de variables que d’équations pour qu’il existe une solution, on a alors l’inégalité

n(d + 1) ⩾ \frac{n(n − 1)}{2}.

Cette inégalité implique alors

n ⩽ 2d + 3.

Ces deux arguments semblent indiquer que l’on doit avoir l’inégalité

R1(d) ⩽ 2d + 3.

Sans être aussi précis que les arguments précédents, nous posons la question suivante :

Question IV.3.11 Peut-on trouver une constante λ ⩾ 0.6478 telle que

R1(d) ⩽ λd + o(d) ?

IV.3.4 Familles de Polynômes Factorisables

Comme dans le cas des polynômes irréductibles, nous proposons une construction à partir des polynômes cyclotomiques. À l’aide de la Proposition IV.3.2, nous pouvons déterminer le discriminant d’un produit particulier de polynômes cyclotomiques.

Proposition IV.3.12 Soit P_{n} = ∏_{n<m⩽2n} Φ_{m} et D_{n} = | disc P_{n}|. Lorsque n tend vers +∞, on a d_{n} = deg P_{n} = \frac{9}{π^{2}} n^{2} + O(n log n), et

D_{n}^{1/d_{n}} = \frac{π}{3} 2^{\frac{4}{3}} e^{−C−1}\sqrt{d_{n}} + O(log^{2} d_{n})

avec C = −\frac{ζ′(2)}{ζ(2)} = ∑_{p<+∞} \frac{log p}{p^{2}−1} ∼ 0.570.

Preuve : Le degré de P_{n} est simplement la somme de degrés des polynômes Φ_{m} :

d_{n} = ∑_{n<m⩽2n}ϕ(m).

Intéressons nous d’abord à la série A(x) = ∑_{m⩽x} ϕ(m). Dans [Ten][p.41], l’auteur évalue cette série en utilisant le principe de l’hyperbole de Dirichlet :

A(x) = \frac{3}{π^{2}} x^{2} + O(x log x),

ce qui nous donne

d_{n} = A(2n) − A(n) = \frac{9}{π^{2}} n^{2} + O(n log n).

Lorsque n < m < m′ ⩽ 2n, il est impossible d’avoir m | m′. Ainsi, la Proposition IV.3.2 prouve que les résultants deux à deux des polynômes Φ_{m} sont tous triviaux. La formule du discriminant d’un produit nous dit que le discriminant de P_{n} est le produit des discriminants des Φ_{m} :

D_{n} = ∏_{n<m⩽2n}disc Φ_{m}.

D’après la Proposition IV.3.1, nous devons donc évaluer la somme :

\frac{1}{d_{n}} log D_{n} = \frac{1}{d_{n}} ∑_{n<m⩽2n}ϕ(m) ∑_{p|m}(v_{p}(m) − \frac{1}{p − 1}) log p.

Posons

B(x) = ∑_{m⩽x}ϕ(m) ∑_{p|m} v_{p}(m) log p

et

C(x) = ∑_{m⩽x}ϕ(m) ∑_{p|m} \frac{log p}{p − 1}

Lorsque nous aurons évalué les séries B et C, il ne restera plus qu’à écrire \frac{1}{d_{n}} log(D_{n}) = (B(2n) − C(2n) − B(n) + C(n))/d_{n}. Pour B(x) nous avons

B(x) = ∑_{m⩽x}ϕ(m) ∑_{p|m} v_{p}(m) log p

= ∑_{m⩽x}ϕ(m) log m

= A(x) log x − ∫_{1}^{x} \frac{1}{t}A(t)dt

= (\frac{3}{π^{2}} x^{2} + O(x log x)) log x − ∫_{1}^{x} \frac{3}{π^{2}} t + O(log t)dt

= \frac{3}{π^{2}} x^{2} log x − \frac{3}{2π^{2}} x^{2} + O(x log^{2} x)

Il reste à évaluer C(x) :

C(x) = ∑_{m⩽x}ϕ(m) ∑_{p|m} \frac{log p}{p − 1}= ∑_{p⩽x} \frac{log p}{p − 1} ∑_{m⩽x/p}ϕ(mp).

Mais ϕ(mp) = ϕ(m)ϕ(p) lorsque p ∤ m et ϕ(mp) = ϕ(m)ϕ(p) + ϕ(m) sinon. On a alors

C(x) = ∑_{p⩽x} \frac{log p}{p − 1} ∑_{m⩽x/p}ϕ(m)ϕ(p) + … + ∑_{m⩽x/p^{k}} ϕ(m)ϕ(p),

où k = [\frac{log x}{log p}]. D’où

C(x) = ∑_{p⩽x}log p ∑_{1⩽q⩽k} A (\frac{x}{p^{q}} )

= ∑_{p⩽x}log p ( ∑_{1⩽q⩽k} \frac{3}{π^{2}} \frac{x^{2}}{p^{2q}} + O (\frac{x}{p^{q}} log \frac{x}{p^{q}} ))

= \frac{3}{π^{2}} x^{2} ∑_{p⩽x}log p\frac{1 − p^{−2k}}{p^{2} − 1} + O (x log x ∑_{p⩽x}log p ∑_{1⩽q⩽k} \frac{1}{p^{q}} )

= \frac{3}{π^{2}} x^{2} (∑_{p⩽x} \frac{log p}{p^{2} − 1} + O (\frac{1}{x^{2}} ∑_{p⩽x}log p)) + O (x log x ∑_{p⩽x}log p\frac{1}{p − 1})

= \frac{3}{π^{2}} x^{2} ∑_{p<+∞} \frac{log p}{p^{2} − 1} + O(x log^{2} x)

En notant C = ∑_{p<+∞} \frac{log p}{p^{2}−1} = −\frac{ζ′(2)}{ζ(2)} on a

C(x) = \frac{3}{π^{2}} Cx^{2} + O(x log^{2} x).

On peut maintenant revenir à l’expression de départ :

\frac{1}{d_{n}} log D_{n} = \frac{(B(2n) − C(2n)) − (B(n) + C(n))}{d_{n}}

= \frac{\frac{9}{π^{2}} n^{2} log n + (\frac{12}{π^{2}} log 2 − \frac{9}{π^{2}} + \frac{9}{π^{2}} C)n^{2} + O(n log^{2} n)}{\frac{9}{π^{2}} n^{2} + O(n log n)}

= log n + (\frac{4}{3} log 2 − C − 1) + O (\frac{log^{2} n}{n})

= \frac{1}{2} log d_{n} − log \frac{3}{π} + (\frac{4}{3} log 2 − C − 1) + O (\frac{log^{2} d_{n}}{\sqrt{d_{n}}} )

ce qui nous donne

D_{n}^{1/d_{n}} = \frac{π}{3} 2^{\frac{4}{3}} e^{−C−1}\sqrt{d_{n}} + O(log^{2} d_{n})

■ Remarque : Si l’on évalue la constante, on trouve D_{n}^{1/d_{n}} ∼ 0.549\sqrt{d_{n}}.

Les Théorèmes de Minkowski et d’Odlyzko montrent qu’il existe une constante c > 1 ayant la propriété suivante : pour tout corps de nombres de degré d > 1 et de discriminant D, on a |D|^{1/d} > c. Cette propriété se transmet immédiatement aux polynômes irréductibles. Montrons qu’elle est encore vraie pour les polynômes factorisables de degré d ⩾ 4 : Proposition IV.3.13 Il existe une constante c > 1 telle que, pour tout polynôme P ∈ ℤ[x] de degré d ⩾ 4 sans facteur carré, on ait l’inégalité :

| disc(P)|^{1/d} > c.

Preuve : Soit α > 1 une constante donnée par le Théorème de Minkowski telle que pour tout polynôme irréductible P de degré d ⩾ 2, on ait | disc(P)|^{1/d} > α. Soit maintenant un polynôme P de degré d ⩾ 2 sans facteur carré dont la factorisation en polynômes irréductibles de ℤ[x] est donnée par

P = ∏_{deg A_{i}=1} A_{i} ∏_{deg B_{j}>1} B_{j}

où les A_{i} sont de degré 1 et les B_{j} de degré > 1. On note A le produit des A_{i} et n son degré. On note aussi B le produit des B_{j} et b_{j} le degré de chaque B_{j}. On a donc d = n + ∑ b_{j}. La formule du discriminant d’un produit nous dit que

disc P = disc A disc B Res^{2}(A, B)

La minoration Res^{2}(A, B) ⩾ 1 est toujours vraie puisque A et B sont sans facteurs communs à coefficients entiers. La formule du discriminant d’un produit nous dit encore que

| disc B| ⩾ ∏_{j} | disc B_{j}| ⩾ α^{∑ b_{j}}

| disc B| ⩾ α^{d−n}.

Pour A, on a

disc A = ∏_{i≠j} Res^{2}(A_{i}, A_{j}).

D’après la Proposition IV.2.7, on a

disc A ⩾ max(1, 4^{n−3}).

Pour le discriminant de P, on trouve

| disc P | ⩾ α^{d−n} max(1, 4^{n−3}).

Posons β = min(α, 4) > 1. On a alors

| disc P | ⩾ β^{d−3}.

En posant enfin c = β^{\frac{1}{4}} , on a la proposition annoncée. ■ Remarque : En ce qui concerne les degrés 1, 2 et 3, la proposition n’est plus vraie comme le montrent les exemples suivants :

disc x = 1
disc x(x − 1) = 1
disc x(x − 1)(2x − 1) = 1.

Annexe A

Tables de Discriminants Minimaux

Dans cette table nous indiquons pour chaque signature d.r_{1} le plus petit discriminant que nous avons trouvé (disc), sa racine d-ième (\sqrt[d]{| disc |}), et la distance qui le sépare de la borne d’Odlyzko exprimée en pourcentage (%). Nous indiquons aussi le nombre (n) de discriminants trouvés pour chaque signature, sachant que l’on a gardé les 50 discriminants les plus petits en dessous de 30%, ainsi que tous ceux en dessous de 10%.

Pour le degré 9, nous avons redécouvert tous les discriminants minimaux connus : d.r_{1} = 9.1 et d.r_{1} = 9.3 dans [Leu-Mar], d.r_{1} = 9.5 et d.r_{1} = 9.7 dans [Leu a], d.r_{1} = 9.9 dans [Leu b].

À quelques rares exceptions près, les listes de petits discriminants que nous trouvons pour le degré 9 coïncident avec celles de G. Niklasch ([Nik]), ce qui donne une certaine assurance sur leur exhaustivité. Les tables de G. Niklasch vont bien au delà des 10% ou 30% auxquels nous nous sommes limités. Nous indiquons ici les valeurs des discriminants qui manquent dans nos listes par rapport aux listes de G. Niklasch, ainsi que ceux qui sont nouveaux. Nous indiquons aussi entre parenthèses leurs places dans les listes.

d.r_{1}  Manquants  Nouveaux
9.1  –  –
9.3 −114479303 (10^{e}) −129079703
−133731799  −157505216
−195458751 −197369219 –
−203221591  −206640119
−215222063
9.5 858645521 (223^{e})  912438613 729659521 (120^{e}) 821790577
835481369  895086761
9.7 −2964637151 (13^{e})  −4076715319(50^{e})
9.9 39783402073 (34^{e}) 41649746033 34800272761 (25^{e})
45472867937  46527002977
48259276753  49553865017

Ainsi, sur les 1277 discriminants trouvés pour le degré 9, il en manque seulement 18, et 6 nouveaux ont été trouvés. En particulier, il est tout à fait remarquable que pour la signature d.r_{1} = 9.1, les deux listes sont identiques et contiennent près de 300 polynômes. De même, la première centaine de discriminants pour la signature d.r_{1} = 9.5 est identique dans les deux listes.

Nous avons aussi redécouvert les autres minimums connus pour les signatures suivantes : d.r_{1} = 10.0 dans [Leu a], d.r_{1} = 10.4 dans [Zie], d.r_{1} = 11.5 dans [Zie], d.r_{1} = 12.0 dans [Coh-Dia-Oli a].

Les polynômes qui nous donnent les meilleurs résultats pour les signatures d.r_{1} = 12.12,18.18,20.20 et 24.24 sont les polynômes de Tchebycheff.

On remarquera que la première signature manquante est d.r_{1} = 17.17 et que le premier degré manquant est d = 29. Il faut se rappeler que les degrés premiers sont plus difficiles à trouver que les autres, et que les signatures réelles (r_{1} proche de d) sont plus rares que les signatures complexes (r_{1} proche de 0).

À notre connaissance, tous les minimums connus de discriminants de polynômes (inférieurs à 30%) sont inscrits dans cette table.

Pour les signatures totalement complexes (r_{1} = 0), H. Cohen, F. Diaz Y Diaz et M. Olivier donnent dans [Coh-Dia-Oli a] des discriminants inférieurs à ceux que nous indiquons ici pour les degrés 14, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 44 et 48. Toutefois, ils donnent des discriminants de corps de nombres et non de polynômes. Les polynômes qui définissent ces corps ont la particularité d’avoir d’assez gros indices, ce qui rend leurs discriminants largement supérieurs à ceux de cette table. Il semble particulièrement difficile d’éliminer ces indices et de trouver des bases d’entiers monogènes pour ces corps. Nous reviendrons à ces corps dans la table suivante.

