Quelques questions sur les polynômes
pour passer le temps



Ces questions sont en fait des questions ouvertes, mais qui ne méritent pas encore le statut de conjecture.
Si vous savez y répondre, écrivez-moi !

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• Conjecture de Casas-Alvero : Soit P un polynôme à coefficients complexes. On suppose que P a une racine commune avec toutes ses dérivées (pas toujours la même).
  Est-il vrai que P est de la forme (aX+b)^n ?
  
  
• Racines de polynômes : Soit P un polynôme de degré n à coefficients complexes qui s'annule en -1 et 1.
  Est-il vrai que P' s'annule dans la bande verticale | Re(z)| < A_n ? où A_n est équivalent à n/2Pi lorsque n tend vers l'infini ?
  En suivant cette référence, vous trouverez de nombreux énoncés concernant les racines complexes des polynômes, dont le Thm 5.1 qui est plus précis que ma question.
  
  
• Polynômes fortement premiers entre eux : Soient P₁,...P_N, des polynômes (à coefficients complexes) de degré au plus D, et tels que tous les résultants Res(P_i,P_j) (i<>j) sont égaux à 1 ou -1.
  Est-il vrai que N <= 2D+1 ?
  
  
• Résultants : Soient P₁,...P₅ des polynômes unitaires de degré 2.
  Trouver une relation reliant les 10 résultants Res(P_i,P_j).
  Et avec 2D+1 polynômes de degré D ? (pour D = 1, on a R_1,2 + R_2,3 + R_3,1 = 0 )
  Et avec 2D+3 polynômes non unitaires de degré D ? ( pour D = 1, on a R_1,2R_3,4 +R_2,3R_1,4 +R_3,1R_2,4 =0)
  
  
• Discriminants :
  Trouver un polynôme P de degré D à coefficients entiers, tel que 0 < | disc P | < (D/4) ^D/2.
  Trouver un polynôme P de degré D à coefficients entiers, irréductible, tel que 0 < | disc P | < D ^D/2.
  (Plus facile;) Trouver un polynôme P de degré D>2 à coefficients entiers, irréductible, tel que 0 < | disc P | < (D/log(D)) ^D.