d.r_{1}  disc  % \sqrt[d]{| disc |}  n
9.1  29510281 0.85%  6.761 287
9.3  −109880167 0.96%  7.824 603
9.5  453771377 1.58%  9.159 285
9.7  −1904081383 1.78% 10.742 50
9.9  9685993193 3.63% 12.870 50
10.0  −209352647 0.94%  6.793 239
10.2  799905449 1.07%  7.768 1675
10.4  −3191230411 1.09%  8.921 1456
10.6  14002335917 1.57% 10.342 414
10.8  −74596123648 3.56% 12.226 50
10.10  513087549389 7.86% 14.826 50
11.1  −5781612911 1.04%  7.717 2099
11.3  23653561333 1.13%  8.772 2769
11.5  −104044407583 1.44% 10.036 1009
11.7  487871635289 1.94% 11.550 197
11.9  −2413345112407 2.55% 13.356 50
11.11  30733206894581 12.05% 16.832 50
12.0  41223887921 0.84%  7.666 940
12.2  −172922533711 1.00%  8.639 2883
12.4  779600892073 1.37%  9.795 1195
12.6  −3732622477247 1.90% 11.160 327
12.8  17497403356237 1.92% 12.693 90
12.10  −110034817788739 4.14% 14.795 50
12.12  551709470703125 4.14% 16.923 50
13.1  1296443603821 1.05%  8.546 2097
13.3  −6004259398927 1.50%  9.615 974
13.5  30572565095101 2.38% 10.898 260
13.7  −158547669654323 3.11% 12.368 103
13.9  922071522770617 4.49% 14.162 50
13.11  −4768959849003391 4.67% 16.070 50
13.13  62557040066579369 12.37% 19.589 30
14.0  −9866941650479 1.17%  8.475 605
14.2  44856176930933 1.36%  9.443 860
14.4  −230312802348199 2.16% 10.614 213
14.6  1066457629922633 1.94% 11.842 102
14.8  −5221080604842703 1.87% 13.264 50
14.10  38213434345183981 4.54% 15.291 50
14.12 −375594908253322939 9.33% 18.003 50
14.14 1776478047975643577 8.32% 20.115 24

d.r_{1}  disc  % \sqrt[d]{| disc |} n
15.1  −405022595697311 2.51%  9.415 133
15.3  1932098331869129 2.68% 10.449 78
15.5  −12557469881316011 4.75% 11.837 50
15.7  49954118550260597 3.19% 12.979 50
15.9  −259445842195368391 3.27% 14.485 50
15.11  1809208205586432929 5.20% 16.487 50
15.13  −34014660913686708907 14.29% 20.050 43
15.15  363145034778499996657 19.37% 23.479 3
16.0 2773873245710329 1.73% 9.230 127
16.2  −11705685949886767 1.05% 10.099 121
16.4  60447330360817889 1.43% 11.190 94
16.6  −488576402290603343 4.49% 12.751 50
16.8  2065633544167346897 3.19% 13.954 50
16.10  −14027767668189833431 4.78% 15.728 50
16.12  91104975192612294989 5.92% 17.679 50
16.14  −2166599664000000000000 15.96% 21.552 26
16.16  4151600163965461328125 8.30% 22.446 13
17.1  152386181912827249 4.20% 10.251 50
17.3  −974785446871123751 5.84% 11.433 50
17.5  3462565393841824229 3.66% 12.318 50
17.7  −30383869816887350663 6.89% 13.997 50
17.9  279117834864985945753 10.34% 15.947 50
17.11  −1205448451307144937223 8.80% 17.381 50
17.13  25522065986492999399417 17.63% 20.799 14
17.15 −754424650732128851556379 29.53% 25.384 1
17.17  – >30%  0
18.0  −813353263818459731 1.89%  9.886 63
18.2  3882675302999984089 1.69% 10.783 193
18.4  −21960508005098221571 2.28% 11.872 63
18.6  136294362264505730221 3.24% 13.139 50
18.8  −1047999309957441092791 5.31% 14.716 50
18.10  5386481861613431603329 4.89% 16.117 50
18.12  −37644290208944611459163 6.14% 17.955 50
18.14  214547097427475246206649 6.07% 19.778 50
18.16 −1080694888369248859733231 5.15% 21.637 22
18.18 36202993110042424993725741 15.68% 26.298 7
19.1  −72973572770787219191 6.45% 11.103 50
19.3  883343924143089981757 11.37% 12.660 50
19.5  −1640783267216919594863 5.42% 13.079 50
19.7  24349879441828030184441 11.16% 15.074 50
19.9  −81172345477394712921043 8.22% 16.060 42
19.11  677712175493888590645321 10.44% 17.958 26
19.13 −5045373792733700562144563 11.90% 19.960 14
19.15 67570981671365062021501753 16.82% 22.880 4
19.17  – >30%  0
19.19  – >30%  0

d.r_{1}  disc  % \sqrt[d]{| disc |} n
20.0  294179066004120138473 2.70% 10.554 50
20.2  −1240514077961238536107 1.66% 11.342 50
20.4  8248827519028002239989 2.81% 12.468 77
20.6  −59553360765360541453819 4.27% 13.764 50
20.8  336605885845914288243389 4.34% 15.009 50
20.10  −2949769135535838301668911 6.61% 16.730 50
20.12  29001517818595120504239517 9.44% 18.755 50
20.14  −488197741488077231431184831 15.29% 21.599 9
20.16  1672052832924406329741691801 12.05% 22.970 21
20.18 – >30% 0
20.20  169675210983039290802001953125 17.60% 28.939 6
21.1  34482057615039759645721 7.90% 11.836 50
21.3  −150590362732584743063267 6.87% 12.697 50
21.5  2998905653795702969882153 13.65% 14.641 50
21.7  −19172891990497966004371039 14.36% 15.993 47
21.9  72988832652439117027217237 12.16% 17.044 38
21.11  −2927210245661857560044580707 22.93% 20.320 8
21.13  6300772916540026213532768321 17.10% 21.076 6
21.15 −103138205177997448430258698267 22.76% 24.076 1
22.0  −107998378243171290376163 3.14% 11.142 50
22.2  536711831589389927080153 2.77% 11.985 67
22.4  −3398602253961828540651439 3.43% 13.033 50
22.6  24102052053683949980878777 4.52% 14.247 50
22.8  −357912882739149816898151203 9.12% 16.106 50
22.10  1608366390110260588308910001 7.80% 17.245 50
22.12  −30284695472228064975248516279 13.56% 19.706 17
22.14  285759703957044588294931170541 15.84% 21.823 50
22.16 −4743465430592967266610606635579 21.14% 24.795 2
22.18 13193141640994946075582963010901 16.71% 25.975 12
23.1  −25796217911733551120365987 11.04% 12.731 50
23.3  79972758619041750666817201 8.28% 13.373 30
23.5  −849003720184333875827275823 11.28% 14.819 25
23.7  4452973495079570492925497957 10.81% 15.926 14
23.9  −16656303582514502292550218959 8.63% 16.866 3
23.13 −1323214155069379088591359558775 12.33% 20.400 1

d.r_{1}  disc  % \sqrt[d]{| disc |} n
24.0  37886087608691786498090597 3.07% 11.635 50
24.2  −338458030960681792551324071 5.12% 12.747 50
24.4  1782755427225878694163152049 4.79% 13.660 50
24.6  −23645390555295627946291692479 8.45% 15.214 50
24.8  143375498352337582073361465344 8.56% 16.400 50
24.10  −1155058975841406047048835372719 9.88% 17.890 31
24.12  31892423120801508936152820466241 16.98% 20.542 50
24.14  −261882648303358248183337859735711 18.32% 22.426 6
24.16  4013390480518880466881777656202401 22.75% 25.127 4
24.20  393154007302196873946254679061037056 27.15% 30.416 1
24.24  161761786626698377317203521728515625 4.62% 29.311 5
25.1  129099600509863080815214961637 22.48% 14.603 17
25.3  −607530313557458600557841746759 21.53% 15.536 6
25.5  1621845684586061889231543125837 17.79% 16.158 3
25.7  −16693453533590270424331126316771 20.40% 17.738 1
25.9  409834822565143690732924136953609 27.34% 20.161 1
25.11  −615881985522689712778200128181811 20.35% 20.492 1
26.0  −27913114648851916933143115871 5.79% 12.418 50
26.2  118138280244622969648648274941 4.56% 13.127 50
26.4  −1040279941681352250650026233619 6.21% 14.273 50
26.6  22211163076419026499081519461737 11.54% 16.056 50
26.8  −290370196591712272449871576725583 14.88% 17.725 21
26.10  1599047396045456798233737135058729 14.37% 18.926 25
26.12  −131948620119461406358981404664193099 26.28% 22.428 3
26.14  279606089126562659546543389357032709 21.04% 23.085 4
26.16  −10766283169612606806299902061193086311 29.63% 26.565 1
26.18  53448263818690604995573656846143768261 28.24% 28.254 2
27.1  −77302478433842264174513534351387 22.87% 15.172 9
27.3  1336720986735505736036259928306033 27.88% 16.861 3
27.5  −4142086358540455760246643579343243 24.80% 17.582 4
27.7  4589787664480643358735677798214413 17.16% 17.649 5
27.9  −163191334469930983899621881785186675 24.99% 20.145 2
27.11  1437758444638436072662876547021107589 26.55% 21.836 1
27.13  −4747862864597242704396503301091448543 23.48% 22.823 2
28.0  41234698411531193629362341046937 10.72% 13.462 50
28.2  −244646156594563969942241270474759 10.74% 13.364 50
28.4  731277643058059239156679881549661 8.01% 14.918 50
28.6  −27285880065980294660266071926117387 15.22% 16.977 36
28.8  85488507795008896063798242261533161 12.43% 17.683 24
28.10  −6356101128216652327390958788886856959 22.77% 20.625 6
28.12  6724563716656313117617735658244278801 15.12% 20.667 4
28.16  6173245216161145680775853888544774677941 28.42% 26.369 1
28.20 257525532709394083792076584867421801960869 28.05% 30.127 1

d.r_{1}  disc  % \sqrt[d]{| disc |} n
29  0
30.0  −21869526358580701036128190699466951 11.17% 13.953 50
30.2  42853137288476971481428614880384201 7.07% 14.269 50
30.4  −1305515761553189385520859424585974519 12.93% 15.990 32
30.6  11260458366872966045586009812179940113 14.14% 17.181 21
30.8  −515584148385453483936313858153425911563 21.90% 19.517 8
30.10  3420313857095409773627892936426657659281 22.02% 20.787 2
32.0  6433212827952969330605324687313585769 9.41% 14.134 50
32.2  −253020852401144453476677514790390875439 15.91% 15.852 18
32.4  466190950302947822847621954878202984769 11.54% 16.158 34
32.6  −38334431343651371351882178955314259296256 20.81% 18.545 6
32.8  199620256088427301025642985967051774955977 19.98% 19.527 11
32.10  −1440371731744801000583603906081798259716231 20.33% 20.771 1
32.12  110826505720388984870650129881431456675309841 29.89% 23.790 1
32.18  −21607690855861111542895174593065667159464083631 27.92% 28.051 1
33.3  −221677751601922737558815703039602963731127 25.75% 17.902 2
34.0  −11157960155110895284014357239736310101479 13.55% 15.061 20
34.2  53254955881361258152829556123708686337577 12.61% 15.770 23
34.4  −4653211853914529583811288843162697083019467 21.59% 17.985 4
34.6  27100610696562923164570843650379888800670225 21.18% 18.943 11
34.10  6976819119114924690728117751765822917505562009 27.63% 22.302 2
34.14  106593531400763215090519510113261054779870746121 23.52% 24.164 1
36.0  61205151117705585939237268679347280960786377 21.07% 16.455 10
36.2  −61255395467586534280102183390996826554956851 14.96% 16.455 17
36.4  5406890384107685308077883913438808700098001393 23.57% 18.636 11
36.6  −9278216115453719734207571699621647794559802587 19.01% 18.918 3
36.8  1193685645381337374777892597915007189104810000384 29.18% 21.651 1
38.0  −34151833523912084668812619117978207685093263631 20.66% 16.771 4
38.2  389787070544597190551402472840699143242653335161 22.41% 17.881 8
38.4 −21518194979143263515575650048761868687057704791699 29.41% 19.871 1
38.6  24950780213174378633230915117800527375413904962489 23.55% 19.949 1
40.0  2321397522872238414471450612686850554108752298401 14.04% 16.186 10
40.2  −198814311768183336609441508721676925804810491359639 21.54% 18.091 4
40.4  5944621432028828963065378026565162686024932738647921 26.13% 19.695 2
40.8  267745374983004418305988272298054896652984776746310001 25.96% 21.662 1
42.2  66954425636061062606563275668207467178823263322193321 19.51% 18.103 3
44.0  27233142200262920005021777595675092928855448912772834081 23.45% 18.192 3
44.2  −1779774872595145219893170737930008096626919136308729302587 29.91% 20.005 1
48.0  38763924428183747899069217305943420648802842736512137377363649 25.99% 19.191 5

124  Tables de Discriminants Minimaux

Annexe B

Corps Primitifs et Imprimitifs

Dans le tableau suivant, nous donnons les plus petits discriminants des corps de nombres connus de degrés inférieurs à 48, en distinguant entre les corps primitifs et les imprimitifs, et en ne retenant que ceux qui sont inférieurs à 30%.

À part pour les degrés inférieurs ou égaux à 9 et pour quelques signatures isolées, tous les résultats viennent des travaux de cette thèse, et de ceux de H. Cohen, F. Diaz Y Diaz et Olivier sur les extensions abéliennes (dans [Coh-Dia-Oli a] et [Coh-Dia-Oli d]). Ces derniers trouvent des corps jusqu’au degré 100, mais leur construction par des extensions abéliennes ne leur permet pas d’obtenir des corps primitifs (à part quelques extensions abéliennes de ℚ de degré premier mais dont les discriminants sont largement au-dessus des bornes d’Odlyzko).

Les corps marqués d’un ▲ sont dûs à H.Cohen, F. Diaz Y Diaz et Olivier ([Coh-Dia-Oli a], [Coh-Dia-Oli d]), et ceux marqués d’un ♦ proviennent d’ailleurs (ils sont déjà cités dans la table précédente). Tous les autres corps font partie des résultats nouveaux de cette thèse.

Pour qu’apparaissent clairement les corps (primitifs ou imprimitifs) qui donnent les plus petits discriminants, nous avons indiqué en gras le minimum sur chaque ligne.

Comme il n’existe pas de corps imprimitifs de degré premier, nous avons volontairement omis d’indiquer les degrés premiers dans cette table.

Pour les corps imprimitifs de degré 15, nos méthodes ont permis de trouver quelques discriminants compris entre 10% et 30%. Toutefois ces discriminants n’étaient pas parmi les 50 minimaux, et donc nous ne les avons pas conservés car nous n’avons fait la distinction entre primitifs et imprimitifs qu’une fois la liste dressée. Ainsi, ils n’apparaissent pas dans ce tableau. Ce phénomène se produit aussi peut-être pour quelques autres signatures.

Primitifs  Imprimitifs
d.r_{1}  % \sqrt[d]{| disc |}  % \sqrt[d]{| disc |}
4.0 ♦19.09%  3.890 ♦0.68%  3.289
4.2 ♦1.56%  4.102 ♦0.83%  4.072
4.4 ♦29.72%  6.651 ♦1.20%  5.189
6.0 ♦7.74%  4.951 ♦0.58%  4.622
6.2 ♦1.06%  5.545 ♦0.45%  5.512
6.4 ♦1.28%  6.728 ♦3.10%  6.849
6.6 ♦12.48%  9.165 ♦0.42%  8.182
8.0 ♦1.10%  5.801 ♦0.86%  5.787
8.2 ♦1.03%  6.747 ♦1.00%  6.746
8.4 ♦1.383%  7.947 ♦0.84%  7.905
8.6 ♦2.23%  9.478 ♦2.95%  9.544
8.8 ♦10.27% 12.176 ♦3.10% 11.385
9.1 ♦0.85%  6.761 ♦1.84%  6.827
9.3 ♦0.96%  7.824 ♦1.06%  7.832
9.5 ♦1.58%  9.159 ♦1.93%  9.191
9.7 ♦1.78% 10.742 ♦5.67% 11.152
9.9 ♦3.63% 12.870 ♦9.76% 13.630
10.0  1.21%  6.812 ♦0.94%  6.793
10.2  1.09%  7.769 1.07%  7.768
10.4 ♦1.09%  8.921 1.13%  8.924
10.6  1.57% 10.342 1.81% 10.367
10.8  3.56% 12.225 5.71% 12.479
10.10  7.86% 14.825 ♦9.06% 14.990
12.0  1.04%  7.681 ▲0.84%  7.666
12.2  1.00%  8.639 1.52%  8.684
12.4  1.37%  9.795 ▲0.70%  9.729
12.6  1.90% 11.160 ▲1.87% 11.157
12.8  2.22% 12.731 1.92% 12.693
12.10  4.14% 14.795 9.52% 15.559
12.12 11.65% 18.143 ♦4.14% 16.923
14.0  1.46%  8.500 ♦0.58%  8.426
14.2  2.06%  9.508 1.36%  9.443
14.4  2.16% 10.614 2.23% 10.621
14.6  2.39% 11.894 1.94% 11.842
14.8  3.67% 13.499 1.87% 13.264
14.10  7.51% 15.725 4.54% 15.291
14.12  9.33% 18.003 13.54% 18.694
14.14 18.17% 21.946 8.32% 20.115

Primitifs  Imprimitifs
d.r_{1}  % \sqrt[d]{| disc |}  % \sqrt[d]{| disc |}
15.1 2.51%  9.415  –  –
15.3 2.68% 10.449  –  –
15.5 4.75% 11.837 ▲2.00% 11.527
15.7 3.19% 12.979  –  –
15.9 3.27% 14.485  –  –
15.11 5.20% 16.487  –  –
15.13 14.29% 20.050  –  –
15.15 19.37% 23.479 ▲12.63% 22.153
16.0 4.46% 9.478 ▲1.16% 9.179
16.2 4.42% 10.435  1.05% 10.099
16.4 4.22% 11.498 ▲1.42% 11.189
16.6 4.49% 12.751  5.03% 12.816
16.8 4.49% 14.130  3.19% 13.954
16.10 4.78% 15.728 11.72% 16.770
16.12 5.92% 17.679 10.57% 18.456
16.14 21.95% 22.665 15.96% 21.552
16.16 29.80% 26.903 ▲5.08% 21.779
18.0 6.14% 10.298 ▲1.37%  9.836
18.2 4.82% 11.114  1.69% 10.783
18.4 8.83% 12.633  2.28% 11.872
18.6 5.91% 13.479 ▲1.09% 12.865
18.8 9.65% 15.323  5.31% 14.716
18.10 9.54% 16.831  4.89% 16.117
18.12 13.09% 19.131  6.14% 17.955
18.14 20.68% 22.503  6.07% 19.778
18.16 29.73% 26.696  5.15% 21.637
18.18 – – ▲5.12% 23.896
20.0 8.05% 11.103 ▲1.57% 10.438
20.2 9.86% 12.256  1.66% 11.342
20.4 9.40% 13.267  2.81% 12.468
20.6 10.87% 14.635  4.27% 13.764
20.8 11.53% 16.043  4.34% 15.009
20.10 13.94% 17.880 ▲3.33% 16.214
20.12 18.71% 20.344  9.44% 18.755
20.14 29.74% 24.307 15.29% 21.599
20.16 25.51% 25.728 12.05% 22.970
20.18  –  –  –  –
20.20  –  – ▲13.38% 27.900

Primitifs  Imprimitifs
d.r_{1} % \sqrt[d]{| disc |} % \sqrt[d]{| disc |}
21.1 7.90% 11.836 12.68% 12.360
21.3 6.87% 12.697 15.65% 13.739
21.5 13.65% 14.641 18.13% 15.218
21.7 14.36% 15.993 ▲1.45% 14.187
21.9 12.16% 17.044 13.97% 17.319
21.11 23.11% 20.350 22.93% 20.320
21.13 17.10% 21.076  –  –
21.15 22.76% 24.076  –  –
21.21  –  – ▲8.55% 27.681
22.0 9.21% 11.797 ▲1.85% 11.003
22.2  –  – 2.77% 11.985
22.4  –  – 3.43% 13.033
22.6  –  – 4.52% 14.247
22.8 9.12% 16.106 10.30% 16.281
22.10 18.50% 18.956 7.80% 17.245
22.12 – – 13.56% 19.706
22.14 17.10% 22.061 15.84% 21.823
22.16  –  – 21.14% 24.795
22.18  –  – 16.71% 25.975
22.22  –  – ▲5.74% 27.877
24.0  –  – ▲1.35% 11.441
24.2  –  – 5.12% 12.747
24.4  –  – 4.79% 13.660
24.6 16.12% 16.289 ▲3.31% 14.492
24.8 15.03% 17.377 ▲2.31% 15.456
24.10 14.11% 18.580 9.88% 17.890
24.12 18.78% 20.858 ▲3.55% 18.183
24.14 26.38% 23.952 18.32% 22.426
24.16  –  – ▲7.24% 21.950
24.20  –  – 27.15% 30.416
24.24  –  – ▲4.08% 29.159
25.1 22.48% 14.603  –  –
25.3 21.53% 15.536  –  –
25.5 17.79% 16.158  –  –
25.7 20.40% 17.738  –  –
25.9 27.34% 20.161  –  –
25.11 20.35% 20.492  –  –

Primitifs  Imprimitifs
d.r_{1}  % \sqrt[d]{| disc |}  % \sqrt[d]{| disc |}
26.0  –  –  5.79% 12.418
26.2  –  –  4.56% 13.127
26.4  –  –  6.21% 14.273
26.6 17.60% 16.927 11.54% 16.056
26.8 14.88% 17.725 16.52% 17.978
26.10 – – 14.37% 18.926
26.12 29.66% 23.028 26.28% 22.428
26.14  –  – 21.04% 23.085
26.16 29.63% 26.565  –  –
26.18  –  – 28.24% 28.254
27.1 22.87% 15.172 22.98% 15.184
27.3 28.90% 16.995 27.88% 16.861
27.5 25.60% 17.696 24.80% 17.582
27.7 25.56% 18.915 17.16% 17.649
27.9  –  – ▲2.38% 16.501
27.11  –  – 26.55% 21.836
27.11  –  – 23.48% 22.823
27.27  –  – ▲2.82% 31.176
28.0  –  – ▲1.13% 12.296
28.2  –  – 10.74% 13.364
28.4  –  –  8.01% 14.918
28.6  –  – 15.22% 16.977
28.8  –  – 12.43% 17.683
28.10  –  – 22.77% 20.625
28.12  –  – 15.12% 20.667
28.14  –  – ▲5.12% 20.177
28.16  –  – 28.42% 26.369
28.20  –  – 28.42% 30.127
28.28  –  – ▲9.81% 34.094
30.0  –  – ▲1.72% 12.766
30.2  –  –  7.07% 14.269
30.4  –  – 12.93% 15.990
30.6  –  – 14.14% 17.181
30.8  –  – 21.90% 19.517
30.10  –  – ▲2.24% 17.417
30.20  –  – ▲11.59% 26.111
30.30  –  – ▲9.49% 35.523

Primitifs  Imprimitifs
d.r_{1} % \sqrt[d]{| disc |}  % \sqrt[d]{| disc |}
32.0 –  – ▲1.13% 13.065
32.2 –  – 15.91% 15.852
32.4 –  – 11.54% 16.158
32.6 –  – 20.81% 18.545
32.8 –  – ▲5.35% 17.144
32.10 –  – 20.33% 20.771
32.12 –  – 29.89% 23.790
32.16 –  – ▲4.27% 21.526
32.18 –  – 27.92% 28.051
32.32 –  – ▲10.97% 37.474
33.3 –  – 25.75% 17.902
33.11 –  – ▲6.39% 19.019
33.33 –  – ▲10.54% 38.036
34.0 –  – 13.55% 15.061
34.2 –  – 12.61% 15.770
34.4 –  – 21.59% 17.985
34.6 –  – 21.18% 18.943
34.10 –  – 27.63% 22.302
34.14 –  – 23.52% 24.164
36.0 –  – ▲1.71% 13.823
36.2 –  – 14.96% 16.455
36.4 –  – 23.57% 18.636
36.6 –  – 19.01% 18.918
36.8 –  – 29.18% 21.651
36.12 –  – ▲2.37% 19.093
36.18 –  – ▲4.31% 22.888
36.24 –  – ▲6.67% 27.608
36.36 –  – ▲5.54% 38.246
38.0 –  – 20.66% 16.771
38.2 –  – 22.41% 17.881
38.4 –  – 29.41% 19.871
38.6 –  – 23.55% 19.949
39.13 –  – ▲4.29% 20.197
39.39 –  – ▲25.49% 47.618

Primitifs  Imprimitifs
d.r_{1} % \sqrt[d]{| disc |}  % \sqrt[d]{| disc |}
40.0 –  – ▲1.54% 14.412
40.2 –  – 21.54% 18.091
40.4 –  – 26.13% 19.695
40.8 –  – 25.96% 21.662
40.10 –  – ▲3.02% 18.601
40.20 –  – ▲2.71% 23.745
40.40 –  – ▲2.51% 39.457
42.0 –  – ▲6.33% 15.387
42.2 –  – 19.51% 18.103
42.14 –  – ▲2.59% 20.550
42.28 –  – ▲9.46% 30.677
42.42 –  – ▲8.61% 42.954
44.0 –  – ▲1.51% 14.960
44.2 –  – 29.91% 20.005
44.22 –  – ▲9.03% 26.374
44.44 –  – ▲6.94% 43.378
45.15 –  – ▲2.71% 21.213
45.45 –  – ▲20.92% 49.646
46.0 –  – ▲22.37% 18.343
48.0 –  – ▲1.01% 15.386
48.12 –  – ▲4.26% 20.353
48.16 –  – ▲3.92% 22.067
48.24 –  – ▲4.39% 26.279
48.32 –  – ▲17.35% 35.102
48.48 –  – ▲6.80% 45.367

132  Corps Primitifs et Imprimitifs

Annexe C

Polynômes de Discriminants Minimaux

Dans cette table, nous donnons la liste des polynômes qui donnent pour chaque signature le discriminant minimal indiqué dans la table précédente : ce n’est donc pas une table de corps de nombres, mais de polynômes. Nous rappelons la distance de la borne d’Odlyzko (en %) et nous donnons également la factorisation du discriminant. Cette factorisation donne une indication sur la primitivité des polynômes, et sur le discriminant des sous-corps éventuels du corps de nombres défini par le polynôme. En effet, la formule du discriminant relatif montre que le discriminant d’un sous-corps d’indice r doit apparaître à la puissance r dans le discriminant du polynôme, ce qui assure par exemple qu’un polynôme dont le discriminant est sans facteur carré est primitif.

Dans de nombreux cas, nous avons donné les polynômes sous la forme d’un résultant P = Res(χ, R(x, y)), c’est-à-dire sous la forme d’extension relative, en indiquant le polynôme de base χ, et le polynôme relatif R(x, y). À moins que cela soit explicitement indiqué, tous les résultants sont relatifs à la variable x. Dans la factorisation du discriminant de P, nous indiquons entre parenthèses la factorisation du discriminant de χ, ainsi que son signe, y compris lorsque celui-ci intervient au carré.

d = 9 r_{1}= 1, disc = 101 · 292181, % = 0.85 x^{9} − 2x^{8} − x^{7} + x^{6} + 3x^{5} + x^{4} − 2x^{3} − x^{2} + 1 d = 9, r_{1}= 3, disc = −367 · 299401, % = 0.96 x^{9} − 2x^{8} + x^{7} + x^{6} − 3x^{5} + x^{4} + 3x^{3} − 2x − 1 d = 9, r_{1}= 5, disc = 453771377, % = 1.58 x^{9} + 2x^{8} − x^{7} − 2x^{6} − x^{5} − 5x^{4} + x^{3} + 5x^{2} − 1 d = 9, r_{1}= 7, disc = −37 · 51461659, % = 1.78 x^{9} + x^{8} − 6x^{7} − 8x^{6} + 10x^{5} + 19x^{4} − 2x^{3} − 13x^{2} − 2x + 1 d = 9, r_{1}= 9, disc = 9685993193, % = 3.63 x^{9} + 2x^{8} − 7x^{7} − 14x^{6} + 15x^{5} + 30x^{4} − 10x^{3} − 19x^{2} + 2x + 1

d = 10, r_{1}= 0, disc = −7^{2}431^{2}23, % = 0.94 x^{10} − 3x^{9} + 7x^{8} − 11x^{7} + 13x^{6} − 12x^{5} + 9x^{4} − 5x^{3} + 3x^{2} − 2x + 1 d = 10, r_{1}= 2, disc = 7^{2}631^{2}41, % = 1.07 x^{10} − x^{9} + x^{7} + x^{6} − x^{5} − x^{4} + x^{3} − x − 1 d = 10, r_{1}= 4, disc = −3191230411, % = 1.09 x^{10} − x^{9} − 3x^{8} + 5x^{6} + 4x^{5} − 4x^{4} − 2x^{3} − x^{2} − x + 1 d = 10, r_{1}= 6, disc = 43 · 325635719, % = 1.57 x^{10} − x^{9} − x^{8} + 4x^{7} − 4x^{6} + 8x^{4} − 3x^{3} − 5x^{2} + x + 1 d = 10, r_{1}= 8, disc = −2^{10}2389 · 30493, % = 3.56 x^{10} − 2x^{9} − 6x^{8} + 10x^{7} + 15x^{6} − 16x^{5} − 19x^{4} + 10x^{3} + 9x^{2} − 2x − 1 d = 10, r_{1}= 10, disc = 460181 · 1114969, % = 7.86 x^{10} + 4x^{9} − 2x^{8} − 23x^{7} − 11x^{6} + 40x^{5} + 30x^{4} − 21x^{3} − 18x^{2} + 1

d = 11, r_{1}= 1, disc = −239 · 24190849, % = 1.04 x^{11} − 2x^{10} + 2x^{9} − 3x^{8} + 6x^{7} − 8x^{6} + 7x^{5} − 7x^{4} + 7x^{3} − 6x^{2} + 3x − 1 d = 11, r_{1}= 3, disc = 3989 · 5929697, % = 1.13 x^{11} − 2x^{10} − 2x^{9} + 6x^{8} + 2x^{7} − 9x^{6} + 8x^{4} − x^{3} − 5x^{2} + 1 d = 11, r_{1}= 5, disc = −104044407583, % = 1.44 x^{11} + x^{10} − x^{9} − 2x^{8} − 4x^{7} + 2x^{5} + 3x^{4} + 3x^{3} − x^{2} − 1 d = 11, r_{1}= 7, disc = 587 · 831127147, % = 1.94 x^{11} − 2x^{10} − 3x^{9} + 9x^{8} − 3x^{7} − 10x^{6} + 12x^{5} − 7x^{3} + 4x^{2} + x − 1 d = 11, r_{1}= 9, disc = −681589 · 3540763, % = 2.55 x^{11} − x^{10} − 8x^{9} + 6x^{8} + 23x^{7} − 10x^{6} − 29x^{5} + x^{4} + 16x^{3} + 6x^{2} − 3x − 1 d = 11, r_{1}= 11, disc = 649087 · 47348363, % = 12.05 x^{11} − 2x^{10} − 10x^{9} + 19x^{8} + 37x^{7} − 65x^{6} − 61x^{5} + 94x^{4} + 42x^{3} − 48x^{2} − 9x + 1

d = 12, r_{1}= 0, disc = 37^{2}857^{2}41, % = 0.84 x^{12} − 2x^{11} + 2x^{10} − x^{9} + 2x^{8} − 5x^{7} + 8x^{6} − 7x^{5} + 4x^{4} − 3x^{3} + 4x^{2} − 3x + 1 d = 12, r_{1}= 2, disc = −743 · 3407 · 68311, % = 1.00 x^{12} − x^{11} − 2x^{9} + x^{7} + x^{6} + 3x^{5} − 2x^{2} − x − 1 d = 12, r_{1}= 4, disc = 61 · 12780342493, % = 1.37 x^{12} − 4x^{11} + 10x^{10} − 21x^{9} + 30x^{8} − 37x^{7} + 32x^{6} − 20x^{5} + 7x^{4} + 3x^{3} − 4x^{2} + 3x − 1 d = 12, r_{1}= 6, disc = −3732622477247, % = 1.90 x^{12} − 3x^{11} − 4x^{10} + 16x^{9} + 6x^{8} − 31x^{7} − 9x^{6} + 27x^{5} + 13x^{4} − 11x^{3} − 7x^{2} + 2x + 1 d = 12, r_{1}= 8, disc = 7^{2}30941^{2}373, % = 1.92 x^{12} − 5x^{11} + 5x^{10} + 11x^{9} − 24x^{8} + 11x^{7} + 12x^{6} − 35x^{5} + 25x^{4} + 21x^{3} − 20x^{2} − 4x + 1 d = 12, r_{1}= 10, disc = −2377 · 46291467307, % = 4.14 x^{12} − 10x^{10} − x^{9} + 35x^{8} + 6x^{7} − 51x^{6} − 13x^{5} + 27x^{4} + 12x^{3} − 2x^{2} − 4x − 1 d = 12, r_{1}= 12, disc = 5^{9}7^{10}, % = 4.14 x^{12} − x^{11} − 12x^{10} + 11x^{9} + 54x^{8} − 43x^{7} − 113x^{6} + 71x^{5} + 110x^{4} − 46x^{3} − 40x^{2} + 8x + 1

d = 13, r_{1}= 1, disc = 199 · 2797 · 2329207, % = 1.05 x^{13} − 7x^{12} + 19x^{11} − 39x^{10} + 63x^{9} − 83x^{8} + 92x^{7} − 88x^{6} + 72x^{5} − 50x^{4} + 29x^{3} − 14x^{2} + 5x − 1 d = 13, r_{1}= 3, disc = −250361 · 23982407, % = 1.50 x^{13} − 3x^{12} + 6x^{10} − x^{9} − 8x^{8} + 6x^{7} + 3x^{6} − 8x^{5} + x^{4} + 3x^{3} + 1 d = 13, r_{1}= 5, disc = 457 · 66898391893, % = 2.38 x^{13} − 7x^{11} + x^{10} + 19x^{9} − 6x^{8} − 26x^{7} + 13x^{6} + 18x^{5} − 12x^{4} − 4x^{3} + 5x^{2} − 1 d = 13, r_{1}= 7, disc = −67 · 1913 · 2297 · 538529, % = 3.11 x^{13}−2x^{12}−12x^{11}+22x^{10}+59x^{9}−93x^{8}−153x^{7}+187x^{6}+222x^{5}−177x^{4}−171x^{3}+62x^{2}+55x+1 d = 13, r_{1}= 9, disc = 61 · 15115926602797, % = 4.49 x^{13} + x^{12} − 11x^{11} − 8x^{10} + 47x^{9} + 19x^{8} − 97x^{7} − 5x^{6} + 95x^{5} − 27x^{4} − 32x^{3} + 18x^{2} − 3x + 1 d = 13, r_{1}= 11, disc = −521 · 1049 · 7703 · 1132793, % = 4.67 x^{13} + 2x^{12} − 10x^{11} − 19x^{10} + 39x^{9} + 67x^{8} − 75x^{7} − 106x^{6} + 73x^{5} + 71x^{4} − 31x^{3} − 16x^{2} + 4x + 1 d = 13, r_{1}= 13, disc = 103 · 4271 · 142203208513, % = 12.37 x^{13} + 3x^{12} − 8x^{11} − 27x^{10} + 23x^{9} + 91x^{8} − 28x^{7} − 141x^{6} + 12x^{5} + 98x^{4} − 24x^{2} + 1

d = 14, r_{1}= 0, disc = −167^{2}1361^{2}191, % = 1.17 x^{14}−3x^{13}+6x^{12}−11x^{11}+16x^{10}−21x^{9}+25x^{8}−25x^{7}+25x^{6}−21x^{5}+16x^{4}−11x^{3}+6x^{2}−3x+1 d = 14, r_{1}= 2, disc = 919969^{2}53, % = 1.36 x^{14} + 2x^{13} + 4x^{12} + 6x^{11} + 6x^{10} + 5x^{9} + 2x^{8} + x^{7} + 2x^{6} + 5x^{5} + 6x^{4} + 6x^{3} + 4x^{2} + 2x + 1 d = 14, r_{1}= 4, disc = −59 · 1997 · 1954735513, % = 2.16 x^{14} − 11x^{12} − x^{11} + 47x^{10} + 8x^{9} − 98x^{8} − 23x^{7} + 103x^{6} + 28x^{5} − 51x^{4} − 12x^{3} + 10x^{2} + x − 1 d = 14, r_{1}= 6, disc = 13^{2}157^{2}1367^{2}137, % = 1.94 x^{14} + 7x^{13} + 18x^{12} + 20x^{11} − 32x^{9} − 53x^{8} − 59x^{7} − 53x^{6} − 32x^{5} + 20x^{3} + 18x^{2} + 7x + 1 d = 14, r_{1}= 8, disc = −17^{2}172519^{2}607, % = 1.87 x^{14} − 3x^{13} − 15x^{12} + 68x^{11} + 4x^{10} − 413x^{9} + 674x^{8} + 208x^{7} − 1905x^{6} + 2671x^{5} − 1911x^{4} + 784x^{3} − 183x^{2} + 22x − 1 d = 14, r_{1}= 10, disc = 13^{2}157^{2}1367^{2}4909, % = 4.54 x^{14} − 7x^{13} + 10x^{12} + 31x^{11} − 86x^{10} − 21x^{9} + 201x^{8} − 51x^{7} − 213x^{6} + 88x^{5} + 104x^{4} − 50x^{3} − 17x^{2} + 10x − 1 d = 14, r_{1}= 12, disc = −470040281 · 799069619, % = 9.33 x^{14} + x^{13} − 13x^{12} − 12x^{11} + 65x^{10} + 53x^{9} − 159x^{8} − 109x^{7} + 197x^{6} + 107x^{5} − 114x^{4} − 45x^{3} + 25x^{2} + 5x − 1 d = 14, r_{1}= 14, disc = 32354821^{2}1697, % = 8.32 x^{14} + 2x^{13} − 15x^{12} − 19x^{11} + 90x^{10} + 56x^{9} − 255x^{8} − 46x^{7} + 338x^{6} − 30x^{5} − 184x^{4} + 47x^{3} + 23x^{2} − 10x + 1

d = 15, r_{1}= 1, disc = −47 · 163 · 52868110651, % = 2.51 x^{15} + x^{14} + 3x^{13} + 2x^{12} + 4x^{11} + 4x^{10} + 5x^{9} + 5x^{8} + 4x^{7} + 4x^{6} + 3x^{5} + 3x^{4} + x^{3} + 2x^{2} + 1 d = 15, r_{1}= 3, disc = 238859 · 8088865531, % = 2.68 x^{15} + x^{14} − 3x^{13} + x^{12} + 4x^{11} − 7x^{10} + 3x^{9} + 3x^{8} − 9x^{7} + 8x^{6} − 2x^{5} − 3x^{4} + 4x^{3} − 3x^{2} + 2x − 1 d = 15, r_{1}= 5, disc = −12557469881316011, % = 4.75 x^{15} + 2x^{14} − 11x^{13} − 22x^{12} + 47x^{11} + 94x^{10} − 99x^{9} − 197x^{8} + 109x^{7} + 210x^{6} − 63x^{5} − 106x^{4} + 18x^{3} + 19x^{2} − 2x − 1 d = 15, r_{1}= 7, disc = 101 · 298153 · 1658863849, % = 3.19 x^{15} − x^{14} − 11x^{13} + 11x^{12} + 47x^{11} − 47x^{10} − 98x^{9} + 99x^{8} + 101x^{7} − 107x^{6} − 43x^{5} + 55x^{4} + x^{3} − 10x^{2} + 2x + 1 d = 15, r_{1}= 9, disc = −227274217 · 1141554223, % = 3.27 x^{15} − x^{14} − 12x^{13} + 11x^{12} + 56x^{11} − 47x^{10} − 128x^{9} + 99x^{8} + 148x^{7} − 108x^{6} − 80x^{5} + 59x^{4} + 17x^{3} − 14x^{2} − x + 1 d = 15, r_{1}= 11, disc = 4999 · 361914023922071, % = 5.20 x^{15} − 2x^{14} − 12x^{13} + 23x^{12} + 57x^{11} − 102x^{10} − 136x^{9} + 219x^{8} + 169x^{7} − 234x^{6} − 100x^{5} + 114x^{4} + 21x^{3} − 18x^{2} − 1 d = 15, r_{1}= 13, disc = −37 · 1423 · 3413 · 189288065789, % = 14.29 x^{15} − 10x^{14} + 32x^{13} − 9x^{12} − 142x^{11} + 190x^{10} + 207x^{9} − 446x^{8} − 128x^{7} + 441x^{6} + 46x^{5} − 190x^{4} − 17x^{3} + 26x^{2} + x − 1 d = 15, r_{1}= 15, disc = 251 · 1446792967245019907, % = 19.37 x^{15} + 2x^{14} − 14x^{13} − 22x^{12} + 78x^{11} + 82x^{10} − 214x^{9} − 116x^{8} + 289x^{7} + 40x^{6} − 172x^{5} + 12x^{4} + 44x^{3} − 8x^{2} − 4x + 1

d = 16, r_{1}= 0, disc = 7^{2}7523939^{2}, % = 1.73 x^{16} − x^{14} + x^{13} − 2x^{11} + x^{10} + x^{9} − x^{8} + x^{7} + x^{6} − 2x^{5} + x^{3} − x^{2} + 1 d = 16, r_{1}= 2, disc = −7245127^{2}223, % = 1.05 x^{16} + 3x^{15} + 2x^{14} − 5x^{13} − 11x^{12} − 2x^{11} + 16x^{10} + 15x^{9} − 7x^{8} − 18x^{7} − 6x^{6} + 10x^{5} + 8x^{4} − 2x^{3} − 3x^{2} − x + 1 d = 16, r_{1}= 4, disc = 26061149^{2}89, % = 1.43 x^{16} + 8x^{15} + 34x^{14} + 98x^{13} + 207x^{12} + 332x^{11} + 400x^{10} + 339x^{9} + 137x^{8} − 122x^{7} − 316x^{6} − 365x^{5} − 285x^{4} − 158x^{3} − 58x^{2} − 12x − 1 d = 16, r_{1}= 6, disc = −488576402290603343, % = 4.49 x^{16} −2x^{15} −9x^{14} +18x^{13} +31x^{12} −62x^{11} −50x^{10} +101x^{9} +36x^{8} −77x^{7} −8x^{6} +23x^{5} −2x^{3} −1 d = 16, r_{1}= 8, disc = 94156147^{2}233, % = 3.19 x^{16} − 3x^{15} − 13x^{14} + 53x^{13} + 28x^{12} − 319x^{11} + 262x^{10} + 656x^{9} − 1343x^{8} + 366x^{7} + 1420x^{6} − 2084x^{5} + 1431x^{4} − 574x^{3} + 137x^{2} − 18x + 1 d = 16, r_{1}= 10, disc = −14027767668189833431, % = 4.78 x^{16} +x^{15} −14x^{14} −13x^{13} +78x^{12} +67x^{11} −221x^{10} −174x^{9} +338x^{8} +241x^{7} −273x^{6} −176x^{5} + 103x^{4} + 63x^{3} − 11x^{2} − 8x − 1 d = 16, r_{1}= 12, disc = 31 · 2938870167503622419, % = 5.92 x^{16} − 6x^{15} + 3x^{14} + 44x^{13} − 68x^{12} − 112x^{11} + 264x^{10} + 100x^{9} − 446x^{8} + 26x^{7} + 364x^{6} − 88x^{5} − 137x^{4} + 41x^{3} + 20x^{2} − 4x − 1 d = 16, r_{1}= 14, disc = −2^{16}3^{8}5^{1}220639, % = 15.96 x^{16} − 8x^{15} + 20x^{14} − 78x^{12} + 104x^{11} + 40x^{10} − 200x^{9} + 129x^{8} + 112x^{7} − 188x^{6} + 8x^{5} + 93x^{4} − 18x^{3} − 17x^{2} + 2x + 1 d = 16, r_{1}= 16, disc = 5^{8}19^{2}94439^{2}3301, % = 8.30 x^{16} − 8x^{15} + 15x^{14} + 35x^{13} − 140x^{12} + 21x^{11} + 375x^{10} − 280x^{9} − 418x^{8} + 437x^{7} + 216x^{6} − 263x^{5} − 59x^{4} + 62x^{3} + 11x^{2} − 5x − 1

d = 17, r_{1}= 1, disc = 26183 · 1017307 · 5721029, % = 4.20 x^{17} + 3x^{16} + 5x^{15} + 7x^{14} + 9x^{13} + 11x^{12} + 13x^{11} + 16x^{10} + 18x^{9} + 18x^{8} + 16x^{7} + 14x^{6} + 12x^{5} + 11x^{4} + 9x^{3} + 6x^{2} + 3x + 1 d = 17, r_{1}= 3, disc = −53717 · 18146684417803, % = 5.84 x^{17} −3x^{16} +5x^{15} −6x^{14} +3x^{13} +2x^{12} −7x^{11} +9x^{10} −7x^{9} +4x^{8} +x^{7} −2x^{6} +3x^{5} −2x^{4} −x^{2} −1 d = 17, r_{1}= 5, disc = 211 · 16410262530056039, % = 3.66 x^{17} + 6x^{16} + 8x^{15} − 16x^{14} − 39x^{13} + 21x^{12} + 91x^{11} − 5x^{10} − 123x^{9} − 16x^{8} + 105x^{7} + 15x^{6} − 61x^{5} − 3x^{4} + 22x^{3} − 2x^{2} − 4x + 1 d = 17, r_{1}= 7, disc = −4439838149 · 6843463387, % = 6.89 x^{17} − 15x^{15} + x^{14} + 92x^{13} − 11x^{12} − 297x^{11} + 47x^{10} + 541x^{9} − 99x^{8} − 552x^{7} + 107x^{6} + 292x^{5} − 55x^{4} − 66x^{3} + 10x^{2} + 4x − 1 d = 17, r_{1}= 9, disc = 83 · 787678603 · 4269337097, % = 10.34 x^{17} −4x^{16} −6x^{15} +39x^{14} +2x^{13} −149x^{12} +55x^{11} +286x^{10} −144x^{9} −293x^{8} +142x^{7} +155x^{6} − 53x^{5} − 36x^{4} + 3x^{3} + 2x^{2} + 1 d = 17, r_{1}= 11, disc = −449309717 · 2682889787819, % = 8.80 x^{17} + x^{16} − 14x^{15} − 12x^{14} + 81x^{13} + 57x^{12} − 250x^{11} − 136x^{10} + 442x^{9} + 170x^{8} − 444x^{7} − 104x^{6} + 232x^{5} + 24x^{4} − 49x^{3} − x^{2} + 2x + 1 d = 17, r_{1}= 13, disc = 457 · 55846971524054703281, % = 17.63 x^{17} − x^{16} − 16x^{15} + 15x^{14} + 105x^{13} − 92x^{12} − 362x^{11} + 296x^{10} + 695x^{9} − 531x^{8} − 720x^{7} + 517x^{6} + 351x^{5} − 240x^{4} − 54x^{3} + 36x^{2} − 1 d = 17, r_{1}= 15, disc = −754424650732128851556379, % = 29.53 x^{17} + x^{16} − 16x^{15} − 15x^{14} + 104x^{13} + 90x^{12} − 353x^{11} − 276x^{10} + 670x^{9} + 459x^{8} − 708x^{7} − 406x^{6} + 392x^{5} + 174x^{4} − 100x^{3} − 28x^{2} + 9x + 1

d = 18, r_{1}= 0, disc = −(44058793)^{2}419, % = 1.89 Res(x^{9} − 5x^{8} + 15x^{7} − 30x^{6} + 45x^{5} − 50x^{4} + 42x^{3} − 24x^{2} + 8x − 1, y^{2} − y + x) d = 18, r_{1}= 2, disc = (43 · 1693 · 27067)^{2}, % = 1.69 Res(x^{9} + 8x^{8} + 26x^{7} + 46x^{6} + 50x^{5} + 30x^{4} − 3x^{3} − 18x^{2} − 8x − 1, y^{2} + y − x) d = 18, r_{1}= 4, disc = −(−228936047)^{2}419, % = 2.28 Res(x^{9} + 2x^{8} + 5x^{7} + 2x^{6} + x^{5} − 7x^{4} − 3x^{3} − 3x^{2} + 2x + 1, (y^{2} + y + 1)x + y) d = 18, r_{1}= 6, disc = (−107 · 1791541)^{2}3709, % = 3.24 Res(x^{9} − 2x^{8} + x^{7} + 3x^{6} − 6x^{5} + 3x^{4} + x^{3} − 4x^{2} + 3x − 1, −x + (y^{2} + y − 1)) d = 18, r_{1}= 8, disc = −(41 · 11221481)^{2}4951, % = 5.31 Res(x^{9} − 7x^{7} + x^{6} + 14x^{5} + x^{4} − 13x^{3} − 2x^{2} + 5x − 1, yx^{2} + (y^{2} − 1)x + (−y + 1)) d = 18, r_{1}= 10, disc = (−757 · 3052187)^{2}1009, % = 4.89 Res(x^{9} − 12x^{8} + 56x^{7} − 129x^{6} + 148x^{5} − 63x^{4} − 19x^{3} + 18x^{2} − 1, y^{2} + y − x) d = 18, r_{1}= 12, disc = −(13 · 11743 · 122867)^{2}107, % = 6.14 Res(x^{9} − 2x^{8} − 14x^{7} + 12x^{6} + 76x^{5} + 17x^{4} − 125x^{3} − 110x^{2} − 21x − 1, y^{2} + (x − 1)y + 1) d = 18, r_{1}= 14, disc = (−337 · 6396703)^{2}337 · 137, % = 6.07 Res(x^{9} − 14x^{8} + 74x^{7} − 186x^{6} + 217x^{5} − 70x^{4} − 51x^{3} + 17x^{2} + 10x + 1, y^{2} + y − x) d = 18, r_{1}= 16, disc = −(9685993193)^{2}11519, % = 5.15 Res(x^{9} − 16x^{8} + 104x^{7} − 349x^{6} + 629x^{5} − 556x^{4} + 149x^{3} + 52x^{2} − 12x − 1, y^{2} + y − x) d = 18, r_{1}= 18, disc = 3^{27}7^{15}, % = 15.68 χ(2 cos(\frac{2π}{63}))

d = 19, r_{1}= 1, disc = −67 · 1283 · 9339373 · 90896347, % = 6.45 x^{19} + 9x^{18} + 44x^{17} + 152x^{16} + 405x^{15} + 876x^{14} + 1584x^{13} + 2437x^{12} + 3232x^{11} + 3714x^{10} + 3714x^{9} + 3231x^{8} + 2437x^{7} + 1584x^{6} + 876x^{5} + 405x^{4} + 152x^{3} + 44x^{2} + 9x + 1 d = 19, r_{1}= 3, disc = 23 · 8693 · 14327 · 308373499769, % = 11.37 x^{19} + 3x^{18} − 4x^{17} − 16x^{16} + 13x^{15} + 47x^{14} − 32x^{13} − 84x^{12} + 59x^{11} + 97x^{10} − 74x^{9} − 76x^{8} + 65x^{7} + 41x^{6} − 42x^{5} − 12x^{4} + 18x^{3} − 4x + 1 d = 19, r_{1}= 5, disc = −169319 · 31967917 · 303131581, % = 5.42 x^{19} + 2x^{18} − 7x^{17} − 10x^{16} + 27x^{15} + 21x^{14} − 62x^{13} − 19x^{12} + 92x^{11} − x^{10} − 92x^{9} + 23x^{8} + 62x^{7} − 27x^{6} − 27x^{5} + 17x^{4} + 7x^{3} − 6x^{2} − x + 1 d = 19, r_{1}= 7, disc = 461 · 6263 · 234203 · 36009826129, % = 11.16 x^{19} + 9x^{18} + 23x^{17} − 11x^{16} − 108x^{15} − 24x^{14} + 264x^{13} + 75x^{12} − 441x^{11} − 77x^{10} + 510x^{9} + 13x^{8} − 386x^{7} + 45x^{6} + 172x^{5} − 40x^{4} − 37x^{3} + 11x^{2} + 3x − 1 d = 19, r_{1}= 9, disc = −37^{2}643 · 1307909 · 70504387781, % = 8.22 x^{19} +2x^{18} −16x^{17} −31x^{16} +110x^{15} +203x^{14} −425x^{13} −729x^{12} +1013x^{11} +1558x^{10} −1538x^{9} − 2009x^{8} + 1480x^{7} + 1507x^{6} − 865x^{5} − 591x^{4} + 276x^{3} + 90x^{2} − 36x + 1 d = 19, r_{1}= 11, disc = 677712175493888590645321, % = 10.44 x^{19} − 9x^{18} + 23x^{17} + 22x^{16} − 185x^{15} + 159x^{14} + 436x^{13} − 750x^{12} − 311x^{11} + 1201x^{10} − 188x^{9} − 843x^{8} + 367x^{7} + 201x^{6} − 176x^{5} + 36x^{4} + 42x^{3} − 15x^{2} − 9x − 1 d = 19, r_{1}= 13, disc = −163 · 223 · 5297 · 922853 · 28394771507, % = 11.90 x^{19} +2x^{18} −16x^{17} −30x^{16} +109x^{15} +186x^{14} −411x^{13} −615x^{12} +930x^{11} +1168x^{10} −1275x^{9} − 1281x^{8} + 1016x^{7} + 775x^{6} − 428x^{5} − 226x^{4} + 80x^{3} + 21x^{2} − 6x − 1 d = 19, r_{1}= 15, disc = 251 · 22567 · 34961 · 341215563237469, % = 16.82 x^{19} + 9x^{18} + 21x^{17} − 35x^{16} − 195x^{15} − 62x^{14} + 628x^{13} + 552x^{12} − 1004x^{11} − 1173x^{10} + 865x^{9} + 1145x^{8} − 395x^{7} − 528x^{6} + 86x^{5} + 98x^{4} − 7x^{3} − 6x^{2} + 1

d = 20, r_{1}= 0, disc = (193 · 7592561)^{2}137, % = 2.70 Res(x^{10} + 10x^{9} + 47x^{8} + 133x^{7} + 243x^{6} + 297x^{5} + 253x^{4} + 152x^{3} + 58x^{2} + 12x + 1, y^{2} + y − x) d = 20, r_{1}= 2, disc = −(−673 · 2281 · 2803)^{2}67, % = 1.66 Res(x^{10} + 9x^{9} + 34x^{8} + 69x^{7} + 79x^{6} + 52x^{5} + 33x^{4} + 38x^{3} + 28x^{2} + 9x + 1, y^{2} + y − x) d = 20, r_{1}= 4, disc = (−83 · 1181 · 49597)^{2}349, % = 2.81 Res(x^{10} − 3x^{9} − x^{8} + 17x^{7} − 28x^{6} + 45x^{4} − 56x^{3} + 32x^{2} − 9x + 1, y^{2} + xy + 1) d = 20, r_{1}= 6, disc = −(−29 · 103 · 181 · 6229)^{2}59 · 89, % = 4.27 Res(x^{10} − 2x^{9} + 3x^{8} − 3x^{7} − x^{6} + 3x^{5} − 5x^{4} + 3x^{3} − x + 1, y^{2}x^{2} + y − x) d = 20, r_{1}= 8, disc = (−41 · 197 · 610823)^{2}13829, % = 4.34 Res(x^{10} − 4x^{9} + 12x^{8} − 27x^{7} + 41x^{6} − 49x^{5} + 45x^{4} − 34x^{3} + 20x^{2} − 7x + 1, y^{2} + xy − 1) d = 20, r_{1}= 10, disc = −(97259 · 221447)^{2}6359, % = 6.61 Res(x^{10} − x^{9} − 6x^{8} + 4x^{7} + 17x^{6} − 7x^{5} − 23x^{4} + 5x^{3} + 12x^{2} − 1, y^{2}x − (x^{2} + 1)y + 1) d = 20, r_{1}= 12, disc = (21535538293)^{2}62533, % = 9.44 Res(x^{10} + 3x^{9} − 6x^{8} + 18x^{7} − 30x^{6} + 3x^{5} + 44x^{4} − 56x^{3} + 32x^{2} − 9x + 1, y^{2} + xy − 1) d = 20, r_{1}= 14, disc = −(−449 · 288418411)^{2}43 · 677, % = 15.29 Res(x^{10} − 14x^{9} + 81x^{8} − 248x^{7} + 423x^{6} − 377x^{5} + 124x^{4} + 32x^{3} − 24x^{2} + 1, y^{2} + y − x) d = 20, r_{1}= 16, disc = (−130833798211)^{2}23 · 31 · 137, % = 12.05 Res(x^{10} − 12x^{9} + 62x^{8} − 186x^{7} + 355x^{6} − 426x^{5} + 292x^{4} − 88x^{3} − 3x^{2} + 7x − 1, y^{2} + y − x) d = 20, r_{1}= 20, disc = 5^{15}11^{18}, % = 17.60 χ(2 cos(\frac{2π}{55})) d = 21, r_{1}= 1, disc = 34482057615039759645721, % = 7.90 x^{21} +2x^{20} −9x^{19} −21x^{18} +31x^{17} +90x^{16} −53x^{15} −214x^{14} +51x^{13} +333x^{12} −23x^{11} −361x^{10} − 4x^{9} + 277x^{8} + 12x^{7} − 149x^{6} − 6x^{5} + 53x^{4} + x^{3} − 11x^{2} + 1 d = 21, r_{1}= 3, disc = −42473 · 522703 · 6783116077093, % = 6.87 x^{21} + x^{20} − 10x^{19} − 5x^{18} + 45x^{17} + 18x^{16} − 120x^{15} − 24x^{14} + 210x^{13} + 2x^{12} − 252x^{11} + 41x^{10} + 210x^{9} − 67x^{8} − 120x^{7} + 56x^{6} + 45x^{5} − 28x^{4} − 10x^{3} + 8x^{2} + x − 1 d = 21, r_{1}= 5, disc = 31 · 73 · 25876054049 · 51212997919, % = 13.65 x^{21} + 3x^{20} − 13x^{19} − 42x^{18} + 72x^{17} + 250x^{16} − 223x^{15} − 821x^{14} + 428x^{13} + 1613x^{12} − 536x^{11} − 1919x^{10} + 451x^{9} + 1328x^{8} − 256x^{7} − 476x^{6} + 92x^{5} + 64x^{4} − 16x^{3} + 1 d = 21, r_{1}= 7, disc = −3539 · 5417601579682951682501, % = 14.36 x^{21} − 18x^{19} + 139x^{17} − 603x^{15} + x^{14} + 1616x^{13} − 11x^{12} − 2770x^{11} + 47x^{10} + 3037x^{9} − 99x^{8} − 2064x^{7} + 107x^{6} + 807x^{5} − 55x^{4} − 155x^{3} + 10x^{2} + 10x − 1 d = 21, r_{1}= 9, disc = 239 · 2357 · 1468904243 · 88207486933, % = 12.16 x^{21} −3x^{20} −14x^{19} +46x^{18} +81x^{17} −301x^{16} −244x^{15} +1093x^{14} +378x^{13} −2397x^{12} −170x^{11} + 3235x^{10} − 367x^{9} − 2618x^{8} + 652x^{7} + 1175x^{6} − 415x^{5} − 246x^{4} + 106x^{3} + 16x^{2} − 8x − 1 d = 21, r_{1}= 11, disc = (−13 · 157 · 1367)^{3}29 · 4647521, % = 22.93 Res(x^{7} − 9x^{6} + 39x^{5} − 93x^{4} + 105x^{3} − 53x^{2} + 12x − 1, (y^{3} − y^{2} − 1)x + (−y^{2} + y + 1)) d = 21, r_{1}= 13, disc = 1117 · 2432113 · 2319299879622756101, % = 17.10 x^{21} + 2x^{20} − 18x^{19} − 35x^{18} + 140x^{17} + 262x^{16} − 614x^{15} − 1092x^{14} + 1660x^{13} + 2761x^{12} − 2836x^{11} − 4320x^{10} + 3008x^{9} + 4079x^{8} − 1854x^{7} − 2149x^{6} + 567x^{5} + 528x^{4} − 54x^{3} − 36x^{2} − 1 d = 21, r_{1}= 15, disc = −45513355273 · 2266108586355582979, % = 22.76 x^{21} −20x^{19} +2x^{18} +162x^{17} −28x^{16} −691x^{15} +153x^{14} +1699x^{13} −427x^{12} −2489x^{11} +666x^{10} + 2184x^{9} − 607x^{8} − 1130x^{7} + 328x^{6} + 331x^{5} − 101x^{4} − 50x^{3} + 16x^{2} + 3x − 1

d = 22, r_{1}= 0, disc = −(509 · 62416433)^{2}107, % = 3.14 Res(x^{11} − 5x^{10} + 4x^{9} + 18x^{8} − 40x^{7} + 20x^{6} + 23x^{5} − 46x^{4} + 41x^{3} − 21x^{2} + 7x − 1, y^{2} + xy + 1) d = 22, r_{1}= 2, disc = (2069 · 35952097)^{2}97, % = 2.77 Res(x^{11} − 8x^{9} + 22x^{7} + 2x^{6} − 25x^{5} − 6x^{4} + 10x^{3} + 4x^{2} + 1, y^{2} + xy + 1) d = 22, r_{1}= 4, disc = −(−1553 · 2011 · 66413)^{2}79, % = 3.43 Res(x^{11}+9x^{10}+30x^{9}+35x^{8}−46x^{7}−213x^{6}−327x^{5}−279x^{4}−138x^{3}−30x^{2}+4x+1, y^{2}+xy+1) d = 22, r_{1}= 6, disc = (41 · 702937801)^{2}29017, % = 4.52 Res(x^{11} + 10x^{10} + 44x^{9} + 109x^{8} + 158x^{7} + 117x^{6} − 87x^{4} − 92x^{3} − 50x^{2} − 12x − 1, y^{2} + y − x) d = 22, r_{1}= 8, disc = −521 · 1581193 · 11899067 · 36512520553, % = 9.12 x^{22} −18x^{20} −x^{19} +139x^{18} +16x^{17} −602x^{16} −108x^{15} +1604x^{14} +400x^{13} −2711x^{12} −885x^{11} + 2882x^{10} + 1192x^{9} − 1827x^{8} − 950x^{7} + 594x^{6} + 408x^{5} − 50x^{4} − 72x^{3} − 12x^{2} + 1 d = 22, r_{1}= 10, disc = (−53^{2}50211527)^{2}80849, % = 7.80 Res(x^{11} − x^{10} + 2x^{9} − 3x^{8} − 5x^{7} + 5x^{6} + 3x^{5} − 2x^{4} − 2x^{3} + 2x + 1, y^{2} + xy − 1) d = 22, r_{1}= 12, disc = −(61 · 449 · 2089 · 12613)^{2}58151, % = 13.56 Res(x^{11}−10x^{10}+43x^{9}−100x^{8}+121x^{7}−30x^{6}−111x^{5}+128x^{4}−27x^{3}−20x^{2}+3x+1, y^{2}+y−x) d = 22, r_{1}= 14, disc = (727 · 1041646127)^{2}498301, % = 15.84 Res(x^{11}−11x^{10}+53x^{9}−148x^{8}+262x^{7}−299x^{6}+220x^{5}−112x^{4}+44x^{3}−7x^{2}−3x+1, y^{2}+y−x) d = 22, r_{1}= 16, disc = −(−8147 · 9341 · 59809)^{2}401 · 571, % = 21.14 Res(x^{11} − 9x^{10} + 27x^{9} − 19x^{8} − 49x^{7} + 77x^{6} + 14x^{5} − 64x^{4} + 9x^{3} + 15x^{2} − 2x − 1, y^{2} + y − x) d = 22, r_{1}= 18, disc = (−739 · 2687 · 2800403)^{2}426661, % = 16.71 Res(x^{11} − 2x^{9} − x^{8} − 12x^{7} + 2x^{6} + 26x^{5} + 3x^{4} − 16x^{3} − 4x^{2} + 3x + 1, y^{2} + xy − 1)

d = 23, r_{1}= 1, disc = −947 · 967 · 28169528890267476263, % = 11.04 x^{23} + 2x^{22} + 6x^{21} + 11x^{20} + 20x^{19} + 31x^{18} + 45x^{17} + 60x^{16} + 75x^{15} + 89x^{14} + 99x^{13} + 105x^{12} + 106x^{11} + 101x^{10} + 92x^{9} + 79x^{8} + 64x^{7} + 49x^{6} + 35x^{5} + 23x^{4} + 13x^{3} + 7x^{2} + 3x + 1 d = 23, r_{1}= 3, disc = 7829 · 549257 · 18597740496250117, % = 8.28 x^{23}+13x^{22}+89x^{21}+419x^{20}+1506x^{19}+4359x^{18}+10482x^{17}+21355x^{16}+37346x^{15}+56581x^{14}+ 74757x^{13} + 86532x^{12} + 87967x^{11} + 78546x^{10} + 61434x^{9} + 41853x^{8} + 24620x^{7} + 12355x^{6} + 5203x^{5} + 1797x^{4} + 492x^{3} + 101x^{2} + 14x + 1 d = 23, r_{1}= 5, disc = −1591567 · 533438881419590803169, % = 11.28 x^{23} − 14x^{21} + 10x^{20} + 58x^{19} − 38x^{18} − 160x^{17} + 86x^{16} + 304x^{15} − 134x^{14} − 404x^{13} + 142x^{12} + 387x^{11} − 100x^{10} − 272x^{9} + 44x^{8} + 139x^{7} − 11x^{6} − 50x^{5} + 3x^{4} + 14x^{3} − x^{2} − 4x − 1 d = 23, r_{1}= 7, disc = 1787 · 3221747 · 773453350035640613, % = 10.81 x^{23} +3x^{22} −14x^{21} −46x^{20} +82x^{19} +301x^{18} −262x^{17} −1097x^{16} +504x^{15} +2438x^{14} −622x^{13} − 3401x^{12} + 534x^{11} + 2955x^{10} − 345x^{9} − 1535x^{8} + 156x^{7} + 440x^{6} − 37x^{5} − 61x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} + 1 d = 23, r_{1}= 9, disc = −109 · 152810124610224791674772651, % = 8.63 x^{23}+3x^{22}−16x^{21}−51x^{20}+112x^{19}+379x^{18}−452x^{17}−1614x^{16}+1166x^{15}+4336x^{14}−2009x^{13}− 7618x^{12} + 2329x^{11} + 8770x^{10} − 1759x^{9} − 6433x^{8} + 784x^{7} + 2808x^{6} − 156x^{5} − 628x^{4} + 48x^{2} − 1 d = 23, r_{1}= 13, disc = −5^{2}3061 · 302297 · 2364287 · 24193169507669, % = 12.33 x^{23} + 2x^{22} − 21x^{21} − 41x^{20} + 194x^{19} + 366x^{18} − 1038x^{17} − 1866x^{16} + 3564x^{15} + 5988x^{14} − 8220x^{13} −12564x^{12} +12951x^{11} +17334x^{10} −13887x^{9} −15399x^{8} +9890x^{7} +8350x^{6} −4434x^{5} − 2470x^{4} + 1120x^{3} + 300x^{2} − 120x − 1

d = 24, r_{1}= 0, disc = (−601 · 3943 · 185057)^{2}197, % = 3.07 Res(x^{12}−x^{11}−6x^{10}+10x^{9}+4x^{8}−29x^{7}+29x^{6}+6x^{5}−40x^{4}+42x^{3}−23x^{2}+7x−1, y^{2}+xy+1) d = 24, r_{1}= 2, disc = −(−73 · 48563 · 75289)^{2}4751, % = 5.12 Res(x^{12} −3x^{11} −3x^{10} +11x^{9} +9x^{8} −17x^{7} −19x^{6} +9x^{5} +18x^{4} +4x^{3} −6x^{2} −4x−1, y^{2} +xy +1) d = 24, r_{1}= 4, disc = (−1117 · 2749 · 137443)^{2}10009, % = 4.79 Res(x^{12}+6x^{11}+15x^{10}+15x^{9}−10x^{8}−49x^{7}−65x^{6}−46x^{5}−20x^{4}−11x^{3}−10x^{2}−6x−1, y^{2}+y−x) d = 24, r_{1}= 6, disc = −(4951 · 235786027)^{2}17351, % = 8.45 Res(x^{12}−7x^{11}+13x^{10}+10x^{9}−47x^{8}+9x^{7}+60x^{6}−22x^{5}−36x^{4}+12x^{3}+9x^{2}−2x−1, y^{2}+xy+1) d = 24, r_{1}= 8, disc = (2^{12}31^{2}103 · 2309)^{2}163601, % = 8.56 Res(x^{12} − 12x^{11} + 62x^{10} − 180x^{9} + 318x^{8} − 336x^{7} + 173x^{6} + 20x^{5} − 74x^{4} + 24x^{3} + 10x^{2} − 4x − 1, y^{2} + y − x) d = 24, r_{1}= 10, disc = −(−67 · 104864533273)^{2}23399, % = 9.88 Res(x^{12} − 14x^{11} + 86x^{10} − 304x^{9} + 679x^{8} − 983x^{7} + 893x^{6} − 434x^{5} + 21x^{4} + 83x^{3} − 24x^{2} − 4x + 1, y^{2} + y − x) d = 24, r_{1}= 12, disc = (−73 · 73038811211)^{2}463 · 2423, % = 16.98 Res(x^{12}−10x^{11}+37x^{10}−55x^{9}+2x^{8}+73x^{7}−37x^{6}−38x^{5}+19x^{4}+10x^{3}+2x^{2}−4x−1, y^{2}+y−x) d = 24, r_{1}= 14, disc = −(12781 · 2585448361)^{2}239831, % = 18.32 Res(x^{12} − 10x^{11} + 48x^{10} − 136x^{9} + 226x^{8} − 184x^{7} − 17x^{6} + 174x^{5} − 131x^{4} + 14x^{3} + 18x^{2} − 3x − 1, y^{2} + y − x) d = 24, r_{1}= 16, disc = (46454430474329)^{2}1249 · 1489, % = 22.75 Res(x^{12} −8x^{11} +17x^{10} +14x^{9} −73x^{8} +5x^{7} +116x^{6} −14x^{5} −82x^{4} +3x^{3} +23x^{2} −1, y^{2} +y −x) d = 24, r_{1}= 20, disc = (1091 · 140312594369)^{2}2^{24}, % = 27.15 Res(x^{12} −21x^{11} +192x^{10} −1005x^{9} +3301x^{8} −7050x^{7} +9900x^{6} −9115x^{5} +5420x^{4} −2007x^{3} + 427x^{2} − 43x + 1, y^{2} − x) d = 24, r_{1}= 24, disc = 3^{12}5^{18}7^{20}, % = 4.62 χ(2 cos(\frac{2π}{105}))

d = 25, r_{1}= 1, disc = 383 · 213139 · 71666561 · 22067169745241, % = 22.48 x^{25} − 2x^{24} + 3x^{23} − 4x^{22} + 5x^{21} − 6x^{20} + 7x^{19} − 8x^{18} + 9x^{17} − 9x^{16} + 9x^{15} − 8x^{14} + 6x^{13} − 5x^{12} + 3x^{11} − x^{10} + x^{8} − 2x^{7} + 3x^{6} − 3x^{5} + 3x^{4} − 3x^{3} + 2x^{2} − x + 1 d = 25, r_{1}= 3, disc = −41617 · 14598128494544503461514327, % = 21.53 x^{25} −11x^{24} +67x^{23} −284x^{22} +924x^{21} −2422x^{20} +5267x^{19} −9671x^{18} +15156x^{17} −20380x^{16} + 23531x^{15} −23217x^{14} +19327x^{13} −13188x^{12} +6860x^{11} −2053x^{10} −569x^{9} +1353x^{8} −1118x^{7} + 604x^{6} − 211x^{5} + 25x^{4} + 22x^{3} − 18x^{2} + 7x − 1 d = 25, r_{1}= 5, disc = 197 · 179805641 · 45786768231018741281, % = 17.79 x^{25} −10x^{24} +54x^{23} −208x^{22} +628x^{21} −1568x^{20} +3345x^{19} −6226x^{18} +10268x^{17} −15159x^{16} + 20187x^{15} − 24371x^{14} + 26756x^{13} − 26756x^{12} + 24370x^{11} − 20187x^{10} + 15159x^{9} − 10268x^{8} + 6226x^{7} − 3345x^{6} + 1568x^{5} − 628x^{4} + 208x^{3} − 54x^{2} + 10x − 1 d = 25, r_{1}= 7, disc = −16693453533590270424331126316771, % = 20.40 x^{25} + 12x^{24} + 66x^{23} + 220x^{22} + 486x^{21} + 702x^{20} + 518x^{19} − 297x^{18} − 1400x^{17} − 1884x^{16} − 1075x^{15} + 591x^{14} + 1778x^{13} + 1549x^{12} + 312x^{11} − 716x^{10} − 824x^{9} − 315x^{8} + 125x^{7} + 206x^{6} + 86x^{5} − 10x^{4} − 24x^{3} − 8x^{2} + x + 1 d = 25, r_{1}= 9, disc = 2079577 · 197076050833964643162010417, % = 27.34 x^{25} + 12x^{24} + 46x^{23} + 8x^{22} − 353x^{21} − 556x^{20} + 1058x^{19} + 2769x^{18} − 1737x^{17} − 7157x^{16} + 2038x^{15} + 11826x^{14} − 2689x^{13} − 13222x^{12} + 4084x^{11} + 9780x^{10} − 4661x^{9} − 4233x^{8} + 3201x^{7} + 626x^{6} − 1128x^{5} + 219x^{4} + 126x^{3} − 72x^{2} + 14x − 1 d = 25, r_{1}= 11, disc = −23^{2}3203 · 29390063 · 38884243 · 318061223317, % = 20.35 x^{25} − 11x^{24} + 41x^{23} − 20x^{22} − 264x^{21} + 611x^{20} + 237x^{19} − 2355x^{18} + 1587x^{17} + 3945x^{16} − 5115x^{15} − 3518x^{14} + 7264x^{13} + 2117x^{12} − 6353x^{11} − 1456x^{10} + 3812x^{9} + 1151x^{8} − 1463x^{7} − 618x^{6} + 224x^{5} + 160x^{4} + 36x^{3} − 5x^{2} − 6x − 1

d = 26, r_{1}= 0, disc = −(1535761 · 7036903)^{2}239, % = 5.79 Res(x^{13} + x^{12} − 10x^{11} − 8x^{10} + 38x^{9} + 22x^{8} − 69x^{7} − 24x^{6} + 62x^{5} + 7x^{4} − 26x^{3} + 2x^{2} + 4x − 1, y^{2} + xy + 1) d = 26, r_{1}= 2, disc = (199 · 18025912231)^{2}9181, % = 4.56 Res(x^{13} −4x^{12} +3x^{11} +6x^{10} −7x^{9} −3x^{8} +2x^{7} +x^{6} +5x^{5} −x^{4} −4x^{3} +x^{2} −1, (y^{2} −y +1)x−1) d = 26, r_{1}= 4, disc = −(−101 · 7351 · 15906221)^{2}7459, % = 6.21 Res(x^{13} + 2x^{12} − 4x^{10} − 6x^{9} − x^{8} + 6x^{7} + 6x^{6} − 3x^{4} + x^{2} − 1, (y^{2} − y + 1)x + 1) d = 26, r_{1}= 6, disc = (35751827796541)^{2}17377, % = 11.54 Res(x^{13} + x^{12} − 9x^{11} − 9x^{10} + 29x^{9} + 28x^{8} − 40x^{7} − 34x^{6} + 22x^{5} + 11x^{4} − 3x^{3} + 3x^{2} + 1, y^{2} + (x^{2} − 1)y + 1) d = 26, r_{1}= 8, disc = −48212963 · 6022658192397597974840741, % = 14.88 x^{26} +4x^{25} −15x^{24} −75x^{23} +85x^{22} +617x^{21} −171x^{20} −2923x^{19} −402x^{18} +8794x^{17} +3303x^{16} − 17461x^{15} − 9211x^{14} + 23001x^{13} + 14633x^{12} − 19630x^{11} − 14360x^{10} + 10183x^{9} + 8674x^{8} − 2744x^{7} − 3040x^{6} + 187x^{5} + 536x^{4} + 53x^{3} − 33x^{2} − 6x + 1 d = 26, r_{1}= 10, disc = (281 · 135009882661)^{2}31 · 35839, % = 14.37 Res(x^{13} + 5x^{12} + 2x^{11} − 24x^{10} − 27x^{9} + 39x^{8} + 54x^{7} − 26x^{6} − 31x^{5} + 9x^{4} − 4x^{3} − 2x^{2} + 4x − 1, y^{2} + y − (1 + x)) d = 26, r_{1}= 12, disc = −(−7^{2}113 · 57512297251)^{2}1301171, % = 26.28 Res(x^{13} − 2x^{12} − 5x^{11} − 9x^{10} − 12x^{9} + 31x^{8} + 43x^{7} − 39x^{6} − 40x^{5} + 25x^{4} + 15x^{3} − 8x^{2} − 2x + 1, (y^{2} − y − 1)x + 1) d = 26, r_{1}= 14, disc = (−31 · 53 · 242591 · 421459)^{2}443 · 22367, % = 21.04 Res(x^{13} −4x^{12} +5x^{11} +x^{10} −12x^{9} +14x^{8} −x^{7} −12x^{6} +12x^{5} −5x^{3} +3x^{2} −1, (y^{2} −y −1)x+1) d = 26, r_{1}= 16, disc = −179 · 6619 · 18089 · 81943 · 6130472768243884285993, % = 29.63 x^{26} − 13x^{24} − 15x^{23} + 78x^{22} + 154x^{21} − 286x^{20} − 579x^{19} + 715x^{18} + 865x^{17} − 1287x^{16} + 124x^{15} + 1716x^{14} − 2229x^{13} − 1716x^{12} + 3421x^{11} + 1287x^{10} − 2709x^{9} − 715x^{8} + 1279x^{7} + 286x^{6} − 364x^{5} − 78x^{4} + 58x^{3} + 13x^{2} − 4x − 1 d = 26, r_{1}= 18, disc = (1138094965960681)^{2}1151 · 35851, % = 28.24 Res(x^{13} − 2x^{12} − 9x^{11} + 17x^{10} + 30x^{9} − 51x^{8} − 46x^{7} + 64x^{6} + 33x^{5} − 30x^{4} − 9x^{3} + 2x^{2} + 1, (y^{2} − y − 1)x − 1)

d = 27, r_{1}= 1, disc = −263 · 58741 · 10279807631 · 486756036921719, % = 22.87 x^{27} − 15x^{26} + 121x^{25} − 675x^{24} + 2883x^{23} − 9941x^{22} + 28578x^{21} − 69944x^{20} + 147849x^{19} − 272648x^{18} + 441763x^{17} − 632028x^{16} + 801119x^{15} − 901499x^{14} + 901498x^{13} − 801119x^{12} + 632028x^{11} − 441763x^{10} + 272648x^{9} − 147849x^{8} + 69944x^{7} − 28578x^{6} + 9941x^{5} − 2883x^{4} + 675x^{3} − 121x^{2} + 15x − 1 d = 27, r_{1}= 3, disc = (43 · 311 · 2621)^{3}167 · 185881727, % = 27.88 Res(x^{9} − 2x^{8} − 2x^{7} + 5x^{6} + x^{5} − 6x^{4} + x^{3} + 3x^{2} − x − 1, y^{3} − xy − 1) d = 27, r_{1}= 5, disc = (−17 · 10058599)^{3}3833 · 216133, % = 24.80 Res(x^{9} − 2x^{8} − x^{7} + 4x^{6} + x^{5} − 5x^{4} + 3x^{2} − x − 1, (y^{3} − y^{2})x + (−y^{2} + y + 1)) d = 27, r_{1}= 7, disc = −(−97 · 229 · 5179)^{3}59 · 1031 · 49559, % = 17.16 Res(x^{9} − 5x^{8} + 7x^{7} − 5x^{5} + 5x^{4} − 7x^{3} + 4x + 1, y^{3} − y − x) d = 27, r_{1}= 9, disc = (−2300611591)^{3}5^{2}239 · 2243, % = 24.99 Res(x^{9} + 2x^{8} − 5x^{7} − 7x^{6} + 9x^{4} + 8x^{3} − 2x^{2} − 4x − 1, (y^{3} − y^{2} − 1)x + (−y^{2} + y + 1)) d = 27, r_{1}= 11, disc = (7^{6}41 · 97)^{3}491 · 28587287, % = 26.55 Res(x^{9} + 9x^{7} − 27x^{6} − x^{5} + 27x^{4} + 4x^{3} − 19x^{2} + 8x − 1, y^{3} − y − x) d = 27, r_{1}= 13, disc = (−2307632671)^{3}386365313, % = 23.48 Res(x^{9}−3x^{8}−70x^{7}+172x^{6}+389x^{5}+219x^{4}+10x^{3}−30x^{2}−10x−1, (y^{3}−y^{2})x+(−y^{2}+y+1))

d = 28, r_{1}= 0, disc = (−499 · 1031 · 66047903)^{2}71 · 503, % = 10.72 Res(x^{14} − 3x^{13} + 3x^{11} + 3x^{10} + x^{9} − 7x^{8} + 3x^{6} + 3x^{5} − 4x^{3} + 1, y^{2} + xy + 1) d = 28, r_{1}= 2, disc = −(97 · 1627 · 579204319)^{2}19 · 23 · 67, % = 10.74 Res(x^{14} − 4x^{12} + 4x^{10} + x^{9} + 2x^{8} − 4x^{7} − 5x^{6} + 4x^{5} + 2x^{4} + x^{3} − 2x + 1, (y^{2} − y + 1)x − 1) d = 28, r_{1}= 4, disc = (61 · 489487 · 1687087)^{2}288181, % = 8.01 Res(x^{14} − 2x^{13} + 4x^{12} − 8x^{11} + 12x^{10} − 17x^{9} + 20x^{8} − 23x^{7} + 23x^{6} − 20x^{5} + 16x^{4} − 11x^{3} + 6x^{2} − 3x + 1, (y^{2} − y + 1)x − 1) d = 28, r_{1}= 6, disc = −(−37 · 73 · 757 · 4481 · 34963)^{2}139 · 1913, % = 15.22 Res(x^{14} − x^{12} + 2x^{11} − x^{9} + x^{7} − 4x^{5} + 2x^{4} + x^{3} − 2x^{2} + x + 1, (y^{2} − y + 1)x + 1) d = 28, r_{1}= 8, disc = (−390725608087363)^{2}59 · 9491, % = 12.43 Res(x^{14} − 7x^{12} − 6x^{11} + 18x^{10} + 49x^{9} − 41x^{8} − 110x^{7} + 52x^{6} + 110x^{5} − 27x^{4} − 49x^{3} + 4x^{2} + 6x − 1, (y^{2} − y − 1)x − 1) d = 28, r_{1}= 10, disc = −(139 · 727 · 29437 · 1162597)^{2}37 · 53 · 271, % = 22.77 Res(x^{14} + 2x^{13} − 53x^{12} − 335x^{11} − 752x^{10} − 347x^{9} + 1626x^{8} + 3809x^{7} + 4182x^{6} + 2835x^{5} + 1297x^{4} + 418x^{3} + 95x^{2} + 14x + 1, y^{2} + xy + 1) d = 28, r_{1}= 12, disc = (4567 · 325253082499)^{2}3047609, % = 15.12 Res(x^{14} − 2x^{13} − 12x^{12} + 12x^{11} + 53x^{10} − 25x^{9} − 107x^{8} + 23x^{7} + 104x^{6} − 11x^{5} − 49x^{4} + 2x^{3} + 11x^{2} − 1, (y^{2} − y − 1)x + 1) d = 28, r_{1}= 16, disc = (−467729 · 28189872859)^{2}29 · 761 · 1609, % = 28.42 Res(x^{14} + 3x^{13} − 9x^{12} − 31x^{11} + 29x^{10} + 123x^{9} − 40x^{8} − 236x^{7} + 21x^{6} + 223x^{5} − 2x^{4} − 90x^{3} + 8x + 1, y^{2} + y − (1 + x)) d = 28, r_{1}= 20, disc = (131 · 535543521479983)^{2}2243 · 23327, % = 28.05 Res(x^{14} + x^{13} − 12x^{12} − 11x^{11} + 55x^{10} + 46x^{9} − 120x^{8} − 91x^{7} + 125x^{6} + 86x^{5} − 52x^{4} − 34x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1, (y^{2} − y − 1)x − 1)

d = 30, r_{1}= 0, disc = −(191 · 349 · 36980260927)^{2}59 · 61, % = 11.17 Res(x^{15} − 3x^{14} − 8x^{13} + 28x^{12} + 24x^{11} − 103x^{10} − 35x^{9} + 189x^{8} + 32x^{7} − 180x^{6} − 28x^{5} + 83x^{4} + 18x^{3} − 14x^{2} − 4x + 1, y^{2} + xy + 1) d = 30, r_{1}= 2, disc = (−13334685885690331)^{2}241, % = 7.07 Res(x^{15} − x^{14} − 13x^{13} + 12x^{12} + 68x^{11} − 57x^{10} − 183x^{9} + 135x^{8} + 269x^{7} − 164x^{6} − 212x^{5} + 93x^{4} + 82x^{3} − 18x^{2} − 12x − 1, y^{2} + xy + 1) d = 30, r_{1}= 4, disc = −(157 · 257 · 271 · 547 · 333757)^{2}327599, % = 12.93 Res(x^{15} + 10x^{14} + 35x^{13} + 34x^{12} − 79x^{11} − 195x^{10} − 20x^{9} + 272x^{8} + 158x^{7} − 153x^{6} − 131x^{5} + 34x^{4} + 40x^{3} − 2x^{2} − 4x − 1, y^{2} + xy + 1) d = 30, r_{1}= 6, disc = (−5419 · 5745289124693)^{2}11617, % = 14.14 Res(x^{15} + 11x^{14} + 41x^{13} + 15x^{12} − 331x^{11} − 994x^{10} − 835x^{9} + 1470x^{8} + 4709x^{7} + 5843x^{6} + 4218x^{5} + 1952x^{4} + 602x^{3} + 124x^{2} + 16x + 1, y^{2} + xy + 1) d = 30, r_{1}= 8, disc = −(−2399 · 75557 · 123980029)^{2}1020907, % = 21.90 Res(x^{15} +15x^{14} +113x^{13} +551x^{12} +1827x^{11} +4053x^{10} +5658x^{9} +4070x^{8} −331x^{7} −3343x^{6} − 2723x^{5} − 844x^{4} + 11x^{3} + 69x^{2} + 15x + 1, y^{2} + y − x) d = 30, r_{1}= 10, disc = (−30464899 · 1504584469)^{2}571 · 2851, % = 22.02 Res(x^{15} + 14x^{14} + 78x^{13} + 207x^{12} + 199x^{11} − 232x^{10} − 655x^{9} − 179x^{8} + 615x^{7} + 357x^{6} − 292x^{5} − 179x^{4} + 84x^{3} + 30x^{2} − 12x + 1, y^{2} + xy + 1)

d = 32, r_{1}= 0, disc = (−149 · 218869829180759)^{2}23 · 263, % = 9.41 Res(x^{16} − 3x^{15} − 9x^{14} + 31x^{13} + 32x^{12} − 132x^{11} − 56x^{10} + 297x^{9} + 47x^{8} − 375x^{7} − 11x^{6} + 258x^{5} − 8x^{4} − 84x^{3} + 4x^{2} + 8x + 1, y^{2} + xy + 1) d = 32, r_{1}= 2, disc = −(−43 · 3010213 · 749559169)^{2}26879, % = 15.91 Res(x^{16} + 4x^{15} − 4x^{14} − 30x^{13} + 93x^{11} + 20x^{10} − 152x^{9} − 31x^{8} + 135x^{7} + 14x^{6} − 58x^{5} + 8x^{3} − 1, y^{2} + xy + 1) d = 32, r_{1}= 4, disc = (−6932117 · 3700929283)^{2}277 · 2557, % = 11.54 Res(x^{16} +11x^{15} +43x^{14} +50x^{13} −106x^{12} −316x^{11} −50x^{10} +549x^{9} +356x^{8} −427x^{7} −373x^{6} + 157x^{5} + 141x^{4} − 24x^{3} − 12x^{2} + 1, y^{2} + xy + 1) d = 32, r_{1}= 6, disc = −((−2^{12}7^{2}23)^{2}5657)^{2}2638039, % = 20.81 Res_{y}(Res_{x}(x^{8} + 2x^{7} + 5x^{6} + 4x^{5} − 3x^{4} − 12x^{3} − 13x^{2} − 6x − 1, y^{2} + xy − 1), z^{2} + z + y − 1) d = 32, r_{1}= 8, disc = (−137 · 16188577 · 640333051)^{2}29 · 3413, % = 19.98 Res(x^{16} +4x^{15} −12x^{14} −73x^{13} −11x^{12} +407x^{11} +513x^{10} −653x^{9} −1547x^{8} −33x^{7} +1642x^{6} + 776x^{5} − 534x^{4} − 420x^{3} − 52x^{2} − 8x + 1, y^{2} + xy + 1) d = 32, r_{1}= 10, disc = −(−648223930401682619)^{2}3427871, % = 20.33 Res(x^{16} − 12x^{15} + 55x^{14} − 105x^{13} + 307x^{11} − 330x^{10} − 236x^{9} + 530x^{8} − 2x^{7} − 351x^{6} + 74x^{5} + 106x^{4} − 31x^{3} − 12x^{2} + 4x + 1, y^{2} + y − x) d = 32, r_{1}= 12, disc = (−3^{4}269 · 6187309 · 6321079)^{2}1181 · 129221, % = 29.89 Res(x^{16} + 13x^{15} + 68x^{14} + 193x^{13} + 337x^{12} + 318x^{11} − 221x^{10} − 1376x^{9} − 2135x^{8} − 1367x^{7} + 256x^{6} + 1143x^{5} + 944x^{4} + 420x^{3} + 110x^{2} + 16x + 1, y^{2} + xy − 1) d = 32, r_{1}= 18, disc = −((−2593 · 52579)^{2}17417)^{2}17 · 67 · 181, % = 27.92 Res_{y}(Res_{x}(x^{8} − 4x^{7} − 6x^{6} − 24x^{5} − 49x^{4} − 33x^{3} − 3x^{2} + 4x + 1, y^{2} + yx − 1), z^{2} + z + y − 1)

d = 33, r_{1}= 3, disc = (−6839578507)^{3}812387 · 852847, % = 25.75 Res(x^{11}−4x^{10}+5x^{9}−2x^{8}−2x^{7}+7x^{6}−6x^{5}+3x^{4}+x^{3}−3x^{2}+2x−1, (y^{3}−y^{2}+1)x+(−y^{2}+y−1))

d = 34, r_{1}= 0, disc = −(509 · 4381747 · 577796627)^{2}6719, % = 13.55 Res(x^{17} − 3x^{16} − 10x^{15} + 34x^{14} + 39x^{13} − 158x^{12} − 72x^{11} + 387x^{10} + 52x^{9} − 534x^{8} + 25x^{7} + 410x^{6} − 69x^{5} − 160x^{4} + 42x^{3} + 24x^{2} − 8x + 1, y^{2} + xy + 1) d = 34, r_{1}= 2, disc = (−4531883700323658883)^{2}2593, % = 12.61 Res(x^{17} − 3x^{16} − 11x^{15} + 38x^{14} + 44x^{13} − 194x^{12} − 65x^{11} + 505x^{10} − 32x^{9} − 693x^{8} + 196x^{7} + 459x^{6} − 175x^{5} − 112x^{4} + 30x^{3} + 12x^{2} − 1, y^{2} + xy + 1) d = 34, r_{1}= 4, disc = −(−1315674972302176747)^{2}449 · 5987, % = 21.59 Res(x^{17} + 9x^{16} + 28x^{15} + 26x^{14} − 33x^{13} − 74x^{12} − 31x^{11} + 72x^{10} + 531x^{9} + 1565x^{8} + 2407x^{7} + 2268x^{6} + 1473x^{5} + 722x^{4} + 275x^{3} + 76x^{2} + 13x + 1, y^{2} + xy + 1) d = 34, r_{1}= 6, disc = (−5 · 195047 · 30322223 · 176043187)^{2}, % = 21.18 Res(x^{17} +2x^{16} −15x^{15} −30x^{14} +89x^{13} +176x^{12} −271x^{11} −516x^{10} +465x^{9} +803x^{8} −467x^{7} − 646x^{6} + 271x^{5} + 240x^{4} − 78x^{3} − 32x^{2} + 8x + 1, y^{2} + xy + 1) d = 34, r_{1}= 10, disc = (8039 · 5814690880682891)^{2}241 · 13249, % = 27.63 Res(x^{17} + 13x^{16} + 65x^{15} + 138x^{14} + 14x^{13} − 458x^{12} − 612x^{11} + 308x^{10} + 1111x^{9} + 265x^{8} − 798x^{7} − 410x^{6} + 240x^{5} + 162x^{4} − 21x^{3} − 18x^{2} + 1, y^{2} + xy + 1) d = 34, r_{1}= 14, disc = (−5573 · 10117905880843931)^{2}33525209, % = 23.52 Res(x^{17} − 18x^{16} + 145x^{15} − 674x^{14} + 1932x^{13} − 3312x^{12} + 2665x^{11} + 1004x^{10} − 4060x^{9} + 2415x^{8} + 1219x^{7} − 1798x^{6} + 254x^{5} + 317x^{4} − 70x^{3} − 26x^{2} + 4x + 1, y^{2} + y − x)

d = 36, r_{1}= 0, disc = (269 · 188891 · 269507383919)^{2}37 · 8821, % = 21.07 Res(x^{18} − 3x^{17} − 10x^{16} + 35x^{15} + 37x^{14} − 166x^{13} − 57x^{12} + 413x^{11} + 10x^{10} − 579x^{9} + 80x^{8} + 453x^{7} − 103x^{6} − 180x^{5} + 51x^{4} + 27x^{3} − 9x^{2} + 1, y^{2} + xy + 1) d = 36, r_{1}= 2, disc = −((43 · 1693 · 27067)^{2})^{2}101 · 40231, % = 14.96 Res_{y}(Res_{x}(x^{9} + x^{8} − 10x^{7} − 17x^{6} + 8x^{5} + 51x^{4} + 60x^{3} + 33x^{2} + 9x + 1, y^{2} + y(x − 1) + 1), z^{2} + (y − 1)z + 1) d = 36, r_{1}= 4, disc = ((37354501)^{2}10321)^{2}547 · 47659, % = 23.57 Res_{y}(Res_{x}(x^{9}−6x^{8}+17x^{7}−37x^{6}+64x^{5}−72x^{4}+51x^{3}−26x^{2}+8x−1, y^{2}−yx+1), z^{2}+z−y+1) d = 36, r_{1}= 6, disc = −(−53 · 11821 · 107207932980079)^{2}2056603, % = 19.01 Res(x^{18} − 10x^{17} + 35x^{16} − 31x^{15} − 102x^{14} + 249x^{13} − 20x^{12} − 431x^{11} + 287x^{10} + 301x^{9} − 294x^{8} − 111x^{7} + 110x^{6} + 41x^{5} − 11x^{4} − 14x^{3} − x^{2} + x + 1, y^{2} + xy + 1) d = 36, r_{1}= 8, disc = (2^{18}227 · 121441 · 100986877)^{2}43 · 47 · 1109, % = 29.18 Res(x^{18} + 18x^{17} + 121x^{16} + 336x^{15} − 100x^{14} − 3320x^{13} − 9128x^{12} − 7872x^{11} + 13600x^{10} + 47992x^{9}+64883x^{8}+49350x^{7}+21887x^{6}+5590x^{5}+1103x^{4}+372x^{3}+117x^{2}+18x+1, y^{2}+xy+1)

d = 38, r_{1}= 0, disc = −(16068047209 · 91386076897)^{2}47 · 337, % = 20.66 Res(x^{19} − 3x^{18} − 12x^{17} + 39x^{16} + 62x^{15} − 215x^{14} − 186x^{13} + 653x^{12} + 374x^{11} − 1184x^{10} − 545x^{9} + 1289x^{8} + 568x^{7} − 791x^{6} − 374x^{5} + 224x^{4} + 120x^{3} − 12x^{2} − 8x + 1, y^{2} + xy + 1) d = 38, r_{1}= 2, disc = (31 · 71 · 73 · 281 · 525923 · 286864519)^{2}31 · 271, % = 22.41 Res(x^{19} − 3x^{18} − 12x^{17} + 41x^{16} + 56x^{15} − 234x^{14} − 120x^{13} + 722x^{12} + 78x^{11} − 1302x^{10} + 150x^{9} + 1384x^{8} − 341x^{7} − 831x^{6} + 270x^{5} + 253x^{4} − 94x^{3} − 30x^{2} + 12x − 1, y^{2} + xy + 1) d = 38, r_{1}= 4, disc = −(−59^{2}20790017 · 73335576527)^{2}11 · 37 · 1877, % = 29.41 Res(x^{19} − 2x^{18} − 14x^{17} + 27x^{16} + 80x^{15} − 147x^{14} − 242x^{13} + 417x^{12} + 422x^{11} − 669x^{10} − 434x^{9} + 623x^{8} + 262x^{7} − 336x^{6} − 88x^{5} + 102x^{4} + 15x^{3} − 16x^{2} − x + 1, y^{2} + xy + 1) d = 38, r_{1}= 6, disc = (229 · 10259 · 44579 · 162671 · 174467)^{2}2824201, % = 23.55 Res(x^{19} + 10x^{18} + 34x^{17} + 21x^{16} − 139x^{15} − 296x^{14} + 44x^{13} + 694x^{12} + 483x^{11} − 586x^{10} − 836x^{9} + 39x^{8} + 533x^{7} + 204x^{6} − 113x^{5} − 99x^{4} − 13x^{3} + 13x^{2} + 6x + 1, y^{2} + xy + 1)

d = 40, r_{1}= 0, disc = ((−353 · 744659)^{2}7321)^{2}9071521, % = 14.04 Res_{y}(Res_{x}(x^{1}0 − 10x^{9} + 43x^{8} − 103x^{7} + 148x^{6} − 127x^{5} + 59x^{4} − 7x^{3} − 8x^{2} + 4x + 1, y^{2} − y − x), z^{2} + yz + 1) d = 40, r_{1}= 2, disc = −(−(1023379157)^{2}43 · 97)^{2}41 · 254119, % = 21.54 Res_{y}(Res_{x}(x^{1}0 − 9x^{9} + 33x^{8} − 62x^{7} + 58x^{6} − 13x^{5} − 21x^{4} + 13x^{3} + 4x^{2} − 4x − 1, y^{2} + y − x), z^{2} + yz + 1) d = 40, r_{1}= 4, disc = ((17 · 1657 · 45341)^{2}17581)^{2}199 · 36319, % = 26.13 Res_{y}(Res_{x}(x^{1}0−11x^{9}+52x^{8}−137x^{7}+215x^{6}−194x^{5}+80x^{4}+7x^{3}−15x^{2}+2x+1), z^{2}+yz+1) d = 40, r_{1}= 8, disc = (647 · 44129306144864118383)^{2}7 · 503 · 93281, % = 25.96 Res(x^{20}+19x^{19}+156x^{18}+714x^{17}+1930x^{16}+2838x^{15}+983x^{14}−3809x^{13}−5994x^{12}−1298x^{11}+ 4335x^{10} + 3387x^{9} − 725x^{8} − 1579x^{7} − 235x^{6} + 263x^{5} + 78x^{4} − 10x^{3} − 4x^{2} + 1, y^{2} + xy + 1)

d = 42, r_{1}= 2, disc = (−197 · 373 · 1223 · 3643 · 3213804663031)^{2}31 · 1951, % = 19.51 Res(x^{21}+4x^{20}−10x^{19}−55x^{18}+30x^{17}+322x^{16}+27x^{15}−1045x^{14}−396x^{13}+2049x^{12}+1105x^{11}− 2478x^{10}−1570x^{9}+1805x^{8}+1254x^{7}−734x^{6}−547x^{5}+140x^{4}+114x^{3}−8x^{2}−8x+1, y^{2}+xy+1)

d = 44, r_{1}= 0, disc = (−(−113 · 3677 · 17419)^{2}61 · 199)^{2}5981 · 11261, % = 23.45 Res_{y}(Res_{x}(x^{11} − 9x^{10} + 35x^{9} − 77x^{8} + 103x^{7} − 77x^{6} + 10x^{5} + 38x^{4} − 29x^{3} − x^{2} + 6x + 1, y^{2} + y − x), z^{2} + yz + 1) d = 44, r_{1}= 2, disc = −((−6257 · 1327759)^{2}113 · 257)^{2}1997 · 221831, % = 29.91 Res_{y}(Res_{x}(x^{11} − 9x^{10} + 38x^{9} − 109x^{8} + 232x^{7} − 371x^{6} + 425x^{5} − 339x^{4} + 182x^{3} − 62x^{2} + 12x − 1, y^{2} − xy − 1), z^{2} + (y − 1)z + 1)

d = 48, r_{1}= 0, disc = ((971 · 105075211)^{2}3697)^{2}2687 · 9740543, % = 25.99 Res_{y}(Res_{x}(x^{12} − 2x^{11} + 4x^{9} − 3x^{8} − 3x^{7} + 7x^{6} − 4x^{5} − x^{4} + 2x^{3} + x^{2} − 2x + 1, (y^{2} − 2y)x − y^{2} + y + 1), z^{2} + yz + 1)

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Résumé :

Cette thèse aborde trois problèmes différents. On propose en premier un algorithme pour déterminer le rang d’une courbe elliptique définie sur un corps de nombres. On rappelle l’algorithme de descente par 2-isogénie pour les courbes ayant de la 2-torsion, et pour les courbes sans 2-torsion, on décrit un nouvel algorithme. Cet algorithme conditionnel repose sur la résolution de l’équation de Legendre, et l’on expose en détail cette résolution. Le second problème est la résolution des équations aux normes dans les extensions relatives quelconques de corps de nombres. L’interprétation de ce problème en termes de S-unités permet de donner une description explicite des solutions, et de résoudre entièrement et de manière satisfaisante ces équations. Le troisième problème abordé est la détermination des discriminants minimaux des polynômes irréductibles pour les degrés supérieurs ou égaux à 9. Les méthodes proposées fournissent de longues listes de petits discriminants qui améliorent les bornes précédemment connues, en particulier jusqu’au degré 14. On donne également, en les démontrant, tous les discriminants minimaux des polynômes non irréductibles jusqu’au degré 7. Title : Equations in Number Fields and Minimal Discriminants Abstract :

This thesis deals with three different problems. We first propose an algorithm that computes the rank of an elliptic curve defined over a number field. A standard algorithm is known for curves with non-trivial 2-torsion (descent via 2-isogeny), and we describe a new algorithm for curves with no rational 2-torsion. This conditional algorithm relies on a solution method for Legendre’s equation, and we give a detailed description for the solution of this equation. The second problem consists in solving norm equations in relative extensions of number fields. The reformulation of this in terms of S-units allows us to give an explicit description of the solutions, and to solve completely these equations in a quite efficient way. The third problem discussed consists in listing the minimal discriminants of irreducible polynomials of degree 9 and above. The proposed methods build large lists of small discriminants, and improve many known bounds, in particular up to degree 14. We also give all minimal discriminants of non-irreducible polynomials up to degree 7, and prove them.

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Thèse de MATHÉMATIQUES PURES Mots-Clés :

Algorithme, Corps de Nombres, Courbe Elliptique, Discriminant, Équation de Legendre, Groupe de Classes, Nombre Algébrique, Norme, Polynôme, Résultant, Unité / S-Unité.

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Laboratoire A2X, Université Bordeaux I, 351, Cours de la Libération 33405 TALENCE Cedex.